物理実験・誤差論の問題

なめらかな斜面上を一定の加速度で運動する台車の速さ $v$ を、速度センサーで時刻 $t$ ごとに測定したところ、次の結果が得られた。

このデータに直線 $v=v_0+at$ を最小二乗法であてはめる。時刻 $t$ の誤差は無視でき、各 $v$ の測定値は互いに独立で、同じ大きさの（未知の）標準偏差をもつとする。この標準偏差は、あてはめた直線からの残差の二乗和を自由度 $n-2$（$n$ はデータの個数）で割った値の平方根で推定する。

加速度 $a$ の最小二乗推定値と、その標準誤差 ${\sigma }_a$ を、単位を $m/{\mathrm{s}}^2$ として、この順に組 $(a,{\sigma }_a)$ の形で求めよ。ただし、値は分数または根号を用いた正確な値で答えよ。

ある金属棒の長さ $L$ を、同じ条件・同じ測定器で繰り返し測定した。

- 1 日目に $6$ 回測定した。個々の測定値は記録が失われたが、その平均値は ${\bar{L}}_1=50.20\mathrm{mm}$、標本標準偏差（偏差の 2 乗和を $n-1$ で割って平方根をとったもの）は $s_1=0.14\mathrm{mm}$ であった。
- 2 日目に同じ条件でさらに $4$ 回測定し、次の値（単位は $\mathrm{mm}$）を得た。
$$50.23,50.39,50.11,50.27$$

$2$ 日間の合計 $10$ 個の測定値をひとつの標本とみなし、その平均値を $L$ の推定値とする。このとき、標本標準偏差 $s$ を $10$ 個の測定値から（$n-1=9$ で割る定義で）求め、平均の標準誤差を $s/\sqrt{10}$ として計算せよ。答えは $\mathrm{mm}$ 単位で、有効数字 $2$ 桁で求めよ。

最小表示（分解能）が $0.1\mathrm{g}$ のデジタル天びんで、試料の質量を次のように求めた。

• 空の容器をのせたときの表示: $25.3\mathrm{g}$
• 容器に試料を入れてのせたときの表示: $37.8\mathrm{g}$

試料の質量は、この 2 つの表示の差 $m=37.8-25.3=12.5\mathrm{g}$ とする。天びんの誤差は表示の丸め（分解能）によるものだけとし、各表示の真の値は、表示値を中心とする幅 $0.1\mathrm{g}$ の区間（表示値 $\pm 0.05\mathrm{g}$）に一様に分布すると考える。また、2 回の読み取りの丸め誤差は互いに独立であるとする。

このとき、$m$ の標準不確かさ（標準偏差）は何 $\mathrm{g}$ か。根号を含む正確な値で答えよ。

銅線を恒温槽に入れ、温度 $t$ を変えながら電気抵抗 $R$ を測定したところ、次の結果が得られた。

温度 $t$ の測定誤差は無視でき、$R$ の各測定値は互いに独立で、どれも等しい標準偏差 ${\sigma }_R=0.020\Omega$ をもつとする。この範囲で $R$ は $t$ の 1 次関数 $R=a+bt$ で表されるとして、最小二乗法により $a$, $b$ を決める。

切片 $a$（$t=0{}^{\circ }\mathrm{C}$ における抵抗の推定値）とその標準誤差 ${\sigma }_a$ を、$\Omega$ 単位で求め、$(a,{\sigma }_a)$ の組として答えよ。ただし $a$ は正確な値（小数第 3 位まで）、${\sigma }_a$ は ${\sigma }_R$ から誤差伝播で求め、有効数字 2 桁で答えること。

単振り子を用いて重力加速度 $g$ を同じ条件で 5 回測定したところ、次の値（単位は $m/{\mathrm{s}}^2$）が得られた。
$$9.84,9.76,9.82,9.78,9.80$$
測定値のばらつきは偶然誤差のみによるものとし、標本標準偏差 $s$ は $n$ 個の測定値 $x_i$ とその平均 $\bar{x}$ を用いて
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
で定義する。平均値の標準誤差 $s_{\bar{x}}=\frac{s}{\sqrt{n}}$ を $m/{\mathrm{s}}^2$ 単位で、根号を含む正確な値で求めよ。