正規分布と標準化

1 個のさいころを $720$ 回投げるとき、$1$ の目が出る回数を $X$ とする。$X$ の分布を正規分布で近似して、確率 $P(X\leqq 130)$ を求めよ。ただし、さいころの各目の出方は同様に確からしいものとする。また、$Z$ が標準正規分布 $N(0,1)$ に従うとき、$P(0\leqq Z\leqq 1)=0.3413$ であることを用いてよい。

ある窓口で 1 人の客の対応にかかる時間（分）を確率変数とみなす。$100$ 人の客の対応時間 $X_1,X_2,\dots ,X_{100}$ は互いに独立で、どれも期待値 $2$、標準偏差 $2$ の同じ分布にしたがうとする。対応時間の合計 $S=X_1+X_2+\cdots +X_{100}$ について、確率 $P(S\leqq 220)$ を中心極限定理による正規分布の近似を用いて求めよ。ただし、標準正規分布にしたがう確率変数 $Z$ について $P(Z\leqq 1)=0.8413$ を用いてよい。

確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_{300}$ は互いに独立で、それぞれ区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従うとする。
$$S=X_1+X_2+\cdots +X_{300}$$
とおく。中心極限定理を用いて $S$ の分布を正規分布で近似し、確率 $P(S\leqq 160)$ の近似値を求めよ。ただし、標準正規分布に従う確率変数 $Z$ について $P(0\leqq Z\leqq 2)=0.4772$ とし、答えは小数第 4 位までの小数で答えよ。

確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_{48}$ は互いに独立で、どれも区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従うとする。これらの和を
$$S=X_1+X_2+\cdots +X_{48}$$
とおく。中心極限定理による正規分布での近似を用いて、確率 $P(S\geqq 26)$ の近似値を小数第 4 位まで求めよ。ただし、標準正規分布 $N(0,1)$ に従う確率変数 $Z$ について $P(Z\leqq 1)=0.8413$ とする。

ある工場で製造される部品の重さ（単位: g）は、正規分布 $N(\mu ,4^2)$（平均 $\mu$、標準偏差 $4$）に従うとする。$\sigma =4$ は既知で、$\mu$ は未知の母数である。$n$ を正の整数とし、無作為に抽出した $n$ 個の部品の重さ $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立にこの分布に従うとする。標本平均を $\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ とする。

帰無仮説 $H_0:\mu =50$、対立仮説 $H_1:\mu >50$ を、有意水準 $0.05$ で検定する。棄却域は
$$\bar{X}\ge 50+1.645\cdot \frac{4}{\sqrt{n}}$$
とする（このとき有意水準はちょうど $0.05$ である）。

$\mu =52$ のときのこの検定の検出力が $0.90$ 以上となるような $n$ の最小値を求めよ。

ただし、標準正規分布の分布関数を $\Phi (z)$ とし、$\Phi (1.645)=0.95$、$\Phi (1.282)=0.90$ とする。また $\Phi$ は狭義単調増加である。

ある充填機で袋に詰める砂糖の重さ（単位: g）は、平均 $\mu$、分散 $9$ の正規分布 $N(\mu ,9)$ に従うとする（分散は既知、$\mu$ は未知の実数の母数）。$n$ を正の整数とし、無作為に取り出した $n$ 袋の重さ $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に $N(\mu ,9)$ に従うとする。

詰め不足を調べるため、帰無仮説 $H_0:\mu =100$、対立仮説 $H_1:\mu <100$ について、標本平均 $\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ が定数 $c$ 以下のとき $H_0$ を棄却する検定を行う。ただし $c$ は、この検定の有意水準がちょうど $0.05$ になるように定める。

真の平均が $\mu =98.5$ のときのこの検定の検出力（$H_0$ を棄却する確率）が $0.90$ 以上となるような $n$ のうち、最小のものを求めよ。

ただし、標準正規分布の分布関数を $\Phi$ とし、$\Phi (1.645)=0.95$、$\Phi (1.282)=0.90$ を用いよ。