物理実験・誤差論の問題

最小表示（分解能）が $0.1\mathrm{g}$ のデジタル天びんで、試料の質量を次のように求めた。

• 空の容器をのせたときの表示: $25.3\mathrm{g}$
• 容器に試料を入れてのせたときの表示: $37.8\mathrm{g}$

試料の質量は、この 2 つの表示の差 $m=37.8-25.3=12.5\mathrm{g}$ とする。天びんの誤差は表示の丸め（分解能）によるものだけとし、各表示の真の値は、表示値を中心とする幅 $0.1\mathrm{g}$ の区間（表示値 $\pm 0.05\mathrm{g}$）に一様に分布すると考える。また、2 回の読み取りの丸め誤差は互いに独立であるとする。

このとき、$m$ の標準不確かさ（標準偏差）は何 $\mathrm{g}$ か。根号を含む正確な値で答えよ。

ビーカーに入れた水の質量を求めるため、空のビーカーの質量 $x$ と、水を入れたビーカーの質量 $y$ を別々にはかった。結果は次のとおりであった。

• 空のビーカー: $x=48.2\text{g}$、標準不確かさ $u(x)=0.3\text{g}$
• 水を入れたビーカー: $y=152.6\text{g}$、標準不確かさ $u(y)=0.4\text{g}$

水の質量を $m=y-x$ で求める。$x$ と $y$ の測定は互いに独立であるとし、独立な測定値 $x,y$ と定数 $a,b$ に対して $q=ax+by$ の標準不確かさは $u(q)=\sqrt{a^{2}u(x{)}^2+b^{2}u(y{)}^2}$ で与えられるものとする。

水の質量 $m$ の標準不確かさ $u(m)$ は何 g か。小数で答えよ。

単振り子の長さ $L$ と周期 $T$ を測定し、重力加速度を
$$g=\frac{4{\pi }^{2}L}{T^2}$$
で求める。$L$ の相対標準不確かさは $\frac{u(L)}{L}=0.3\%$、$T$ の相対標準不確かさは $\frac{u(T)}{T}=0.2\%$ であった。$L$ と $T$ の測定は互いに独立で、$4{\pi }^2$ は誤差を含まない定数とする。

独立な測定値 $x,y$ と定数 $a,b$ に対して、$q=C{x}^a{y}^b$（$C$ は定数）の相対標準不確かさは
$$\frac{u(q)}{q}=\sqrt{a^2{\left(\frac{u(x)}{x}\right)}^2+b^2{\left(\frac{u(y)}{y}\right)}^2}$$
で与えられるものとする。

$g$ の相対標準不確かさ $\frac{u(g)}{g}$ は何 % か。小数で答えよ。

ある棒の長さを同じ方法で $5$ 回測定したところ、次の値（単位は mm）が得られた。
$$152,154,155,156,158$$
標本標準偏差を $s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$（$n$ は測定回数、$\bar{x}$ は平均値）で定め、平均の標準誤差を $\frac{s}{\sqrt{n}}$ とする。

この測定の平均の標準誤差は何 mm か。正確な値で答えよ。

時刻 $x=1,2,3,4,5\text{s}$ の $5$ 点で物体の位置 $y$（単位 cm）を測定し、最小二乗法で直線 $y=a+bx$ を当てはめた。残差から推定した $y$ の測定誤差の大きさは $\sigma =0.20\text{cm}$ であった。$x$ には誤差がなく、$y$ の誤差は各点で独立で等しい大きさとする。

この直線を使って、時刻 $x_0=7\text{s}$ での位置を $\hat{y}=a+b{x}_0$ と推定する。傾きと切片の共分散 $\mathrm{Cov}(a,b)=-\frac{\bar{x}{\sigma }^2}{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}$ を含めて計算すると、$\hat{y}$ の標準誤差は
$${\sigma }_{\hat{y}}=\sigma \sqrt{\frac{1}{n}+\frac{(x_0-\bar{x}{)}^2}{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}}$$
で与えられる（$n$ はデータの数、$\bar{x}$ は $x_i$ の平均）。

${\sigma }_{\hat{y}}$ は何 cm か。根号を用いた正確な値で答えよ。