物理実験・誤差論の問題

鉛直につるした金属の細い針金の下端におもりをつるして伸びを測り、ヤング率 $E$ を
$$E=\frac{4mgL}{\pi d^2(x_2-x_1)}$$
により求める。ここで $m$ はおもりの質量、$g$ は重力加速度、$L$ は針金の長さ、$d$ は針金の直径、$x_1$, $x_2$ はおもりをつるす前と後に読んだ針金下端の目印の位置である。測定の結果は次のとおりである（標準不確かさはすべて互いに独立とする）。

• $L=2.000\mathrm{m}$、標準不確かさ $2.0\mathrm{mm}$
• $x_1=10.00\mathrm{mm}$, $x_2=12.00\mathrm{mm}$。それぞれの読みの標準不確かさは $0.015\mathrm{mm}$
• 直径 $d$ はマイクロメーターで針金の異なる場所を $n$ 回（$n$ は正の整数）独立に測り、その平均値 $\bar{d}$ を $d$ の値とする。$\bar{d}$ の値は $n$ によらず $0.500\mathrm{mm}$ とし、1 回の測定の標準偏差は $0.010\mathrm{mm}$、平均値 $\bar{d}$ の標準不確かさは $0.010/\sqrt{n}\mathrm{mm}$ とする
• $m$ と $g$ の不確かさは無視できる

不確かさの伝播は 1 次の近似（各量の偏微分による線形近似）で扱う。また、与えられた数値は正確な値とみなし、判定の途中で丸めを行わないものとする。$E$ の相対標準不確かさ $u(E)/E$ を $2\%$ 以下にするために必要な測定回数 $n$ の最小値を求めよ。

抵抗値 $R$ が正確にわかっている抵抗器の両端の電圧 $V$ を、入力範囲が $0$ 〜 $V_{\mathrm{FS}}=10.24\mathrm{V}$ の $n$ ビット A/D 変換器（$n$ は正の整数）で 1 回だけ読み取り、消費電力を $P=V^2/R$ により求める。

この A/D 変換器は入力範囲を $2^n$ 等分した幅 $\Delta =V_{\mathrm{FS}}/2^n$（分解能）を単位として、入力電圧を最も近い段階の値に丸めて出力する。読み取り値に含まれる誤差は、この丸めによる量子化誤差のみとし、量子化誤差は区間 $[-\Delta /2,\Delta /2]$ で一様に分布するとみなす。また、誤差の伝播は 1 次の近似で扱う。

電圧がおよそ $V=2.00\mathrm{V}$ のとき、$P$ の相対標準不確かさ ${\sigma }_P/P$ を $1.0\times 10^{-4}$ 以下にするために必要なビット数 $n$ の最小値を求めよ。

振り子の周期 $T$ を次の方法で測定する。最小表示（分解能）が $d=0.01\text{s}$ のデジタル時計を連続して動かしておき、振り子がある位置を通過した瞬間の表示 $t_1$ を読み、そこから $N$ 回振動して（$N$ は正の整数）同じ位置を同じ向きに通過した瞬間の表示 $t_2$ を読む。周期は $T=\frac{t_2-t_1}{N}$ として求める。

誤差の要因としては時計の分解能だけを考え（人の反応時間などによる誤差は考えない）、次のようにみなす。
- 1 回の読み取りの真の値は、表示値を中心とする幅 $d$ の区間に一様に分布するとし、その標準不確かさを $\frac{d}{2\sqrt{3}}$ とする。
- $t_1$ と $t_2$ の読み取りの誤差は互いに独立である。

周期はおよそ $1.5\text{s}$ であり、相対標準不確かさ $\frac{u(T)}{T}$ の計算では $T=1.5\text{s}$ を用いる。$\frac{u(T)}{T}\le 5.0\times 10^{-5}$ となるような $N$ の最小値を求めよ。

最小表示（分解能）が $d=1\mathrm{mV}$ のデジタル電圧計で、一定の電圧 $V_0$（未知）を測定する。この電圧計は、入力電圧を $d$ の整数倍のうち最も近い値に丸めて表示する（ちょうど中間の値になる確率は $0$ なので考えなくてよい）。電圧計自体の雑音は無視できる。

このままでは何回測っても同じ表示しか得られないので、各測定のたびに、区間 $\left[-\frac{d}{2},\frac{d}{2}\right]$ 上の一様分布に従う雑音電圧 $u$ を $V_0$ に加えてから測定する（ディザ法）。$u$ は測定ごとに独立とする。こうして得た $N$ 回の表示 $y_1,\dots ,y_N$ の平均 $\bar{y}=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N{y}_i$ で $V_0$ を推定する（$N$ は正の整数）。

$V_0$ がどのような値であっても $\bar{y}$ の標準偏差が $0.05\mathrm{mV}$ 以下になるような $N$ の最小値を求めよ。

細い毛細管に水を流し、ポアズイユの法則
$$\eta =\frac{\pi r^4\Delta pt}{8VL}$$
から水の粘性率 $\eta$ を求める。ここで $r$ は毛細管の内半径、$L$ は毛細管の長さ、$V$ は時間 $t$ の間に流れ出た水の体積、$\Delta p$ は管の両端の圧力差である。各量は次のように求める。

• 内半径 $r$: 毛細管に水銀柱を入れ、その質量 $m$ と長さ $\ell$ を測り、$m={\rho }_{\mathrm{Hg}}\pi r^2\ell$ から求める。結果は $m=0.2000\pm 0.0010\mathrm{g}$、$\ell =7.50\pm 0.03\mathrm{cm}$。
• 圧力差 $\Delta p$: 上流側と下流側の水面の高さ $h_1$, $h_2$ を別々に読み取り、$\Delta p={\rho }_{\mathrm{w}}g(h_1-h_2)$ とする。結果は $h_1=25.0\pm 0.1\mathrm{cm}$、$h_2=15.0\pm 0.1\mathrm{cm}$。
• $t=200.0\pm 0.4\mathrm{s}$、$V=1.500\pm 0.006\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$、$L=20.00\pm 0.08\mathrm{cm}$。

$\pm$ の後は標準不確かさであり、$m,\ell ,h_1,h_2,t,V,L$ の誤差はすべて互いに独立な偶然誤差とする。水銀の密度 ${\rho }_{\mathrm{Hg}}$、水の密度 ${\rho }_{\mathrm{w}}$、重力加速度 $g$ の不確かさは無視でき、流れの間 $h_1-h_2$ は一定とみなす。誤差は十分小さく、1 次の誤差伝播の式が使えるとする。

$\eta$ の相対標準不確かさ ${\sigma }_{\eta }/\eta$ を百分率（$\%$）で、有効数字 2 桁で求めよ。