和と差の誤差伝播

独立な測定値の和・差・定数倍 $q = a x + b y$ の標準不確かさ $u (q) = a^{2} u (x)^{2} + b^{2} u (y)^{2}$ を求め、差をとる測定（風袋引き・2 回の時刻の読み取り）の不確かさを求められる

前提

平均値・標準偏差・平均の標準誤差（大学物理物理実験・誤差論）

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算数中学高校大学大学院

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樹形図で数え上げる（算数場合の数）
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素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
同時分布・周辺分布と独立性（大学数学確率・統計）
共分散と相関係数（数学I データの分析）
確率変数の共分散と相関係数（大学数学確率・統計）
連続型確率変数と確率密度関数（数学B 統計的な推測）
正規分布と標準化（数学B 統計的な推測）
標本平均の分布（数学B 統計的な推測）
不偏推定量（大学数学確率・統計）
平均値・標準偏差・平均の標準誤差（大学物理物理実験・誤差論）

説明

実験で求めたい量は、測定値をそのまま読むのではなく、2 つの測定値の差や和として計算することがよくあります。たとえば容器ごとの質量から容器だけの質量を引く「風袋引き」や、スタートとゴールの 2 回の時刻の読みの差から経過時間を求める場合です。この技能では、独立な測定値 $x, y$ の不確かさ $u (x), u (y)$ から、 $q = a x + b y$ の標準不確かさ $u (q) = a^{2} u (x)^{2} + b^{2} u (y)^{2}$ を求めます。

なぜそうしてよいのか

測定値 $x, y$ を、それぞれ真の値のまわりに標準偏差 $u (x), u (y)$ でばらつく確率変数とみなします。標準不確かさとは、この標準偏差のことです（繰り返し測定の平均なら平均の標準誤差 $s / n$ がこれに当たります）。

$q = a x + b y$ の分散は、確率変数の和の分散の性質から
$V (a x + b y) = a^{2} V (x) + b^{2} V (y) + 2 ab Cov (x, y)$
です。 $x, y$ が独立に測られていれば共分散 $Cov (x, y) = 0$ なので、 $V (q) = a^{2} u (x)^{2} + b^{2} u (y)^{2}$ 、その平方根をとって $u (q) = a^{2} u (x)^{2} + b^{2} u (y)^{2}$ が得られます。

ここで大事なのは 2 点です。第一に、差 $q = x - y$ （ $b = - 1$ ）でも $b^{2} = 1$ なので不確かさは打ち消し合わず、和のときと同じく足し合わされます。2 回の読み取りのずれはそれぞれ勝手な向きに起こるので、差をとっても消えないからです。第二に、単純に $u (x) + u (y)$ と足すのではなく、2 乗して足してから平方根をとります。2 つのずれが同時に同じ向きに最大になることはまれで、ある程度は打ち消し合うので、合成した不確かさは単純な和より小さくなります（直角三角形の斜辺が 2 辺の和より短いのと同じ形）。

手順

求めたい量を測定値の 1 次式 $q = a x + b y$ の形に書き、係数 $a, b$ を読み取る（差なら $b = - 1$ ）
各測定値の標準不確かさ $u (x), u (y)$ を確認する（繰り返し測定なら平均の標準誤差、読み取りの分解能なら与えられた値）
測定どうしが独立であることを確かめ、 $u (q) = a^{2} u (x)^{2} + b^{2} u (y)^{2}$ を計算する
値 $q$ と合わせて $q \pm u (q)$ の形で書く（不確かさは 1〜2 桁に丸め、 $q$ の位をそろえる）

例題

試料を容器に入れて質量を測ると $m_{1} = 152.4 g$ （標準不確かさ $0.3 g$ ）、空の容器の質量は $m_{2} = 48.2 g$ （標準不確かさ $0.4 g$ ）であった。2 つの測定は独立とする。試料の質量 $m = m_{1} - m_{2}$ の標準不確かさは何 g か。

例題の解答

手順 1： $m = 1 \cdot m_{1} + (- 1) \cdot m_{2}$ なので $a = 1$ 、 $b = - 1$ 。値は $m = 152.4 - 48.2 = 104.2 g$ 。

手順 2： $u (m_{1}) = 0.3 g$ 、 $u (m_{2}) = 0.4 g$ 。

手順 3：独立なので
$u (m) = 1^{2} \times 0. 3^{2} + (- 1)^{2} \times 0. 4^{2} = 0.09 + 0.16 = 0.25 = 0.5 g$

手順 4：試料の質量は $104.2 \pm 0.5 g$ 。

よって標準不確かさは $0.5 g$ 。

答え: $\frac{1}{2}$

よくある誤り

差をとると不確かさも引き算されるとして $u (m) = ∣ u (m_{1}) - u (m_{2}) ∣$ としてしまう誤り。上の例なら $0.1 g$ になる。正しくは $b^{2} = (- 1)^{2} = 1$ なので $u (m) = 0. 3^{2} + 0. 4^{2} = 0.5 g$
不確かさを単純に足して $u (q) = u (x) + u (y)$ としてしまう誤り（上の例で $0.7 g$ ）。独立な測定では、正しくは 2 乗の和の平方根 $u (x)^{2} + u (y)^{2}$
定数倍の係数を 2 乗し忘れたり、外に出し忘れたりする誤り。例えば $q = 3 x$ で $u (q) = 3 u (x)$ や $u (q) = u (x)$ とする。正しくは $u (q) = 3^{2} u (x)^{2} = 3 u (x)$
同じ値 $x$ を 2 回足した $q = x + x$ を、独立な 2 つの測定とみなして $u (q) = 2 u (x)$ としてしまう誤り。同じ測定値なのでずれは完全に同じ向きで独立ではなく、正しくは $q = 2 x$ として $u (q) = 2 u (x)$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ビーカーに入れた水の質量を求めるため、空のビーカーの質量 $x$ と、水を入れたビーカーの質量 $y$ を別々にはかった。結果は次のとおりであった。
- 空のビーカー: $x = 48.2 g$ 、標準不確かさ $u (x) = 0.3 g$
- 水を入れたビーカー: $y = 152.6 g$ 、標準不確かさ $u (y) = 0.4 g$
水の質量を $m = y - x$ で求める。 $x$ と $y$ の測定は互いに独立であるとし、独立な測定値 $x, y$ と定数 $a, b$ に対して $q = a x + b y$ の標準不確かさは $u (q) = a^{2} u (x)^{2} + b^{2} u (y)^{2}$ で与えられるものとする。
水の質量 $m$ の標準不確かさ $u (m)$ は何 g か。小数で答えよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

積・商・べき乗の相対誤差（大学物理物理実験・誤差論）
直線フィットの傾き・切片の誤差（大学物理物理実験・誤差論）
重み付き平均（大学物理物理実験・誤差論）