物理実験・誤差論の問題

ある棒の長さを、同じ条件のもとで 2 人の学生 A, B が測定した。A は $4$ 回、B は $6$ 回測定し、それぞれ次の結果を報告した（単位は $\mathrm{mm}$）。

• A: $n_A=4$ 回の測定値の平均 ${\bar{x}}_A=20.00$、標準偏差 $s_A=0.30$
• B: $n_B=6$ 回の測定値の平均 ${\bar{x}}_B=20.50$、標準偏差 $s_B=0.40$

ここで、$n$ 個の測定値 $x_1,\dots ,x_n$ の平均を $\bar{x}$ とするとき、標準偏差は
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
で定義されたものとする。A と B の $10$ 個の測定値をすべて 1 つのデータとして扱い、その平均値を棒の長さの推定値とする。この平均値の標準誤差（$10$ 個の測定値全体の標準偏差 $s$ を用いて $s/\sqrt{10}$ で定義する）は何 $\mathrm{mm}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

光電ゲートを用いて、小球がある高さから落下する時間 $t$ を測定した。測定は 2 日に分けて行い、それぞれの日の測定値について次の結果を得た（個々の測定値の記録は残っていない）。

• 1 日目: 測定回数 $n_1=6$、平均値 ${\bar{t}}_1=452.0\mathrm{ms}$、標本標準偏差 $s_1=1.5\mathrm{ms}$
• 2 日目: 測定回数 $n_2=4$、平均値 ${\bar{t}}_2=457.0\mathrm{ms}$、標本標準偏差 $s_2=2.5\mathrm{ms}$

ここで、$n$ 個の測定値 $x_1,\dots ,x_n$ の平均値を $\bar{x}$ とするとき、標本標準偏差は
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
で、平均の標準誤差は $s/\sqrt{n}$ で定義する。

2 日間の測定値 10 個をすべて 1 組の測定値とみなしたとき、その平均値の標準誤差は何 $\mathrm{ms}$ か。正確な値で求めよ。

小球を一定の高さから静かに放し、床に達するまでの時間を光電ゲートで同じ条件のもとで 8 回測定したところ、次の値（単位は $\mathrm{ms}$）が得られた。
$$452,448,455,445,450,447,453,450$$
測定値は互いに独立で、偶然誤差のみを含むものとする。$n$ 個の測定値 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ の平均を $\bar{x}$ とするとき、標本標準偏差を
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
で、平均の標準誤差を $s/\sqrt{n}$ で定める。

この 8 回の測定から求めた標本標準偏差 $s$ の値が、測定回数を増やしても変わらないと仮定する。同じ条件で測定を $N$ 回（$N$ は正の整数）行ったとき、平均の標準誤差 $s/\sqrt{N}$ が $1.0\mathrm{ms}$ 以下になるような $N$ の最小値を求めよ。

容積を一定に保った容器に気体を閉じこめ、温度 $t$ を変えながら気体の圧力 $p$ を測定したところ、次の結果が得られた。

温度 $t$ の誤差は無視でき、圧力の測定値の誤差は互いに独立で、どの点でも等しい大きさ（未知）であるとする。この 5 点に直線 $p=a+bt$ を最小二乗法で当てはめる。圧力の誤差の大きさを残差から
$${\sigma }_p^2=\frac{1}{n-2}\sum _{i=1}^n(p_i-a-b{t}_i{)}^2(n=5)$$
と推定するとき、傾き $b$ の標準誤差は何 $kPa/{}^{\circ }\mathrm{C}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

つるまきばねの上端を固定し、下端に同じおもりを $x$ 個（$x=1,2,3,4,5$）つるしたときのばねの全長 $L$ を測定したところ、次の結果が得られた。

ばねはおもりが $8$ 個までの範囲でフックの法則に従い、$L$ は $x$ の 1 次式 $L=a+bx$ で表されるとする。$x$ の値には誤差がなく、各測定値 $L_i$（$i=1,2,\dots ,5$）は互いに独立で、同じ標準偏差 $\sigma$ の偶然誤差のみを含むとする。

$a,b$ を最小二乗法で求め、$\sigma$ を残差 $r_i=L_i-(a+b{x}_i)$ を用いて
$$\sigma =\sqrt{\frac{1}{n-2}\sum _{i=1}^n{r}_i^2}(n=5)$$
で推定する。このとき、おもりを $8$ 個つるしたときの全長の推定値 $\hat{L}=a+8b$ と、その標準誤差 ${\sigma }_{\hat{L}}$（$a$ と $b$ の誤差の相関も含めて誤差伝播で求めたもの）を、この順に組 $(\hat{L},{\sigma }_{\hat{L}})$ として、単位を $\mathrm{mm}$ として正確な値で求めよ。