物理実験・誤差論の問題

単振り子を用いて重力加速度 $g$ を同じ条件で 5 回測定したところ、次の値（単位は $m/{\mathrm{s}}^2$）が得られた。
$$9.84,9.76,9.82,9.78,9.80$$
測定値のばらつきは偶然誤差のみによるものとし、標本標準偏差 $s$ は $n$ 個の測定値 $x_i$ とその平均 $\bar{x}$ を用いて
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
で定義する。平均値の標準誤差 $s_{\bar{x}}=\frac{s}{\sqrt{n}}$ を $m/{\mathrm{s}}^2$ 単位で、根号を含む正確な値で求めよ。

ある棒の長さを、同じ条件のもとで 2 人の学生 A, B が測定した。A は $4$ 回、B は $6$ 回測定し、それぞれ次の結果を報告した（単位は $\mathrm{mm}$）。

• A: $n_A=4$ 回の測定値の平均 ${\bar{x}}_A=20.00$、標準偏差 $s_A=0.30$
• B: $n_B=6$ 回の測定値の平均 ${\bar{x}}_B=20.50$、標準偏差 $s_B=0.40$

ここで、$n$ 個の測定値 $x_1,\dots ,x_n$ の平均を $\bar{x}$ とするとき、標準偏差は
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
で定義されたものとする。A と B の $10$ 個の測定値をすべて 1 つのデータとして扱い、その平均値を棒の長さの推定値とする。この平均値の標準誤差（$10$ 個の測定値全体の標準偏差 $s$ を用いて $s/\sqrt{10}$ で定義する）は何 $\mathrm{mm}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

ある抵抗器の抵抗値 $R$ を、同じ条件のもとでデジタルマルチメーターで 6 回測定したところ、次の値（単位は $\Omega$）が得られた。
$$100.4,99.8,100.1,100.5,99.7,99.5$$
測定値のばらつきは偶然誤差のみによるものとし、1 回の測定値の標準偏差は、この 6 回の測定値から求めた標本標準偏差（偏差の 2 乗和を $n-1$ で割って平方根をとったもの）$s$ で見積もる。また、測定回数を増やしても 1 回の測定値の標準偏差は $s$ のまま変わらないものとする。

この 6 回にさらに $k$ 回（$k$ は 0 以上の整数）の測定を追加し、合計 $6+k$ 回の測定値の平均を $R$ の測定値とする。平均の標準誤差 $s/\sqrt{6+k}$ を $0.06\Omega$ 以下にするために必要な追加の測定回数 $k$ の最小値を求めよ。

光電ゲートを用いて、小球がある高さから落下する時間 $t$ を測定した。測定は 2 日に分けて行い、それぞれの日の測定値について次の結果を得た（個々の測定値の記録は残っていない）。

• 1 日目: 測定回数 $n_1=6$、平均値 ${\bar{t}}_1=452.0\mathrm{ms}$、標本標準偏差 $s_1=1.5\mathrm{ms}$
• 2 日目: 測定回数 $n_2=4$、平均値 ${\bar{t}}_2=457.0\mathrm{ms}$、標本標準偏差 $s_2=2.5\mathrm{ms}$

ここで、$n$ 個の測定値 $x_1,\dots ,x_n$ の平均値を $\bar{x}$ とするとき、標本標準偏差は
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
で、平均の標準誤差は $s/\sqrt{n}$ で定義する。

2 日間の測定値 10 個をすべて 1 組の測定値とみなしたとき、その平均値の標準誤差は何 $\mathrm{ms}$ か。正確な値で求めよ。

ある金属片の長さを、同じ条件のもとでノギスで $n=10$ 回測定した。記録した 10 個の測定値 $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ から計算した結果は、平均値 $\bar{x}=50.00\mathrm{mm}$、標準偏差 $s=0.30\mathrm{mm}$ であった。ここで標準偏差は
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
で定める。

のちに記録を見直したところ、10 個の測定値のうち 1 つは、実際の読みが $50.10\mathrm{mm}$ であったのに、誤って $50.40\mathrm{mm}$ と記録していたことがわかった。ほかの 9 個の値は正しく記録されていた。

この 1 つの値を $50.10\mathrm{mm}$ に直した 10 個の正しい測定値について、平均の標準誤差 $s/\sqrt{n}$ を求めると何 $\mathrm{mm}$ になるか。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、与えられた $\bar{x}$ と $s$ の値は丸めのない正確な値とみなす。