平均値・標準偏差・平均の標準誤差

ある棒の長さを同じ方法で $5$ 回測定したところ、次の値（単位は mm）が得られた。
$$152,154,155,156,158$$
標本標準偏差を $s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$（$n$ は測定回数、$\bar{x}$ は平均値）で定め、平均の標準誤差を $\frac{s}{\sqrt{n}}$ とする。

この測定の平均の標準誤差は何 mm か。正確な値で答えよ。

単振り子を用いて重力加速度 $g$ を同じ条件で 5 回測定したところ、次の値（単位は $m/{\mathrm{s}}^2$）が得られた。
$$9.84,9.76,9.82,9.78,9.80$$
測定値のばらつきは偶然誤差のみによるものとし、標本標準偏差 $s$ は $n$ 個の測定値 $x_i$ とその平均 $\bar{x}$ を用いて
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
で定義する。平均値の標準誤差 $s_{\bar{x}}=\frac{s}{\sqrt{n}}$ を $m/{\mathrm{s}}^2$ 単位で、根号を含む正確な値で求めよ。

ある金属棒の長さ $L$ を、同じ条件・同じ測定器で繰り返し測定した。

- 1 日目に $6$ 回測定した。個々の測定値は記録が失われたが、その平均値は ${\bar{L}}_1=50.20\mathrm{mm}$、標本標準偏差（偏差の 2 乗和を $n-1$ で割って平方根をとったもの）は $s_1=0.14\mathrm{mm}$ であった。
- 2 日目に同じ条件でさらに $4$ 回測定し、次の値（単位は $\mathrm{mm}$）を得た。
$$50.23,50.39,50.11,50.27$$

$2$ 日間の合計 $10$ 個の測定値をひとつの標本とみなし、その平均値を $L$ の推定値とする。このとき、標本標準偏差 $s$ を $10$ 個の測定値から（$n-1=9$ で割る定義で）求め、平均の標準誤差を $s/\sqrt{10}$ として計算せよ。答えは $\mathrm{mm}$ 単位で、有効数字 $2$ 桁で求めよ。

小球を一定の高さから静かに放し、床に達するまでの時間を光電ゲートで同じ条件のもとで 8 回測定したところ、次の値（単位は $\mathrm{ms}$）が得られた。
$$452,448,455,445,450,447,453,450$$
測定値は互いに独立で、偶然誤差のみを含むものとする。$n$ 個の測定値 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ の平均を $\bar{x}$ とするとき、標本標準偏差を
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
で、平均の標準誤差を $s/\sqrt{n}$ で定める。

この 8 回の測定から求めた標本標準偏差 $s$ の値が、測定回数を増やしても変わらないと仮定する。同じ条件で測定を $N$ 回（$N$ は正の整数）行ったとき、平均の標準誤差 $s/\sqrt{N}$ が $1.0\mathrm{ms}$ 以下になるような $N$ の最小値を求めよ。

ある抵抗器の抵抗値 $R$ を、同じ条件のもとでデジタルマルチメーターで 6 回測定したところ、次の値（単位は $\Omega$）が得られた。
$$100.4,99.8,100.1,100.5,99.7,99.5$$
測定値のばらつきは偶然誤差のみによるものとし、1 回の測定値の標準偏差は、この 6 回の測定値から求めた標本標準偏差（偏差の 2 乗和を $n-1$ で割って平方根をとったもの）$s$ で見積もる。また、測定回数を増やしても 1 回の測定値の標準偏差は $s$ のまま変わらないものとする。

この 6 回にさらに $k$ 回（$k$ は 0 以上の整数）の測定を追加し、合計 $6+k$ 回の測定値の平均を $R$ の測定値とする。平均の標準誤差 $s/\sqrt{6+k}$ を $0.06\Omega$ 以下にするために必要な追加の測定回数 $k$ の最小値を求めよ。

鉛直につるした金属の細い針金の下端におもりをつるして伸びを測り、ヤング率 $E$ を
$$E=\frac{4mgL}{\pi d^2(x_2-x_1)}$$
により求める。ここで $m$ はおもりの質量、$g$ は重力加速度、$L$ は針金の長さ、$d$ は針金の直径、$x_1$, $x_2$ はおもりをつるす前と後に読んだ針金下端の目印の位置である。測定の結果は次のとおりである（標準不確かさはすべて互いに独立とする）。

• $L=2.000\mathrm{m}$、標準不確かさ $2.0\mathrm{mm}$
• $x_1=10.00\mathrm{mm}$, $x_2=12.00\mathrm{mm}$。それぞれの読みの標準不確かさは $0.015\mathrm{mm}$
• 直径 $d$ はマイクロメーターで針金の異なる場所を $n$ 回（$n$ は正の整数）独立に測り、その平均値 $\bar{d}$ を $d$ の値とする。$\bar{d}$ の値は $n$ によらず $0.500\mathrm{mm}$ とし、1 回の測定の標準偏差は $0.010\mathrm{mm}$、平均値 $\bar{d}$ の標準不確かさは $0.010/\sqrt{n}\mathrm{mm}$ とする
• $m$ と $g$ の不確かさは無視できる

不確かさの伝播は 1 次の近似（各量の偏微分による線形近似）で扱う。また、与えられた数値は正確な値とみなし、判定の途中で丸めを行わないものとする。$E$ の相対標準不確かさ $u(E)/E$ を $2\%$ 以下にするために必要な測定回数 $n$ の最小値を求めよ。

ある電圧を同じ条件のもとで $n$ 回（$n$ は $2$ 以上の整数）測定し、測定値 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ を得た。測定値は確率変数とみなし、次の性質をもつとする。

• 各測定値の期待値は真の値 $\mu$ に等しい: $E[x_i]=\mu$
• 各測定値の分散は等しい: $V[x_i]={\sigma }^2$（$\sigma >0$）
• 電源のゆっくりしたゆらぎのため、異なる 2 回の測定値の間には相関があり、$i\ne j$ のすべての組で相関係数が等しく $\rho$（$0\le \rho <1$ の定数）である: $\mathrm{Cov}(x_i,x_j)=\rho {\sigma }^2$

平均値 $\bar{x}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i$ と、不偏分散 $s^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$ を用いる。測定値が互いに独立であると誤って仮定すると、平均の標準誤差の 2 乗は $s^2/n$ で見積もられる。

平均値の真の分散 $V[\bar{x}]$ と、この見積もりの期待値 $E\left[s^2/n\right]$ の比
$$R=\frac{V[\bar{x}]}{E\left[s^2/n\right]}$$
を $n$ と $\rho$ を用いて表せ。

ある金属片の長さを、同じ条件のもとでノギスで $n=10$ 回測定した。記録した 10 個の測定値 $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ から計算した結果は、平均値 $\bar{x}=50.00\mathrm{mm}$、標準偏差 $s=0.30\mathrm{mm}$ であった。ここで標準偏差は
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
で定める。

のちに記録を見直したところ、10 個の測定値のうち 1 つは、実際の読みが $50.10\mathrm{mm}$ であったのに、誤って $50.40\mathrm{mm}$ と記録していたことがわかった。ほかの 9 個の値は正しく記録されていた。

この 1 つの値を $50.10\mathrm{mm}$ に直した 10 個の正しい測定値について、平均の標準誤差 $s/\sqrt{n}$ を求めると何 $\mathrm{mm}$ になるか。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、与えられた $\bar{x}$ と $s$ の値は丸めのない正確な値とみなす。