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技能一覧 › 大学物理 物理実験・誤差論

積・商・べき乗の相対誤差

の相対標準不確かさ を求め、不確かさを指定の値以下にする測定条件（振動回数など）を決められる

前提

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算数中学高校大学大学院

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  5. 組合せ （数学A 場合の数と確率）
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  7. 期待値 （数学A 場合の数と確率）
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  12. 分散と標準偏差 （数学I データの分析）
  13. 変量の変換と平均・分散 （数学I データの分析）
  14. 確率変数の期待値・分散と （数学B 統計的な推測）
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  17. 小数の四則計算 （算数 計算と数のきまり）
  18. 正負の数の加法・減法 （中学数学 数と式）
  19. 分数のかけ算・わり算 （算数 計算と数のきまり）
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  21. 正負の数の乗除・累乗と四則混合 （中学数学 数と式）
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  29. 多項式の不定積分 （数学II 微分法と積分法）
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  31. 等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
  32. 数列の極限 （数学III 極限）
  33. 関数の極限 （数学III 極限）
  34. 積と商の微分 （数学III 微分法）
  35. 合成関数の微分 （数学III 微分法）
  36. 円の周の長さと面積 （算数 平面図形）
  37. おうぎ形の弧の長さと面積 （算数 平面図形）
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  39. 三角形・四角形の面積 （算数 平面図形）
  40. 約数の見つけ方 （算数 整数の性質）
  41. 素因数分解と約数の個数 （算数 整数の性質）
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  45. 弧度法と単位円による三角関数 （数学II 三角関数）
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  47. 加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式 （数学II 三角関数）
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  51. 対数の定義と性質 （数学II 指数関数と対数関数）
  52. 自然対数の底 （数学III 極限）
  53. 指数関数・対数関数の導関数 （数学III 微分法）
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  55. 置換積分 （数学III 積分法）
  56. 部分積分 （数学III 積分法）
  57. 定積分の計算 （数学II 微分法と積分法）
  58. 定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数 （数学III 積分法）
  59. 重積分と累次積分 （大学数学 微分積分）
  60. 同時分布・周辺分布と独立性 （大学数学 確率・統計）
  61. 共分散と相関係数 （数学I データの分析）
  62. 確率変数の共分散と相関係数 （大学数学 確率・統計）
  63. 連続型確率変数と確率密度関数 （数学B 統計的な推測）
  64. 正規分布と標準化 （数学B 統計的な推測）
  65. 標本平均の分布 （数学B 統計的な推測）
  66. 不偏推定量 （大学数学 確率・統計）
  67. 平均値・標準偏差・平均の標準誤差 （大学物理 物理実験・誤差論）
  68. 和と差の誤差伝播 （大学物理 物理実験・誤差論）
  69. 対数微分法 （数学III 微分法）

説明

測定値どうしを掛けたり割ったり、べき乗したりして求める量 について、その不確かさを各測定値の相対不確かさ から求められるようになります。振り子の周期から重力加速度を出す、直径から体積を出す、電圧と電流から抵抗を出す、といった場面で使います。どの測定値が全体の不確かさを大きくしているかが一目でわかるので、「周期の不確かさを減らすために何回分の振動をまとめて測ればよいか」といった測定条件も決められます。

なぜそうしてよいのか

（ とします。負の値のときは絶対値をとって同じ議論をします）の両辺の自然対数をとると となり、積・商・べき乗が「定数倍の和」に変わります。これは対数微分法と同じ発想です。両辺を微分すると となり、測定値が真の値から少しずれたときの の相対的なずれ は、 の相対的なずれ を 倍・ 倍して足したもので近似できます（ずれが小さく、1 次の近似が成り立つとき）。

ここで を独立な誤差とみると、 の相対的なずれは という「定数倍の和」です。和と差の誤差伝播 をそのまま使えば、, なので

が得られます。変数が増えても同じように項が増えるだけです。

この式から、指数の大きい量ほど相対不確かさが 倍に拡大されて効いてくることがわかります。たとえば周期 が 2 乗で入る量では、 の相対不確かさが 2 倍になって効くので、 を精度よく測る工夫（ 回分の振動をまとめて測り、 として を小さくするなど）が有効になります。なお、この式は測定値どうしが独立で、相対不確かさが十分小さい（1 次近似が使える）ときに成り立ちます。

手順

  1. 求める量を （ は不確かさのない定数）の形に書き、各測定値の指数 を読み取る。割り算は負の指数、根号は分数の指数にする（例: なら指数 、 なら指数 ）

  2. 各測定値の相対標準不確かさ を求める（定数 の不確かさは 0 なので無視してよい）

  3. 各相対不確かさに指数をかけて 2 乗し、足して平方根をとる:

  4. 必要なら で不確かさそのものに戻す。測定条件を決める問題では、この式が指定の値以下になるように未知の条件（振動回数など）について不等式を解く

例題

単振り子の長さ と周期 を測り、 から重力加速度 を求める。 の相対標準不確かさは 、 の相対標準不確かさは で、 と の測定は独立とする。 の相対標準不確かさ は何 % か。正確な値で求めよ。

例題の解答

手順 1: と書けるので、定数 （不確かさなし）、 の指数は 、 の指数は である。

手順 2: 、。

手順 3: 指数をかけて 2 乗し、足して平方根をとる（% のまま計算してよい）。

の相対不確かさは より小さいのに、指数 のために 分として効き、 の寄与 より大きくなっていることに注意する。

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること