物理実験・誤差論

ある棒の長さを同じ方法で $5$ 回測定したところ、次の値（単位は mm）が得られた。
$$152,154,155,156,158$$
標本標準偏差を $s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$（$n$ は測定回数、$\bar{x}$ は平均値）で定め、平均の標準誤差を $\frac{s}{\sqrt{n}}$ とする。

この測定の平均の標準誤差は何 mm か。正確な値で答えよ。

最小表示が $d=0.1\text{g}$ のディジタルはかりで物体の質量をはかったところ、表示は $36.4\text{g}$ であった。表示値は真の値を最小表示の桁に丸めたものとし、真の値は表示値を中心とする幅 $d$ の区間 $[36.35\text{g},36.45\text{g}]$ に一様に分布するとみなす。このとき、分解能による標準不確かさは $\frac{d}{2\sqrt{3}}$ で与えられる。

この測定の分解能による標準不確かさは何 g か。有効数字 2 桁で答えよ。ただし $\sqrt{3}=1.732$ とする。

同じ量を 2 つの班 A, B がそれぞれ繰り返し測定し、次のように報告した（単位は mm）。

• 班 A: 測定回数 $5$、平均値 $10$、標準偏差 $2$
• 班 B: 測定回数 $5$、平均値 $14$、標準偏差 $2$

ここで標準偏差は、測定回数を $n$、測定値を $x_i$、平均値を $\bar{x}$ として $s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$ で定めたものである。

2 つの班の測定値をすべて合わせて $10$ 個のデータとみなしたとき、その標準偏差（同じく $n-1$ で割る定義）は何 mm か。根号を用いた正確な値で答えよ。

ビーカーに入れた水の質量を求めるため、空のビーカーの質量 $x$ と、水を入れたビーカーの質量 $y$ を別々にはかった。結果は次のとおりであった。

• 空のビーカー: $x=48.2\text{g}$、標準不確かさ $u(x)=0.3\text{g}$
• 水を入れたビーカー: $y=152.6\text{g}$、標準不確かさ $u(y)=0.4\text{g}$

水の質量を $m=y-x$ で求める。$x$ と $y$ の測定は互いに独立であるとし、独立な測定値 $x,y$ と定数 $a,b$ に対して $q=ax+by$ の標準不確かさは $u(q)=\sqrt{a^{2}u(x{)}^2+b^{2}u(y{)}^2}$ で与えられるものとする。

水の質量 $m$ の標準不確かさ $u(m)$ は何 g か。小数で答えよ。

単振り子の長さ $L$ と周期 $T$ を測定し、重力加速度を
$$g=\frac{4{\pi }^{2}L}{T^2}$$
で求める。$L$ の相対標準不確かさは $\frac{u(L)}{L}=0.3\%$、$T$ の相対標準不確かさは $\frac{u(T)}{T}=0.2\%$ であった。$L$ と $T$ の測定は互いに独立で、$4{\pi }^2$ は誤差を含まない定数とする。

独立な測定値 $x,y$ と定数 $a,b$ に対して、$q=C{x}^a{y}^b$（$C$ は定数）の相対標準不確かさは
$$\frac{u(q)}{q}=\sqrt{a^2{\left(\frac{u(x)}{x}\right)}^2+b^2{\left(\frac{u(y)}{y}\right)}^2}$$
で与えられるものとする。

$g$ の相対標準不確かさ $\frac{u(g)}{g}$ は何 % か。小数で答えよ。

一定の速さで動く台車の位置 $y$（単位 cm）を、時刻 $x$（単位 s）ごとに測定して次の $5$ 組のデータを得た。

このデータに最小二乗法で直線 $y=a+bx$ を当てはめると、$a=1.0$、$b=2.0$ となる。$x$ には誤差がなく、$y$ の誤差はどの点でも同じ大きさとする。

残差 $r_i=y_i-(a+b{x}_i)$ から $\sigma =\sqrt{\frac{1}{n-2}\sum _{i=1}^n{r}_i^2}$（$n$ はデータの組の数）を推定し、傾きの標準誤差を ${\sigma }_b=\frac{\sigma }{\sqrt{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}}$ で求めるものとする。

傾き $b$ の標準誤差 ${\sigma }_b$ は何 cm/s か。根号を用いた正確な値で答えよ。

重力加速度 $g$ を 2 つの異なる方法で独立に測定し、次の結果を得た。

• 方法 A: $x_1=9.78{\text{m/s}}^2$、標準不確かさ ${\sigma }_1=0.02{\text{m/s}}^2$
• 方法 B: $x_2=9.84{\text{m/s}}^2$、標準不確かさ ${\sigma }_2=0.04{\text{m/s}}^2$

この 2 つの結果を、重み $w_i=\frac{1}{{\sigma }_i^2}$ の重み付き平均
$$\bar{x}=\frac{w_1{x}_1+w_2{x}_2}{w_1+w_2}$$
にまとめる。重み付き平均 $\bar{x}$ は何 ${\text{m/s}}^2$ か。小数で答えよ（丸めずに正確な値で答えよ）。

凸レンズの焦点距離 $f$ を、物体からレンズまでの距離 $a$ とレンズから像までの距離 $b$ を測定して、レンズの式から得られる
$$f=\frac{ab}{a+b}$$
で求める。測定結果は $a=30.0\text{cm}$（標準不確かさ $u(a)=0.3\text{cm}$）、$b=60.0\text{cm}$（標準不確かさ $u(b)=0.9\text{cm}$）であった。$a$ と $b$ の測定は互いに独立とする。

1 次の誤差伝播則
$$u(f{)}^2={\left(\frac{\partial f}{\partial a}\right)}^{2}u(a{)}^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial b}\right)}^{2}u(b{)}^2$$
（偏微分係数は測定値での値を用いる）により、$f$ の標準不確かさ $u(f)$ は何 cm か。分数で答えよ。

ある抵抗器の抵抗値を 3 つの研究室が独立に測定し、次の結果を報告した（単位は $\Omega$）。

• 研究室 1: $x_1=10.0$、標準不確かさ ${\sigma }_1=0.2$
• 研究室 2: $x_2=10.4$、標準不確かさ ${\sigma }_2=0.2$
• 研究室 3: $x_3=10.8$、標準不確かさ ${\sigma }_3=0.2$

これらの重み付き平均を $\bar{x}$ とし（重みは $w_i=1/{\sigma }_i^2$）、
$${\chi }^2=\sum _{i=1}^3\frac{(x_i-\bar{x}{)}^2}{{\sigma }_i^2}$$
を計算する。自由度は、測定の数から推定したパラメータの数（平均値の 1 個）を引いた $\nu =3-1=2$ とする。

${\chi }^2/\nu$ の値を求めよ。

時刻 $x=1,2,3,4,5\text{s}$ の $5$ 点で物体の位置 $y$（単位 cm）を測定し、最小二乗法で直線 $y=a+bx$ を当てはめた。残差から推定した $y$ の測定誤差の大きさは $\sigma =0.20\text{cm}$ であった。$x$ には誤差がなく、$y$ の誤差は各点で独立で等しい大きさとする。

この直線を使って、時刻 $x_0=7\text{s}$ での位置を $\hat{y}=a+b{x}_0$ と推定する。傾きと切片の共分散 $\mathrm{Cov}(a,b)=-\frac{\bar{x}{\sigma }^2}{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}$ を含めて計算すると、$\hat{y}$ の標準誤差は
$${\sigma }_{\hat{y}}=\sigma \sqrt{\frac{1}{n}+\frac{(x_0-\bar{x}{)}^2}{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}}$$
で与えられる（$n$ はデータの数、$\bar{x}$ は $x_i$ の平均）。

${\sigma }_{\hat{y}}$ は何 cm か。根号を用いた正確な値で答えよ。

最小表示（分解能）が $0.1\mathrm{g}$ のデジタル天びんで、試料の質量を次のように求めた。

• 空の容器をのせたときの表示: $25.3\mathrm{g}$
• 容器に試料を入れてのせたときの表示: $37.8\mathrm{g}$

試料の質量は、この 2 つの表示の差 $m=37.8-25.3=12.5\mathrm{g}$ とする。天びんの誤差は表示の丸め（分解能）によるものだけとし、各表示の真の値は、表示値を中心とする幅 $0.1\mathrm{g}$ の区間（表示値 $\pm 0.05\mathrm{g}$）に一様に分布すると考える。また、2 回の読み取りの丸め誤差は互いに独立であるとする。

このとき、$m$ の標準不確かさ（標準偏差）は何 $\mathrm{g}$ か。根号を含む正確な値で答えよ。

単振り子を用いて重力加速度 $g$ を同じ条件で 5 回測定したところ、次の値（単位は $m/{\mathrm{s}}^2$）が得られた。
$$9.84,9.76,9.82,9.78,9.80$$
測定値のばらつきは偶然誤差のみによるものとし、標本標準偏差 $s$ は $n$ 個の測定値 $x_i$ とその平均 $\bar{x}$ を用いて
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
で定義する。平均値の標準誤差 $s_{\bar{x}}=\frac{s}{\sqrt{n}}$ を $m/{\mathrm{s}}^2$ 単位で、根号を含む正確な値で求めよ。

水平な机の上を一定の速さで動く台車の位置 $x$ を、時刻 $t$ ごとに記録したところ、次の結果が得られた。

時刻 $t$ の誤差は無視でき、位置 $x$ の測定誤差はすべての点で等しいとする。測定値を直線 $x=at+b$ に最小二乗法で当てはめたとき（残差 ${\sum }_i\{x_i-(a{t}_i+b){\}}^2$ を最小にする $a,b$ を選ぶ）、傾き $a[cm/s]$ と切片 $b[\mathrm{cm}]$ を、この順に組 $(a,b)$ として分数または有限小数の正確な値で求めよ。

ある標準抵抗器の抵抗値 $R$ を、3 つの研究室がそれぞれ独立に測定し、次の結果を報告した（単位は $\Omega$、$\pm$ の後は標準不確かさ）。
$$R_1=100.0\pm 0.2,R_2=100.6\pm 0.4,R_3=99.4\pm 0.4$$
各結果の誤差は偶然誤差のみで、互いに独立とする。標準不確かさ ${\sigma }_i$ に対して重み $w_i=1/{\sigma }_i^2$ をとった重み付き平均値 $\bar{R}$ と、
$${\chi }^2=\sum _{i=1}^3\frac{(R_i-\bar{R}{)}^2}{{\sigma }_i^2}$$
で定義されるカイ二乗の値を求め、$(\bar{R},{\chi }^2)$ の組として答えよ。ただし $\bar{R}$ は $\Omega$ 単位の値で、どちらも正確な値（分数で表せるものは分数）で答えること。

銅線を恒温槽に入れ、温度 $t$ を変えながら電気抵抗 $R$ を測定したところ、次の結果が得られた。

温度 $t$ の測定誤差は無視でき、$R$ の各測定値は互いに独立で、どれも等しい標準偏差 ${\sigma }_R=0.020\Omega$ をもつとする。この範囲で $R$ は $t$ の 1 次関数 $R=a+bt$ で表されるとして、最小二乗法により $a$, $b$ を決める。

切片 $a$（$t=0{}^{\circ }\mathrm{C}$ における抵抗の推定値）とその標準誤差 ${\sigma }_a$ を、$\Omega$ 単位で求め、$(a,{\sigma }_a)$ の組として答えよ。ただし $a$ は正確な値（小数第 3 位まで）、${\sigma }_a$ は ${\sigma }_R$ から誤差伝播で求め、有効数字 2 桁で答えること。

ある凸レンズの焦点距離 $f$ を、4 つの班が互いに独立な方法で測定し、次の結果を得た（単位は $\mathrm{cm}$、$\pm$ の後は標準不確かさ）。
$$f_1=20.02\pm 0.10,f_2=19.90\pm 0.20,f_3=20.10\pm 0.20,f_4=19.98\pm 0.10$$
各結果の誤差は互いに独立な正規分布に従い、偶然誤差のみを含むものとする。4 つの結果を各標準不確かさ ${\sigma }_i$ の 2 乗の逆数 $w_i=1/{\sigma }_i^2$ を重みとして重み付き平均した値を $\bar{f}$ とするとき、
$${\chi }^2=\sum _{i=1}^4{\left(\frac{f_i-\bar{f}}{{\sigma }_i}\right)}^2$$
の値を求めよ。答えは正確な値（小数または分数）で答えよ。

2 つの抵抗器を直列につなぎ、その両端に直流電圧 $V$ を加えたときに抵抗器全体で消費される電力 $P$ を
$$P=\frac{V^2}{R_1+R_2}$$
により求める。測定・表示の結果は次のとおりである（$\pm$ の後は標準不確かさ）。
$$V=10.00\pm 0.15\mathrm{V},R_1=30.0\pm 1.2\Omega ,R_2=20.0\pm 1.6\Omega$$
$V$、$R_1$、$R_2$ の誤差は互いに独立で偶然誤差とみなせ、誤差の伝播は 1 次の近似で扱うものとする。$P$ の標準不確かさは何 $\mathrm{W}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

エアトラック上を一定の速さで運動するグライダーの運動エネルギー $K$ を、次の式で求める。
$$K=\frac{1}{2}(m_1+m_2){\left(\frac{w}{\Delta t}\right)}^2$$
ここで $m_1$ はグライダー本体の質量、$m_2$ はグライダーに載せたおもりの質量、$w$ はグライダーに取り付けた遮光板の幅、$\Delta t$ は遮光板が光電ゲートを横切る時間である。測定結果は次のとおりである（$\pm$ の後は標準不確かさ）。
$$m_1=200.0\pm 0.3\mathrm{g},m_2=50.0\pm 0.4\mathrm{g},w=10.00\pm 0.02\mathrm{mm},\Delta t=25.00\pm 0.05\mathrm{ms}$$
4 つの測定量の不確かさは互いに独立であるとし、不確かさの伝播則（1 次の近似で、独立な寄与を二乗和の平方根で合成する）を用いる。このとき、$K$ の相対標準不確かさ $u(K)/K$ は何 % か。その値を求めよ。

ある地点の重力加速度 $g$ を、3 つの班が互いに独立な方法で測定し、次の結果を得た（単位は $m/{\mathrm{s}}^2$、$\pm$ の後は標準不確かさ）。
$$g_1=9.800\pm 0.010,g_2=9.830\pm 0.020,g_3=9.770\pm 0.020$$
これらを次の手順でまとめる。

1. 重み $w_i=1/{\sigma }_i^2$（${\sigma }_i$ は $g_i$ の標準不確かさ）を用いた重み付き平均 $\bar{g}$ と、その標準不確かさ ${\sigma }_{\bar{g}}={\left({\sum }_i{w}_i\right)}^{-1/2}$ を求める。
2. カイ二乗 $${\chi }^2=\sum _{i=1}^3\frac{(g_i-\bar{g}{)}^2}{{\sigma }_i^2}$$ を計算する。データの個数を $N=3$ として、${\chi }^2/(N-1)>1$ ならば、各測定の不確かさが過小評価されているとみなし、${\sigma }_{\bar{g}}$ に $\sqrt{{\chi }^2/(N-1)}$ を掛けたものを最終的な標準不確かさとする（${\chi }^2/(N-1)\le 1$ ならば ${\sigma }_{\bar{g}}$ をそのまま用いる）。

この手順で得られる最終的な標準不確かさを、単位を $m/{\mathrm{s}}^2$ として、根号を用いた正確な値で求めよ。

ある金属棒の長さ $L$ を、同じ条件・同じ測定器で繰り返し測定した。

- 1 日目に $6$ 回測定した。個々の測定値は記録が失われたが、その平均値は ${\bar{L}}_1=50.20\mathrm{mm}$、標本標準偏差（偏差の 2 乗和を $n-1$ で割って平方根をとったもの）は $s_1=0.14\mathrm{mm}$ であった。
- 2 日目に同じ条件でさらに $4$ 回測定し、次の値（単位は $\mathrm{mm}$）を得た。
$$50.23,50.39,50.11,50.27$$

$2$ 日間の合計 $10$ 個の測定値をひとつの標本とみなし、その平均値を $L$ の推定値とする。このとき、標本標準偏差 $s$ を $10$ 個の測定値から（$n-1=9$ で割る定義で）求め、平均の標準誤差を $s/\sqrt{10}$ として計算せよ。答えは $\mathrm{mm}$ 単位で、有効数字 $2$ 桁で求めよ。

なめらかな斜面上を一定の加速度で運動する台車の速さ $v$ を、速度センサーで時刻 $t$ ごとに測定したところ、次の結果が得られた。

このデータに直線 $v=v_0+at$ を最小二乗法であてはめる。時刻 $t$ の誤差は無視でき、各 $v$ の測定値は互いに独立で、同じ大きさの（未知の）標準偏差をもつとする。この標準偏差は、あてはめた直線からの残差の二乗和を自由度 $n-2$（$n$ はデータの個数）で割った値の平方根で推定する。

加速度 $a$ の最小二乗推定値と、その標準誤差 ${\sigma }_a$ を、単位を $m/{\mathrm{s}}^2$ として、この順に組 $(a,{\sigma }_a)$ の形で求めよ。ただし、値は分数または根号を用いた正確な値で答えよ。

エアトラック上を一定の速さで動くグライダーの運動エネルギー $K$ を、次の測定から求める。

• 質量: グライダー本体の質量 $m_1$ と、その上に載せたおもりの質量 $m_2$ を別々に量り、$m=m_1+m_2$ とする。結果は $m_1=200.0\mathrm{g}$（標準不確かさ $0.3\mathrm{g}$）、$m_2=50.0\mathrm{g}$（標準不確かさ $0.4\mathrm{g}$）であった。
• 速さ: グライダーに取り付けた幅 $L$ の遮光板が光電ゲートを横切る時間 $t$ を測り、$v=L/t$ とする。結果は $L=20.00\mathrm{mm}$（標準不確かさ $0.04\mathrm{mm}$）、$t=40.00\mathrm{ms}$（標準不確かさ $0.08\mathrm{ms}$）であった。

運動エネルギーは
$$K=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{m_1+m_2}{2}\cdot \frac{L^2}{t^2}$$
で計算する。4 つの測定値 $m_1,m_2,L,t$ の誤差は互いに独立で、不確かさは測定値に比べて十分小さく、誤差の伝播は 1 次の近似（各寄与の二乗和の平方根）で扱えるものとする。$K$ の標準不確かさ $u(K)$ を $\mathrm{mJ}$ 単位で、丸めずに正確な値で求めよ。

主尺の目盛りの間隔が $1\mathrm{mm}$ で、副尺（バーニヤ）が $39\mathrm{mm}$ の長さを $20$ 等分した目盛りをもつノギスがある。ジョーを閉じたときの副尺の $0$ 目盛線は、主尺の $0$ 目盛線と一致する（零点の誤差はない）。

このノギスで円柱の直径 $d$ を測ったところ、副尺の $0$ 目盛線は主尺の $32\mathrm{mm}$ と $33\mathrm{mm}$ の目盛線の間にあった。また、副尺の $0$ 目盛線から数えて $13$ 番目の目盛線が、主尺の $58\mathrm{mm}$ の目盛線とちょうど一致していた。

このノギスの分解能（最小読み取り値）まで読み取った $d$ の測定値を用いて円柱の円周の長さ $\pi d$ を計算し、その値を $d$ の測定値と同じ有効数字の桁数に丸めて、$\mathrm{mm}$ 単位で求めよ。ただし、$\pi$ には十分な桁数の値を用いるものとする。

ある共振器の共振周波数 $f$ を、4 つの研究グループが互いに独立に測定し、次の結果を報告した（単位は $\mathrm{Hz}$、$\pm$ の後は標準不確かさ）。
$$f_1=2500\pm 1,f_2=2504\pm 2,f_3=2498\pm 2,f_4=2502\pm 1$$
各測定値の誤差は互いに独立で正規分布に従うとし、これらを重み $w_i=1/{\sigma }_i^2$（${\sigma }_i$ は $f_i$ の標準不確かさ）で重み付き平均して
$$\bar{f}=\frac{{\sum }_{i=1}^4{w}_i{f}_i}{{\sum }_{i=1}^4{w}_i},{\sigma }_{\bar{f}}={\left(\sum _{i=1}^4{w}_i\right)}^{-1/2}$$
を求める。さらに、測定値どうしの食い違いを評価するため
$${\chi }^2=\sum _{i=1}^4\frac{(f_i-\bar{f}{)}^2}{{\sigma }_i^2}$$
を計算し、${\chi }^2/(N-1)$（$N=4$）が $1$ より大きい場合には、不確かさを拡大因子 $S=\sqrt{{\chi }^2/(N-1)}$ 倍して、最終的な不確かさを ${\sigma }^{\prime }=S{\sigma }_{\bar{f}}$ とする（$1$ 以下の場合は ${\sigma }^{\prime }={\sigma }_{\bar{f}}$ とする）。

この手順で得られる最終的な不確かさ ${\sigma }^{\prime }$ を、単位 $\mathrm{Hz}$ で、根号を含む正確な値で求めよ。

一様な金属の円柱の密度 $\rho$ を、次の測定から求める。

• 質量: 天びんで、空の容器の質量 $M_0$ と、容器に円柱を入れたときの質量 $M$ をそれぞれ 1 回ずつ量り、円柱の質量を $m=M-M_0$ とする。結果は $M_0=30.00\mathrm{g}$、$M=80.00\mathrm{g}$ で、どちらの測定値の標準不確かさも $0.05\mathrm{g}$ である。
• 直径: $d=20.00\mathrm{mm}$、標準不確かさ $0.05\mathrm{mm}$
• 高さ: $h=40.00\mathrm{mm}$、標準不確かさ $0.12\mathrm{mm}$

