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技能一覧 › 大学物理 物理実験・誤差論

分解能による不確かさと有効数字

最小目盛り・最小表示 の丸めを幅 の一様分布とみなして標準不確かさ を求め、測定値と不確かさを適切な有効数字で表せる

前提

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算数中学高校大学大学院

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  58. 定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数 （数学III 積分法）
  59. 広義積分 （大学数学 微分積分）
  60. 一様分布・指数分布 （大学数学 確率・統計）

説明

デジタル表示の計器やものさしでは、読み取れる最小の幅（分解能） より細かい違いはわかりません。表示が同じでも、本当の値はその表示を中心とする幅 の範囲のどこかにあります。この技能では、この「丸めによるわからなさ」を一様分布の標準偏差として数値にし、標準不確かさ を求めます。さらに、測定値と不確かさを適切な桁数でそろえて書けるようにします。

なぜそうしてよいのか

表示値が 、分解能が のとき、真の値 は のどこかにあると考えられます。どこか特定の位置に偏る理由がないので、 をこの区間上の一様分布（確率密度 ）に従う確率変数とみなします。

とおくと は 上の一様分布で、期待値は対称性から 、分散は

です。 なので、標準偏差は となります。これを分解能による標準不確かさ とします。半幅 をそのまま使うのではなく標準偏差を使うのは、繰り返し測定のばらつき（標準偏差）など、ほかの原因の不確かさと同じ物差しで比べたり合成したりできるようにするためです。

不確かさ自体も見積もりなので、細かい桁まで書いても意味がありません。ふつう不確かさは有効数字 1〜2 桁に丸め、測定値はその不確かさの最後の桁と同じ位までで書きます。これにより、書いた数字の最後の桁が「どの程度信頼できるか」が読み手に正しく伝わります。

手順

  1. 計器の分解能（最小目盛り・最小表示の 1 単位） を確認する

  2. 標準不確かさを求める：

  3. 不確かさを指定の有効数字（ふつう 1〜2 桁）に丸める

  4. 測定値を、丸めた不確かさの最後の桁と同じ位にそろえて「測定値 不確かさ（単位）」の形で書く

例題

最小表示が のデジタル温度計で水温を測ったところ と表示された。表示の丸めを幅 の一様分布とみなすとき、分解能による標準不確かさは何 か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1：分解能は 。真の値は の範囲にあるとみなす。

手順 2：標準不確かさは

手順 3：有効数字 2 桁に丸めて 。

手順 4：測定値を同じ位（小数第 3 位）にそろえると、 と書ける（表示値 は区間の中心なので、下の桁を 0 で補ってよい）。

よって標準不確かさは 。

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題