対数微分法

両辺の対数をとって $x^{x}$ や積・商の多い式を微分できる

前提

指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）

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算数中学高校大学大学院

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指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）

説明

対数微分法を使うと、 $x^{x}$ のように底にも指数にも $x$ がある関数を微分できます。また、たくさんの因数の積や商、累乗根を含む式も、積と商の微分を何度も繰り返さずに微分できます。関数 $y$ の両辺の対数をとって式を足し算・掛け算の形に直し、その両辺を $x$ で微分するのが基本の流れです。

なぜそうしてよいのか

$x^{x}$ はそのままでは微分できません。 $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ は指数 $n$ が定数のときの公式で、 $(a^{x})^{'} = a^{x} lo g a$ は底 $a$ が定数のときの公式です。 $x^{x}$ は底も指数も変化するので、どちらの公式も使えません。そこで対数の性質 $lo g M N = lo g M + lo g N$ 、 $lo g \frac{M}{N} = lo g M - lo g N$ 、 $lo g M^{k} = k lo g M$ を使います。対数をとると、積は和に、商は差に、累乗は係数の掛け算に変わり、微分しやすい形になります。たとえば $y = x^{x}$ $(x > 0)$ なら $lo g y = x lo g x$ となり、右辺は積の微分で計算できます（ここで $lo g$ は底が $e$ の自然対数です）。

左辺の $lo g y$ は、 $y$ が $x$ の関数なので「 $lo g u$ に $u = y$ を代入した合成関数」と考えます。合成関数の微分により $(lo g y)^{'} = \frac{1}{y} \cdot y^{'} = \frac{y ^{'}}{y}$ となります。両辺を微分した式に最後に $y$ を掛ければ、 $y^{'}$ が求まります。

対数は真数が正のときしか定義されないので、両辺の対数をとるには $y > 0$ が必要です。 $y$ が負の値もとるときは、 $y \neq = 0$ の範囲で絶対値をとって $lo g ∣ y ∣$ を考えます。 $u < 0$ のとき $lo g ∣ u ∣ = lo g (- u)$ を合成関数として微分すると $\frac{- 1}{- u} = \frac{1}{u}$ です。つまり $u$ の符号によらず $(lo g ∣ u ∣)^{'} = \frac{1}{u}$ が成り立つので、どちらの場合も $(lo g ∣ y ∣)^{'} = \frac{y ^{'}}{y}$ となり、同じ手順が使えます。

手順

$y > 0$ かどうかを確かめる。 $y$ が負にもなりうるなら、 $y \neq = 0$ の範囲で絶対値 $∣ y ∣$ を考える
両辺の自然対数をとる： $lo g y = \dots$ （または $lo g ∣ y ∣ = \dots$ ）
対数の性質を使って、右辺を和・差・係数倍の形に直す（例： $lo g x^{x} = x lo g x$ ）
両辺を $x$ で微分する。左辺は合成関数の微分により $\frac{y ^{'}}{y}$ になる
両辺に $y$ を掛け、 $y$ をもとの式に戻して $y^{'}$ を $x$ だけで表す

例題

$x > 0$ のとき、関数 $y = x^{x}$ の導関数 $y^{'}$ を求めよ。

例題の解答

手順1： $x > 0$ なので $y = x^{x} > 0$ である。したがって両辺の対数をとってよい。

手順2：両辺の自然対数をとると $lo g y = lo g x^{x}$ である。

手順3：対数の性質 $lo g M^{k} = k lo g M$ により、 $lo g y = x lo g x$ となる。

手順4：両辺を $x$ で微分する。左辺は $(lo g y)^{'} = \frac{y ^{'}}{y}$ である。右辺は積の微分により $(x lo g x)^{'} = 1 \cdot lo g x + x \cdot \frac{1}{x} = lo g x + 1$ である。よって $\frac{y ^{'}}{y} = lo g x + 1$ となる。

手順5：両辺に $y = x^{x}$ を掛けると、 $y^{'} = x^{x} (lo g x + 1)$ が得られる。

答え: $x^{x} (lo g x + 1)$

よくある誤り

$x^{x}$ に $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ をあてはめて $(x^{x})^{'} = x \cdot x^{x - 1} = x^{x}$ としたり、 $(a^{x})^{'} = a^{x} lo g a$ をあてはめて $(x^{x})^{'} = x^{x} lo g x$ としたりする誤り。底と指数の両方が変化するので、どちらの公式も使えない。正しくは $(x^{x})^{'} = x^{x} (lo g x + 1)$ である。
左辺 $lo g y$ を微分して $\frac{1}{y}$ としてしまう誤り。 $y$ は $x$ の関数なので、合成関数の微分で $y^{'}$ が掛かる。正しくは $(lo g y)^{'} = \frac{y ^{'}}{y}$ である。
$\frac{y ^{'}}{y} = lo g x + 1$ で止めたり、 $y^{'} = y (lo g x + 1)$ のように答えに $y$ を残したりする誤り。正しくは両辺に $y$ を掛け、 $y = x^{x}$ を代入して $y^{'} = x^{x} (lo g x + 1)$ と $x$ だけで表す。
$y = \frac{( x + 1 ) ^{2}}{x - 2}$ のように負の値もとる関数に対して、そのまま $lo g y = 2 lo g (x + 1) - lo g (x - 2)$ とする誤り。真数が負になる $x$ では対数が定義されない。正しくは $x \neq = - 1, 2$ の範囲で絶対値をとり、 $lo g ∣ y ∣ = 2 lo g ∣ x + 1∣ - lo g ∣ x - 2∣$ とする。両辺を微分すると $\frac{y ^{'}}{y} = \frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x - 2}$ となる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

最尤推定（大学数学確率・統計）
積・商・べき乗の相対誤差（大学物理物理実験・誤差論）
見かけの活性化エネルギー（大学化学反応速度論）