密度は $$\rho =\frac{4m}{\pi d^{2}h}$$ で計算する。$M_0,M,d,h$ の誤差は互いに独立（無相関）で、不確かさは測定値に比べて十分小さいので誤差の伝播は 1 次の近似で扱えるものとする。円周率 $\pi$ の誤差は考えない。

このとき、$\rho$ の相対不確かさ $\frac{\Delta \rho }{\rho }$ は何 $\%$ か。正確な値で求めよ。

振り子の周期 $T$ を次の方法で測定する。最小表示（分解能）が $d=0.01\text{s}$ のデジタル時計を連続して動かしておき、振り子がある位置を通過した瞬間の表示 $t_1$ を読み、そこから $N$ 回振動して（$N$ は正の整数）同じ位置を同じ向きに通過した瞬間の表示 $t_2$ を読む。周期は $T=\frac{t_2-t_1}{N}$ として求める。

誤差の要因としては時計の分解能だけを考え（人の反応時間などによる誤差は考えない）、次のようにみなす。
- 1 回の読み取りの真の値は、表示値を中心とする幅 $d$ の区間に一様に分布するとし、その標準不確かさを $\frac{d}{2\sqrt{3}}$ とする。
- $t_1$ と $t_2$ の読み取りの誤差は互いに独立である。

周期はおよそ $1.5\text{s}$ であり、相対標準不確かさ $\frac{u(T)}{T}$ の計算では $T=1.5\text{s}$ を用いる。$\frac{u(T)}{T}\le 5.0\times 10^{-5}$ となるような $N$ の最小値を求めよ。

小球を一定の高さから静かに放し、床に達するまでの時間を光電ゲートで同じ条件のもとで 8 回測定したところ、次の値（単位は $\mathrm{ms}$）が得られた。
$$452,448,455,445,450,447,453,450$$
測定値は互いに独立で、偶然誤差のみを含むものとする。$n$ 個の測定値 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ の平均を $\bar{x}$ とするとき、標本標準偏差を
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
で、平均の標準誤差を $s/\sqrt{n}$ で定める。

この 8 回の測定から求めた標本標準偏差 $s$ の値が、測定回数を増やしても変わらないと仮定する。同じ条件で測定を $N$ 回（$N$ は正の整数）行ったとき、平均の標準誤差 $s/\sqrt{N}$ が $1.0\mathrm{ms}$ 以下になるような $N$ の最小値を求めよ。

ある棒の長さを、同じ条件のもとで 2 人の学生 A, B が測定した。A は $4$ 回、B は $6$ 回測定し、それぞれ次の結果を報告した（単位は $\mathrm{mm}$）。

• A: $n_A=4$ 回の測定値の平均 ${\bar{x}}_A=20.00$、標準偏差 $s_A=0.30$
• B: $n_B=6$ 回の測定値の平均 ${\bar{x}}_B=20.50$、標準偏差 $s_B=0.40$

ここで、$n$ 個の測定値 $x_1,\dots ,x_n$ の平均を $\bar{x}$ とするとき、標準偏差は
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
で定義されたものとする。A と B の $10$ 個の測定値をすべて 1 つのデータとして扱い、その平均値を棒の長さの推定値とする。この平均値の標準誤差（$10$ 個の測定値全体の標準偏差 $s$ を用いて $s/\sqrt{10}$ で定義する）は何 $\mathrm{mm}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

ある抵抗器の抵抗値 $R$ を、同じ条件のもとでデジタルマルチメーターで 6 回測定したところ、次の値（単位は $\Omega$）が得られた。
$$100.4,99.8,100.1,100.5,99.7,99.5$$
測定値のばらつきは偶然誤差のみによるものとし、1 回の測定値の標準偏差は、この 6 回の測定値から求めた標本標準偏差（偏差の 2 乗和を $n-1$ で割って平方根をとったもの）$s$ で見積もる。また、測定回数を増やしても 1 回の測定値の標準偏差は $s$ のまま変わらないものとする。

この 6 回にさらに $k$ 回（$k$ は 0 以上の整数）の測定を追加し、合計 $6+k$ 回の測定値の平均を $R$ の測定値とする。平均の標準誤差 $s/\sqrt{6+k}$ を $0.06\Omega$ 以下にするために必要な追加の測定回数 $k$ の最小値を求めよ。

金属線の電気抵抗 $R$ を、温度 $T$ を変えながら測定したところ、次の結果が得られた。

温度 $T$ の誤差は無視でき、$R$ の各測定値は互いに独立で、等しい（未知の）標準偏差 $\sigma$ の偶然誤差のみを含むとする。$R=a+bT$ の直線を最小二乗法（重みなし）で当てはめ、$\sigma$ は残差の 2 乗和を（データ点の数）$-2$ で割った値の平方根で見積もる。

このとき、$0{}^{\circ }\mathrm{C}$ における抵抗の推定値である切片 $a$ の標準誤差は何 $\Omega$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

光電ゲートを用いて、小球がある高さから落下する時間 $t$ を測定した。測定は 2 日に分けて行い、それぞれの日の測定値について次の結果を得た（個々の測定値の記録は残っていない）。

• 1 日目: 測定回数 $n_1=6$、平均値 ${\bar{t}}_1=452.0\mathrm{ms}$、標本標準偏差 $s_1=1.5\mathrm{ms}$
• 2 日目: 測定回数 $n_2=4$、平均値 ${\bar{t}}_2=457.0\mathrm{ms}$、標本標準偏差 $s_2=2.5\mathrm{ms}$

