物理実験・誤差論の問題

凸レンズの焦点距離 $f$ を、物体からレンズまでの距離 $a$ とレンズから像までの距離 $b$ を測定して、レンズの式から得られる
$$f=\frac{ab}{a+b}$$
で求める。測定結果は $a=30.0\text{cm}$（標準不確かさ $u(a)=0.3\text{cm}$）、$b=60.0\text{cm}$（標準不確かさ $u(b)=0.9\text{cm}$）であった。$a$ と $b$ の測定は互いに独立とする。

1 次の誤差伝播則
$$u(f{)}^2={\left(\frac{\partial f}{\partial a}\right)}^{2}u(a{)}^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial b}\right)}^{2}u(b{)}^2$$
（偏微分係数は測定値での値を用いる）により、$f$ の標準不確かさ $u(f)$ は何 cm か。分数で答えよ。

ビーカーに入れた水の質量を求めるため、空のビーカーの質量 $x$ と、水を入れたビーカーの質量 $y$ を別々にはかった。結果は次のとおりであった。

• 空のビーカー: $x=48.2\text{g}$、標準不確かさ $u(x)=0.3\text{g}$
• 水を入れたビーカー: $y=152.6\text{g}$、標準不確かさ $u(y)=0.4\text{g}$

水の質量を $m=y-x$ で求める。$x$ と $y$ の測定は互いに独立であるとし、独立な測定値 $x,y$ と定数 $a,b$ に対して $q=ax+by$ の標準不確かさは $u(q)=\sqrt{a^{2}u(x{)}^2+b^{2}u(y{)}^2}$ で与えられるものとする。

水の質量 $m$ の標準不確かさ $u(m)$ は何 g か。小数で答えよ。

時刻 $x=1,2,3,4,5\text{s}$ の $5$ 点で物体の位置 $y$（単位 cm）を測定し、最小二乗法で直線 $y=a+bx$ を当てはめた。残差から推定した $y$ の測定誤差の大きさは $\sigma =0.20\text{cm}$ であった。$x$ には誤差がなく、$y$ の誤差は各点で独立で等しい大きさとする。

この直線を使って、時刻 $x_0=7\text{s}$ での位置を $\hat{y}=a+b{x}_0$ と推定する。傾きと切片の共分散 $\mathrm{Cov}(a,b)=-\frac{\bar{x}{\sigma }^2}{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}$ を含めて計算すると、$\hat{y}$ の標準誤差は
$${\sigma }_{\hat{y}}=\sigma \sqrt{\frac{1}{n}+\frac{(x_0-\bar{x}{)}^2}{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}}$$
で与えられる（$n$ はデータの数、$\bar{x}$ は $x_i$ の平均）。

${\sigma }_{\hat{y}}$ は何 cm か。根号を用いた正確な値で答えよ。

重力加速度 $g$ を 2 つの異なる方法で独立に測定し、次の結果を得た。

• 方法 A: $x_1=9.78{\text{m/s}}^2$、標準不確かさ ${\sigma }_1=0.02{\text{m/s}}^2$
• 方法 B: $x_2=9.84{\text{m/s}}^2$、標準不確かさ ${\sigma }_2=0.04{\text{m/s}}^2$

この 2 つの結果を、重み $w_i=\frac{1}{{\sigma }_i^2}$ の重み付き平均
$$\bar{x}=\frac{w_1{x}_1+w_2{x}_2}{w_1+w_2}$$
にまとめる。重み付き平均 $\bar{x}$ は何 ${\text{m/s}}^2$ か。小数で答えよ（丸めずに正確な値で答えよ）。

ある凸レンズの焦点距離 $f$ を、4 つの班が互いに独立な方法で測定し、次の結果を得た（単位は $\mathrm{cm}$、$\pm$ の後は標準不確かさ）。
$$f_1=20.02\pm 0.10,f_2=19.90\pm 0.20,f_3=20.10\pm 0.20,f_4=19.98\pm 0.10$$
各結果の誤差は互いに独立な正規分布に従い、偶然誤差のみを含むものとする。4 つの結果を各標準不確かさ ${\sigma }_i$ の 2 乗の逆数 $w_i=1/{\sigma }_i^2$ を重みとして重み付き平均した値を $\bar{f}$ とするとき、
$${\chi }^2=\sum _{i=1}^4{\left(\frac{f_i-\bar{f}}{{\sigma }_i}\right)}^2$$
の値を求めよ。答えは正確な値（小数または分数）で答えよ。