物理実験・誤差論の問題

小球を一定の高さから静かに放し、床に達するまでの時間を光電ゲートで同じ条件のもとで 8 回測定したところ、次の値（単位は $\mathrm{ms}$）が得られた。
$$452,448,455,445,450,447,453,450$$
測定値は互いに独立で、偶然誤差のみを含むものとする。$n$ 個の測定値 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ の平均を $\bar{x}$ とするとき、標本標準偏差を
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
で、平均の標準誤差を $s/\sqrt{n}$ で定める。

この 8 回の測定から求めた標本標準偏差 $s$ の値が、測定回数を増やしても変わらないと仮定する。同じ条件で測定を $N$ 回（$N$ は正の整数）行ったとき、平均の標準誤差 $s/\sqrt{N}$ が $1.0\mathrm{ms}$ 以下になるような $N$ の最小値を求めよ。

ある金属棒の長さ $L$ を、同じ条件・同じ測定器で繰り返し測定した。

- 1 日目に $6$ 回測定した。個々の測定値は記録が失われたが、その平均値は ${\bar{L}}_1=50.20\mathrm{mm}$、標本標準偏差（偏差の 2 乗和を $n-1$ で割って平方根をとったもの）は $s_1=0.14\mathrm{mm}$ であった。
- 2 日目に同じ条件でさらに $4$ 回測定し、次の値（単位は $\mathrm{mm}$）を得た。
$$50.23,50.39,50.11,50.27$$

$2$ 日間の合計 $10$ 個の測定値をひとつの標本とみなし、その平均値を $L$ の推定値とする。このとき、標本標準偏差 $s$ を $10$ 個の測定値から（$n-1=9$ で割る定義で）求め、平均の標準誤差を $s/\sqrt{10}$ として計算せよ。答えは $\mathrm{mm}$ 単位で、有効数字 $2$ 桁で求めよ。

単振り子を用いて重力加速度 $g$ を同じ条件で 5 回測定したところ、次の値（単位は $m/{\mathrm{s}}^2$）が得られた。
$$9.84,9.76,9.82,9.78,9.80$$
測定値のばらつきは偶然誤差のみによるものとし、標本標準偏差 $s$ は $n$ 個の測定値 $x_i$ とその平均 $\bar{x}$ を用いて
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
で定義する。平均値の標準誤差 $s_{\bar{x}}=\frac{s}{\sqrt{n}}$ を $m/{\mathrm{s}}^2$ 単位で、根号を含む正確な値で求めよ。

金属線の電気抵抗 $R$ を、温度 $T$ を変えながら測定したところ、次の結果が得られた。

温度 $T$ の誤差は無視でき、$R$ の各測定値は互いに独立で、等しい（未知の）標準偏差 $\sigma$ の偶然誤差のみを含むとする。$R=a+bT$ の直線を最小二乗法（重みなし）で当てはめ、$\sigma$ は残差の 2 乗和を（データ点の数）$-2$ で割った値の平方根で見積もる。

このとき、$0{}^{\circ }\mathrm{C}$ における抵抗の推定値である切片 $a$ の標準誤差は何 $\Omega$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

ある棒の長さを、同じ条件のもとで 2 人の学生 A, B が測定した。A は $4$ 回、B は $6$ 回測定し、それぞれ次の結果を報告した（単位は $\mathrm{mm}$）。

• A: $n_A=4$ 回の測定値の平均 ${\bar{x}}_A=20.00$、標準偏差 $s_A=0.30$
• B: $n_B=6$ 回の測定値の平均 ${\bar{x}}_B=20.50$、標準偏差 $s_B=0.40$

ここで、$n$ 個の測定値 $x_1,\dots ,x_n$ の平均を $\bar{x}$ とするとき、標準偏差は
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
で定義されたものとする。A と B の $10$ 個の測定値をすべて 1 つのデータとして扱い、その平均値を棒の長さの推定値とする。この平均値の標準誤差（$10$ 個の測定値全体の標準偏差 $s$ を用いて $s/\sqrt{10}$ で定義する）は何 $\mathrm{mm}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。