数理統計の問題

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に区間 $(0,\theta )$ 上の一様分布に従う確率変数とする（$\theta >0$ は未知の母数）。帰無仮説 $H_0:\theta =1$ を対立仮説 $H_1:\theta =2$ に対して検定するために、$M=\max \{X_1,\dots ,X_n\}$ を検定統計量とし、定数 $c(0<c<1)$ を用いて
$$M>c\text{ のとき }{H}_0\text{ を棄却する}$$
という検定を考える。ここで $c$ は、この検定の有意水準（$H_0$ のもとで棄却する確率）がちょうど $0.1$ になるように定める。

$\theta =2$ のときの検出力（$H_0$ を棄却する確率）が $0.95$ 以上となるような最小の $n$ を求めよ。

ある工場で製造される部品の重さ（単位: g）は、正規分布 $N(\mu ,4^2)$（平均 $\mu$、標準偏差 $4$）に従うとする。$\sigma =4$ は既知で、$\mu$ は未知の母数である。$n$ を正の整数とし、無作為に抽出した $n$ 個の部品の重さ $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立にこの分布に従うとする。標本平均を $\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ とする。

帰無仮説 $H_0:\mu =50$、対立仮説 $H_1:\mu >50$ を、有意水準 $0.05$ で検定する。棄却域は
$$\bar{X}\ge 50+1.645\cdot \frac{4}{\sqrt{n}}$$
とする（このとき有意水準はちょうど $0.05$ である）。

$\mu =52$ のときのこの検定の検出力が $0.90$ 以上となるような $n$ の最小値を求めよ。

ただし、標準正規分布の分布関数を $\Phi (z)$ とし、$\Phi (1.645)=0.95$、$\Phi (1.282)=0.90$ とする。また $\Phi$ は狭義単調増加である。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に正規分布 $N(0,{\sigma }^2)$（平均 $0$、分散 ${\sigma }^2$）に従う確率変数とする。ここで $\sigma >0$ は未知の母数である。

$\sigma$ の推定量として
$$T=\frac{c}{n}\sum _{i=1}^n|X_i|$$
を考える。ここで定数 $c>0$ は、$T$ が $\sigma$ の不偏推定量になるように定める。

$\sigma$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L(\sigma )$ とするとき、比
$$e=\frac{L(\sigma )}{V(T)}$$
の値を求めよ（この値は $n$ と $\sigma$ によらない）。ただし、この分布族はクラメール・ラオの不等式が成り立つための正則条件を満たすものとしてよい。

$\theta >0$ を未知の母数とし、$X_1,\dots ,X_n$（$n$ は正の整数）は互いに独立に、区間 $[0,\theta ]$ 上の一様分布に従うとする。$0<\alpha <1$ を定数とし、帰無仮説 $H_0:\theta \le 1$、対立仮説 $H_1:\theta >1$ の検定として、
$$M=\max \{X_1,\dots ,X_n\},c=(1-\alpha {)}^{1/n}$$
とおき「$M>c$ のとき $H_0$ を棄却する」検定を考える。この検定の検出力関数を $\beta (\theta )=P_{\theta }(M>c)(\theta >0)$ と定める。

このとき
$$\underset{0<\theta \le 1}{\sup }\beta (\theta )=\alpha$$
（すなわちこの検定のサイズは $\alpha$）であり、さらにすべての $\theta >1$ に対して
$$\beta (\theta )=1-\frac{1-\alpha }{{\theta }^n}>\alpha$$
が成り立つ（対立仮説のもとでの検出力は常に $\alpha$ を超える）ことを証明せよ。

ある装置が 1 回の試行で成功する確率を $p$（$0<p<1$）とし、互いに独立に 5 回試行したときの成功回数を $X$ とする。$X$ は二項分布 $B(5,p)$ に従う。

帰無仮説 $H_0:p\le \frac{1}{2}$ を対立仮説 $H_1:p>\frac{1}{2}$ に対して検定する。ただし、乱数を用いて確率的に棄却を決める確率化検定も許すものとし、検定関数 $\varphi (x)$（$X=x$ のとき確率 $\varphi (x)$ で $H_0$ を棄却する、$0\le \varphi (x)\le 1$）で表す。

大きさ（サイズ）$\underset{p\le 1/2}{\sup }{E}_p[\varphi (X)]$ がちょうど $0.05$ である一様最強力検定を考える。この検定の $p=\frac{3}{4}$ における検出力 $E_{3/4}[\varphi (X)]$ を既約分数で求めよ。