ここで、$n$ 個の測定値 $x_1,\dots ,x_n$ の平均値を $\bar{x}$ とするとき、標本標準偏差は
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
で、平均の標準誤差は $s/\sqrt{n}$ で定義する。

2 日間の測定値 10 個をすべて 1 組の測定値とみなしたとき、その平均値の標準誤差は何 $\mathrm{ms}$ か。正確な値で求めよ。

光電効果の実験で、照射する光の振動数 $\nu$ を変えながら阻止電圧 $V$ を測定し、次の結果を得た。

振動数 $\nu$ の誤差は無視でき、各 $V$ の測定誤差は互いに独立で、標準偏差は共通の値 $\sigma$（未知）とする。データに直線 $V=a+b\nu$ を（重みなしの）最小二乗法で当てはめ、$\sigma$ は残差の二乗和 $S_r$ から ${\sigma }^2\approx S_r/(n-2)$（$n$ はデータ数）として推定する。

限界振動数を ${\nu }_0=-a/b$ と定義する。$a$ と $b$ の間の相関（共分散）も考慮し、誤差伝播の 1 次近似によって ${\nu }_0$ の標準不確かさ ${\sigma }_{{\nu }_0}$ を求めよ。答えは $10^{14}\mathrm{Hz}$ を単位とする数値で、有効数字 2 桁で答えよ。

最小表示（分解能）が $d=1\mathrm{mV}$ のデジタル電圧計がある。この電圧計は入力電圧 $x$ を、$d$ の整数倍のうち $x$ に最も近い値に丸めて表示する（$x$ がちょうど隣り合う 2 つの整数倍の中点になる場合は確率 $0$ なので考えなくてよい）。電圧計自身の雑音は無視できる。

真の値 $V$ が一定の電圧を測定する。$V$ の値は未知である。このままでは何回測定しても同じ表示しか得られず、平均をとっても分解能より細かい情報は得られない。そこで、$i$ 回目（$i=1,2,\dots ,n$）の測定では、区間 $[-d/2,d/2]$ 上の一様分布に従う電圧 $U_i$ を $V$ に加えた $V+U_i$ を電圧計に入力し、その表示を $y_i$ とする（ディザ法）。$U_1,U_2,\dots ,U_n$ は互いに独立であり、各回の加算そのものの誤差はない。

$n$ 回の表示の平均を $\bar{y}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{y}_i$ とする。$V$ がどのような値であっても $\bar{y}$ の標準偏差が $0.03\mathrm{mV}$ 以下になることを保証する、最小の正の整数 $n$ を求めよ。

単振り子の振動を $N$ 回（$N$ は正の整数）数え、その所要時間 $t_N$ を測って周期 $T=t_N/N$ を求め、振り子の長さ $L$ とあわせて重力加速度を $$g=\frac{4{\pi }^{2}L}{T^2}$$ により求める。測定の条件は次のとおりである。

• 長さ $L$ は最小目盛り $1\mathrm{mm}$ の巻尺で、最も近い目盛りに丸めて読み取り、$L=1.000\mathrm{m}$ を得る。
• 時間 $t_N$ は最小表示 $0.01\mathrm{s}$ のデジタルストップウォッチで測る。ストップウォッチは開始時にちょうど $0$ から計時を始め、表示は真の値を最も近い $0.01\mathrm{s}$ の倍数に丸めたものとする。
• 周期は $N$ によらず $T=2.000\mathrm{s}$ とみなしてよい（$t_N\approx 2N\mathrm{s}$）。

誤差の原因は巻尺とストップウォッチの分解能（読み取りの丸め）だけとし、反応時間の誤差や振幅の影響は考えない。それぞれの丸めの誤差は、幅が最小目盛り（最小表示）に等しい区間の一様分布に従い、互いに独立であるとする。誤差の伝播は 1 次の近似で扱い、$\pi$ には誤差がないものとする。

$g$ の相対標準不確かさ $\frac{u(g)}{g}$ を $5.0\times 10^{-4}$ 以下にするために必要な $N$ の最小値を求めよ。

金属棒の線膨張率 $\alpha$ を、次の式で求める。
$$\alpha =\frac{L_2-L_1}{L_1(T_2-T_1)}$$
ここで $L_1$, $L_2$ はそれぞれ温度 $T_1$, $T_2$ での棒の長さである。測定結果は次のとおりであった。
- $L_1=1.0000\text{m}$, $L_2=1.0012\text{m}$。長さはそれぞれ別々に測定し、どちらも標準不確かさは $u_L=2\times 10^{-5}\text{m}$ である。
- $T_1=20.0{}^{\circ }\text{C}$, $T_2=80.0{}^{\circ }\text{C}$。温度もそれぞれ別々に測定し、どちらも標準不確かさは $u_T=0.5\text{K}$ である。

4 つの測定値 $L_1$, $L_2$, $T_1$, $T_2$ の誤差は互いに独立であるとし、不確かさは 1 次の誤差伝播則（偏微分係数を用いて分散を足し合わせる方法）で求めるものとする。$\alpha$ の相対標準不確かさ $\frac{u(\alpha )}{\alpha }$ を有効数字 2 桁で求めよ。

ある励起状態の寿命 $\tau$ について、3 つの独立な実験から次の結果が得られた（単位は $\text{ns}$、$\pm$ の後は標準不確かさ）。
$${\tau }_1=19\pm 1,{\tau }_2=28\pm 2,{\tau }_3=16\pm 2$$
それぞれの測定値は真の値 $\tau$ のまわりに、与えられた標準不確かさ ${\sigma }_i$ を標準偏差とする正規分布に従うと仮定し、次の手順で 3 つの結果を 1 つにまとめる。

