物理実験・誤差論の問題

最小表示（分解能）が $0.1\mathrm{g}$ のデジタル天びんで、試料の質量を次のように求めた。

• 空の容器をのせたときの表示: $25.3\mathrm{g}$
• 容器に試料を入れてのせたときの表示: $37.8\mathrm{g}$

試料の質量は、この 2 つの表示の差 $m=37.8-25.3=12.5\mathrm{g}$ とする。天びんの誤差は表示の丸め（分解能）によるものだけとし、各表示の真の値は、表示値を中心とする幅 $0.1\mathrm{g}$ の区間（表示値 $\pm 0.05\mathrm{g}$）に一様に分布すると考える。また、2 回の読み取りの丸め誤差は互いに独立であるとする。

このとき、$m$ の標準不確かさ（標準偏差）は何 $\mathrm{g}$ か。根号を含む正確な値で答えよ。

最小表示（分解能）が $d=1\mathrm{mV}$ のデジタル電圧計がある。この電圧計は入力電圧 $x$ を、$d$ の整数倍のうち $x$ に最も近い値に丸めて表示する（$x$ がちょうど隣り合う 2 つの整数倍の中点になる場合は確率 $0$ なので考えなくてよい）。電圧計自身の雑音は無視できる。

真の値 $V$ が一定の電圧を測定する。$V$ の値は未知である。このままでは何回測定しても同じ表示しか得られず、平均をとっても分解能より細かい情報は得られない。そこで、$i$ 回目（$i=1,2,\dots ,n$）の測定では、区間 $[-d/2,d/2]$ 上の一様分布に従う電圧 $U_i$ を $V$ に加えた $V+U_i$ を電圧計に入力し、その表示を $y_i$ とする（ディザ法）。$U_1,U_2,\dots ,U_n$ は互いに独立であり、各回の加算そのものの誤差はない。

$n$ 回の表示の平均を $\bar{y}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{y}_i$ とする。$V$ がどのような値であっても $\bar{y}$ の標準偏差が $0.03\mathrm{mV}$ 以下になることを保証する、最小の正の整数 $n$ を求めよ。

単振り子の振動を $N$ 回（$N$ は正の整数）数え、その所要時間 $t_N$ を測って周期 $T=t_N/N$ を求め、振り子の長さ $L$ とあわせて重力加速度を $$g=\frac{4{\pi }^{2}L}{T^2}$$ により求める。測定の条件は次のとおりである。

• 長さ $L$ は最小目盛り $1\mathrm{mm}$ の巻尺で、最も近い目盛りに丸めて読み取り、$L=1.000\mathrm{m}$ を得る。
• 時間 $t_N$ は最小表示 $0.01\mathrm{s}$ のデジタルストップウォッチで測る。ストップウォッチは開始時にちょうど $0$ から計時を始め、表示は真の値を最も近い $0.01\mathrm{s}$ の倍数に丸めたものとする。
• 周期は $N$ によらず $T=2.000\mathrm{s}$ とみなしてよい（$t_N\approx 2N\mathrm{s}$）。

誤差の原因は巻尺とストップウォッチの分解能（読み取りの丸め）だけとし、反応時間の誤差や振幅の影響は考えない。それぞれの丸めの誤差は、幅が最小目盛り（最小表示）に等しい区間の一様分布に従い、互いに独立であるとする。誤差の伝播は 1 次の近似で扱い、$\pi$ には誤差がないものとする。

$g$ の相対標準不確かさ $\frac{u(g)}{g}$ を $5.0\times 10^{-4}$ 以下にするために必要な $N$ の最小値を求めよ。

光電効果の実験で、照射する光の振動数 $\nu$ を変えながら阻止電圧 $V$ を測定し、次の結果を得た。

振動数 $\nu$ の誤差は無視でき、各 $V$ の測定誤差は互いに独立で、標準偏差は共通の値 $\sigma$（未知）とする。データに直線 $V=a+b\nu$ を（重みなしの）最小二乗法で当てはめ、$\sigma$ は残差の二乗和 $S_r$ から ${\sigma }^2\approx S_r/(n-2)$（$n$ はデータ数）として推定する。

限界振動数を ${\nu }_0=-a/b$ と定義する。$a$ と $b$ の間の相関（共分散）も考慮し、誤差伝播の 1 次近似によって ${\nu }_0$ の標準不確かさ ${\sigma }_{{\nu }_0}$ を求めよ。答えは $10^{14}\mathrm{Hz}$ を単位とする数値で、有効数字 2 桁で答えよ。

小球を一定の高さから静かに放し、床に達するまでの時間を光電ゲートで同じ条件のもとで 8 回測定したところ、次の値（単位は $\mathrm{ms}$）が得られた。
$$452,448,455,445,450,447,453,450$$
測定値は互いに独立で、偶然誤差のみを含むものとする。$n$ 個の測定値 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ の平均を $\bar{x}$ とするとき、標本標準偏差を
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
で、平均の標準誤差を $s/\sqrt{n}$ で定める。

この 8 回の測定から求めた標本標準偏差 $s$ の値が、測定回数を増やしても変わらないと仮定する。同じ条件で測定を $N$ 回（$N$ は正の整数）行ったとき、平均の標準誤差 $s/\sqrt{N}$ が $1.0\mathrm{ms}$ 以下になるような $N$ の最小値を求めよ。