物理実験・誤差論の問題

ある棒の長さを、同じ条件のもとで 2 人の学生 A, B が測定した。A は $4$ 回、B は $6$ 回測定し、それぞれ次の結果を報告した（単位は $\mathrm{mm}$）。

• A: $n_A=4$ 回の測定値の平均 ${\bar{x}}_A=20.00$、標準偏差 $s_A=0.30$
• B: $n_B=6$ 回の測定値の平均 ${\bar{x}}_B=20.50$、標準偏差 $s_B=0.40$

ここで、$n$ 個の測定値 $x_1,\dots ,x_n$ の平均を $\bar{x}$ とするとき、標準偏差は
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
で定義されたものとする。A と B の $10$ 個の測定値をすべて 1 つのデータとして扱い、その平均値を棒の長さの推定値とする。この平均値の標準誤差（$10$ 個の測定値全体の標準偏差 $s$ を用いて $s/\sqrt{10}$ で定義する）は何 $\mathrm{mm}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

小球を一定の高さから静かに放し、床に達するまでの時間を光電ゲートで同じ条件のもとで 8 回測定したところ、次の値（単位は $\mathrm{ms}$）が得られた。
$$452,448,455,445,450,447,453,450$$
測定値は互いに独立で、偶然誤差のみを含むものとする。$n$ 個の測定値 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ の平均を $\bar{x}$ とするとき、標本標準偏差を
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
で、平均の標準誤差を $s/\sqrt{n}$ で定める。

この 8 回の測定から求めた標本標準偏差 $s$ の値が、測定回数を増やしても変わらないと仮定する。同じ条件で測定を $N$ 回（$N$ は正の整数）行ったとき、平均の標準誤差 $s/\sqrt{N}$ が $1.0\mathrm{ms}$ 以下になるような $N$ の最小値を求めよ。

単振り子を用いて重力加速度 $g$ を同じ条件で 5 回測定したところ、次の値（単位は $m/{\mathrm{s}}^2$）が得られた。
$$9.84,9.76,9.82,9.78,9.80$$
測定値のばらつきは偶然誤差のみによるものとし、標本標準偏差 $s$ は $n$ 個の測定値 $x_i$ とその平均 $\bar{x}$ を用いて
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
で定義する。平均値の標準誤差 $s_{\bar{x}}=\frac{s}{\sqrt{n}}$ を $m/{\mathrm{s}}^2$ 単位で、根号を含む正確な値で求めよ。

ある金属片の長さを、同じ条件のもとでノギスで $n=10$ 回測定した。記録した 10 個の測定値 $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ から計算した結果は、平均値 $\bar{x}=50.00\mathrm{mm}$、標準偏差 $s=0.30\mathrm{mm}$ であった。ここで標準偏差は
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
で定める。

のちに記録を見直したところ、10 個の測定値のうち 1 つは、実際の読みが $50.10\mathrm{mm}$ であったのに、誤って $50.40\mathrm{mm}$ と記録していたことがわかった。ほかの 9 個の値は正しく記録されていた。

この 1 つの値を $50.10\mathrm{mm}$ に直した 10 個の正しい測定値について、平均の標準誤差 $s/\sqrt{n}$ を求めると何 $\mathrm{mm}$ になるか。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、与えられた $\bar{x}$ と $s$ の値は丸めのない正確な値とみなす。

一様な金属の円柱の密度 $\rho$ を、次の測定から求める。

• 質量: 天びんで、空の容器の質量 $M_0$ と、容器に円柱を入れたときの質量 $M$ をそれぞれ 1 回ずつ量り、円柱の質量を $m=M-M_0$ とする。結果は $M_0=30.00\mathrm{g}$、$M=80.00\mathrm{g}$ で、どちらの測定値の標準不確かさも $0.05\mathrm{g}$ である。
• 直径: $d=20.00\mathrm{mm}$、標準不確かさ $0.05\mathrm{mm}$
• 高さ: $h=40.00\mathrm{mm}$、標準不確かさ $0.12\mathrm{mm}$

密度は $$\rho =\frac{4m}{\pi d^{2}h}$$ で計算する。$M_0,M,d,h$ の誤差は互いに独立（無相関）で、不確かさは測定値に比べて十分小さいので誤差の伝播は 1 次の近似で扱えるものとする。円周率 $\pi$ の誤差は考えない。

このとき、$\rho$ の相対不確かさ $\frac{\Delta \rho }{\rho }$ は何 $\%$ か。正確な値で求めよ。