$(1)$ 重み $w_i=\frac{1}{{\sigma }_i^2}$ による重み付き平均 $\bar{\tau }=\frac{{\sum }_i{w}_i{\tau }_i}{{\sum }_i{w}_i}$ と、その標準不確かさ ${\sigma }_{\bar{\tau }}=\frac{1}{\sqrt{{\sum }_i{w}_i}}$ を求める。

$(2)$ ${\chi }^2=\sum _i\frac{({\tau }_i-\bar{\tau }{)}^2}{{\sigma }_i^2}$ を計算し、自由度を $\nu =N-1$（$N=3$ はデータの個数）とする。${\chi }^2/\nu >1$ のときは、各測定の不確かさが過小評価されているとみなし、${\sigma }_{\bar{\tau }}$ に尺度因子 $S=\sqrt{{\chi }^2/\nu }$ を掛けたもの $S{\sigma }_{\bar{\tau }}$ を最終的な標準不確かさとする（${\chi }^2/\nu \le 1$ のときは ${\sigma }_{\bar{\tau }}$ をそのまま用いる）。

この手順で得られる重み付き平均 $\bar{\tau }$ と最終的な標準不確かさを、$\text{ns}$ 単位の正確な値で、この順に組 $(\bar{\tau },\text{最終的な標準不確かさ})$ として求めよ。

つるまきばねの上端を固定し、下端に同じおもりを $x$ 個（$x=1,2,3,4,5$）つるしたときのばねの全長 $L$ を測定したところ、次の結果が得られた。

ばねはおもりが $8$ 個までの範囲でフックの法則に従い、$L$ は $x$ の 1 次式 $L=a+bx$ で表されるとする。$x$ の値には誤差がなく、各測定値 $L_i$（$i=1,2,\dots ,5$）は互いに独立で、同じ標準偏差 $\sigma$ の偶然誤差のみを含むとする。

$a,b$ を最小二乗法で求め、$\sigma$ を残差 $r_i=L_i-(a+b{x}_i)$ を用いて
$$\sigma =\sqrt{\frac{1}{n-2}\sum _{i=1}^n{r}_i^2}(n=5)$$
で推定する。このとき、おもりを $8$ 個つるしたときの全長の推定値 $\hat{L}=a+8b$ と、その標準誤差 ${\sigma }_{\hat{L}}$（$a$ と $b$ の誤差の相関も含めて誤差伝播で求めたもの）を、この順に組 $(\hat{L},{\sigma }_{\hat{L}})$ として、単位を $\mathrm{mm}$ として正確な値で求めよ。

鉛直につるした金属の細い針金の下端におもりをつるして伸びを測り、ヤング率 $E$ を
$$E=\frac{4mgL}{\pi d^2(x_2-x_1)}$$
により求める。ここで $m$ はおもりの質量、$g$ は重力加速度、$L$ は針金の長さ、$d$ は針金の直径、$x_1$, $x_2$ はおもりをつるす前と後に読んだ針金下端の目印の位置である。測定の結果は次のとおりである（標準不確かさはすべて互いに独立とする）。

• $L=2.000\mathrm{m}$、標準不確かさ $2.0\mathrm{mm}$
• $x_1=10.00\mathrm{mm}$, $x_2=12.00\mathrm{mm}$。それぞれの読みの標準不確かさは $0.015\mathrm{mm}$
• 直径 $d$ はマイクロメーターで針金の異なる場所を $n$ 回（$n$ は正の整数）独立に測り、その平均値 $\bar{d}$ を $d$ の値とする。$\bar{d}$ の値は $n$ によらず $0.500\mathrm{mm}$ とし、1 回の測定の標準偏差は $0.010\mathrm{mm}$、平均値 $\bar{d}$ の標準不確かさは $0.010/\sqrt{n}\mathrm{mm}$ とする
• $m$ と $g$ の不確かさは無視できる

不確かさの伝播は 1 次の近似（各量の偏微分による線形近似）で扱う。また、与えられた数値は正確な値とみなし、判定の途中で丸めを行わないものとする。$E$ の相対標準不確かさ $u(E)/E$ を $2\%$ 以下にするために必要な測定回数 $n$ の最小値を求めよ。

ある電圧を同じ条件のもとで $n$ 回（$n$ は $2$ 以上の整数）測定し、測定値 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ を得た。測定値は確率変数とみなし、次の性質をもつとする。

• 各測定値の期待値は真の値 $\mu$ に等しい: $E[x_i]=\mu$
• 各測定値の分散は等しい: $V[x_i]={\sigma }^2$（$\sigma >0$）
• 電源のゆっくりしたゆらぎのため、異なる 2 回の測定値の間には相関があり、$i\ne j$ のすべての組で相関係数が等しく $\rho$（$0\le \rho <1$ の定数）である: $\mathrm{Cov}(x_i,x_j)=\rho {\sigma }^2$

平均値 $\bar{x}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i$ と、不偏分散 $s^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$ を用いる。測定値が互いに独立であると誤って仮定すると、平均の標準誤差の 2 乗は $s^2/n$ で見積もられる。

平均値の真の分散 $V[\bar{x}]$ と、この見積もりの期待値 $E\left[s^2/n\right]$ の比
$$R=\frac{V[\bar{x}]}{E\left[s^2/n\right]}$$
を $n$ と $\rho$ を用いて表せ。

細い毛細管に水を流し、ポアズイユの法則
$$\eta =\frac{\pi r^4\Delta pt}{8VL}$$
から水の粘性率 $\eta$ を求める。ここで $r$ は毛細管の内半径、$L$ は毛細管の長さ、$V$ は時間 $t$ の間に流れ出た水の体積、$\Delta p$ は管の両端の圧力差である。各量は次のように求める。

• 内半径 $r$: 毛細管に水銀柱を入れ、その質量 $m$ と長さ $\ell$ を測り、$m={\rho }_{\mathrm{Hg}}\pi r^2\ell$ から求める。結果は $m=0.2000\pm 0.0010\mathrm{g}$、$\ell =7.50\pm 0.03\mathrm{cm}$。
• 圧力差 $\Delta p$: 上流側と下流側の水面の高さ $h_1$, $h_2$ を別々に読み取り、$\Delta p={\rho }_{\mathrm{w}}g(h_1-h_2)$ とする。結果は $h_1=25.0\pm 0.1\mathrm{cm}$、$h_2=15.0\pm 0.1\mathrm{cm}$。
• $t=200.0\pm 0.4\mathrm{s}$、$V=1.500\pm 0.006\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$、$L=20.00\pm 0.08\mathrm{cm}$。

$\pm$ の後は標準不確かさであり、$m,\ell ,h_1,h_2,t,V,L$ の誤差はすべて互いに独立な偶然誤差とする。水銀の密度 ${\rho }_{\mathrm{Hg}}$、水の密度 ${\rho }_{\mathrm{w}}$、重力加速度 $g$ の不確かさは無視でき、流れの間 $h_1-h_2$ は一定とみなす。誤差は十分小さく、1 次の誤差伝播の式が使えるとする。

$\eta$ の相対標準不確かさ ${\sigma }_{\eta }/\eta$ を百分率（$\%$）で、有効数字 2 桁で求めよ。

最小表示（分解能）が $d=1\mathrm{mV}$ のデジタル電圧計で、一定の電圧 $V_0$（未知）を測定する。この電圧計は、入力電圧を $d$ の整数倍のうち最も近い値に丸めて表示する（ちょうど中間の値になる確率は $0$ なので考えなくてよい）。電圧計自体の雑音は無視できる。

このままでは何回測っても同じ表示しか得られないので、各測定のたびに、区間 $\left[-\frac{d}{2},\frac{d}{2}\right]$ 上の一様分布に従う雑音電圧 $u$ を $V_0$ に加えてから測定する（ディザ法）。$u$ は測定ごとに独立とする。こうして得た $N$ 回の表示 $y_1,\dots ,y_N$ の平均 $\bar{y}=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N{y}_i$ で $V_0$ を推定する（$N$ は正の整数）。

$V_0$ がどのような値であっても $\bar{y}$ の標準偏差が $0.05\mathrm{mV}$ 以下になるような $N$ の最小値を求めよ。

抵抗値 $R$ が正確にわかっている抵抗器の両端の電圧 $V$ を、入力範囲が $0$ 〜 $V_{\mathrm{FS}}=10.24\mathrm{V}$ の $n$ ビット A/D 変換器（$n$ は正の整数）で 1 回だけ読み取り、消費電力を $P=V^2/R$ により求める。

この A/D 変換器は入力範囲を $2^n$ 等分した幅 $\Delta =V_{\mathrm{FS}}/2^n$（分解能）を単位として、入力電圧を最も近い段階の値に丸めて出力する。読み取り値に含まれる誤差は、この丸めによる量子化誤差のみとし、量子化誤差は区間 $[-\Delta /2,\Delta /2]$ で一様に分布するとみなす。また、誤差の伝播は 1 次の近似で扱う。

電圧がおよそ $V=2.00\mathrm{V}$ のとき、$P$ の相対標準不確かさ ${\sigma }_P/P$ を $1.0\times 10^{-4}$ 以下にするために必要なビット数 $n$ の最小値を求めよ。

ある金属片の長さを、同じ条件のもとでノギスで $n=10$ 回測定した。記録した 10 個の測定値 $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ から計算した結果は、平均値 $\bar{x}=50.00\mathrm{mm}$、標準偏差 $s=0.30\mathrm{mm}$ であった。ここで標準偏差は
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
で定める。

のちに記録を見直したところ、10 個の測定値のうち 1 つは、実際の読みが $50.10\mathrm{mm}$ であったのに、誤って $50.40\mathrm{mm}$ と記録していたことがわかった。ほかの 9 個の値は正しく記録されていた。

この 1 つの値を $50.10\mathrm{mm}$ に直した 10 個の正しい測定値について、平均の標準誤差 $s/\sqrt{n}$ を求めると何 $\mathrm{mm}$ になるか。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、与えられた $\bar{x}$ と $s$ の値は丸めのない正確な値とみなす。

容積を一定に保った容器に気体を閉じこめ、温度 $t$ を変えながら気体の圧力 $p$ を測定したところ、次の結果が得られた。

温度 $t$ の誤差は無視でき、圧力の測定値の誤差は互いに独立で、どの点でも等しい大きさ（未知）であるとする。この 5 点に直線 $p=a+bt$ を最小二乗法で当てはめる。圧力の誤差の大きさを残差から
$${\sigma }_p^2=\frac{1}{n-2}\sum _{i=1}^n(p_i-a-b{t}_i{)}^2(n=5)$$
と推定するとき、傾き $b$ の標準誤差は何 $kPa/{}^{\circ }\mathrm{C}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。