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数理統計の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学数理統計

$n$ を正の整数とし、 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ は互いに独立に正規分布 $N (0, σ^{2})$ （平均 $0$ 、分散 $σ^{2}$ ）に従う確率変数とする。ここで $σ > 0$ は未知の母数である。

$σ$ の推定量として
$T = \frac{c}{n} i = 1 \sum n ∣ X_{i} ∣$
を考える。ここで定数 $c > 0$ は、 $T$ が $σ$ の不偏推定量になるように定める。

$σ$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L (σ)$ とするとき、比
$e = \frac{L ( σ )}{V ( T )}$
の値を求めよ（この値は $n$ と $σ$ によらない）。ただし、この分布族はクラメール・ラオの不等式が成り立つための正則条件を満たすものとしてよい。

この問題で使うもの

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$c$ を決めるために $E ∣ X_{i} ∣$ を求め、次に $V (T)$ を $V (∣ X_{i} ∣) = E (X_{i}^{2}) - (E ∣ X_{i} ∣)^{2}$ から計算します。下限は $σ$ に関するフィッシャー情報量から求めます。

ヒント 2

$E ∣ X ∣ = σ 2/ π$ です。また $I_{1} (σ) = - E [\partial^{2} lo g f / \partial σ^{2}]$ で、 $lo g f = - lo g σ - x^{2} / (2 σ^{2}) + (定数)$ です。

ヒント 3

$c = π /2$ 、 $V (T) = \frac{( π - 2 ) σ ^{2}}{2 n}$ となります。あとは $I_{n} (σ) = 2 n / σ^{2}$ からクラメール・ラオの下限を出して比をとります。

答えと解説

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\frac{1}{π - 2}

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解説を読む

1. 定数 $c$ の決定

$X \sim N (0, σ^{2})$ とすると、密度関数は $f (x ∣ σ) = \frac{1}{2 π σ} e^{- x^{2} / (2 σ^{2})}$ である。偶関数であることを使うと
$E ∣ X ∣ = 2 \int_{0}^{\infty} \frac{x}{2 π σ} e^{- x^{2} / (2 σ^{2})} d x = \frac{2}{2 π σ} [- σ^{2} e^{- x^{2} / (2 σ^{2})}]_{0}^{\infty} = \frac{2 σ ^{2}}{2 π σ} = σ \frac{2}{π} .$
よって $E (T) = c E ∣ X ∣ = c σ 2/ π$ であり、これが $σ$ に等しくなるので $c = π /2$ 。

2. $V (T)$ の計算

$E (∣ X ∣^{2}) = E (X^{2}) = σ^{2}$ より
$V (∣ X ∣) = σ^{2} - \frac{2 σ ^{2}}{π} = σ^{2} \cdot \frac{π - 2}{π} .$
$∣ X_{1} ∣, \dots, ∣ X_{n} ∣$ は独立なので
$V (T) = \frac{c ^{2}}{n ^{2}} \cdot nV (∣ X ∣) = \frac{π}{2 n} \cdot σ^{2} \frac{π - 2}{π} = \frac{( π - 2 ) σ ^{2}}{2 n} .$

3. フィッシャー情報量とクラメール・ラオの下限

1 個の観測について
$lo g f (x ∣ σ) = - lo g σ - \frac{x ^{2}}{2 σ ^{2}} - \frac{1}{2} lo g (2 π),$
$\frac{\partial}{\partial σ} lo g f = - \frac{1}{σ} + \frac{x ^{2}}{σ ^{3}}, \frac{\partial ^{2}}{\partial σ ^{2}} lo g f = \frac{1}{σ ^{2}} - \frac{3 x ^{2}}{σ ^{4}} .$
正則条件のもとで $I_{1} (σ) = - E [\frac{\partial ^{2}}{\partial σ ^{2}} lo g f (X ∣ σ)] = - \frac{1}{σ ^{2}} + \frac{3 σ ^{2}}{σ ^{4}} = \frac{2}{σ ^{2}}$ 。
独立な $n$ 個の観測のフィッシャー情報量は $I_{n} (σ) = n I_{1} (σ) = \frac{2 n}{σ ^{2}}$ なので、 $σ$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限は
$L (σ) = \frac{1}{I _{n} ( σ )} = \frac{σ ^{2}}{2 n} .$

4. 比の計算
$e = \frac{L ( σ )}{V ( T )} = \frac{σ ^{2} / ( 2 n )}{( π - 2 ) σ ^{2} / ( 2 n )} = \frac{1}{π - 2} (\approx 0.876) .$

（補足：同時密度は $σ^{- n} (2 π)^{- n /2} exp (- \sum x_{i}^{2} / (2 σ^{2}))$ なので、分解定理より $\sum X_{i}^{2}$ が十分統計量である。 $T$ はこれの関数ではないため、下限に達しない。）

答え： $\frac{1}{π - 2}$

別解

$E ∣ X_{i} ∣ = σ 2/ π$ なので、不偏性より $c 2/ π = 1$ 、すなわち $c = π /2$ である。

$E [X_{i}^{2}] = σ^{2}$ より $Var ∣ X_{i} ∣ = σ^{2} - \frac{2}{π} σ^{2} = σ^{2} (1 - 2/ π)$ 。したがって
$V (T) = \frac{c ^{2}}{n ^{2}} \cdot n σ^{2} (1 - 2/ π) = \frac{π}{2 n} σ^{2} (1 - \frac{2}{π}) = \frac{( π - 2 ) σ ^{2}}{2 n}$ 。

フィッシャー情報量は次のように求める。1 個の観測について $lo g f = - lo g σ - \frac{x ^{2}}{2 σ ^{2}} + const$ であり、 $σ$ で 2 回微分すると $\frac{1}{σ ^{2}} - \frac{3 x ^{2}}{σ ^{4}}$ となる。 $- E$ をとると $- \frac{1}{σ ^{2}} + \frac{3}{σ ^{2}} = \frac{2}{σ ^{2}}$ なので、 $n$ 個では $I_{n} (σ) = \frac{2 n}{σ ^{2}}$ 。

よって $L (σ) = \frac{σ ^{2}}{2 n}$ である。

$e = \frac{σ ^{2} / ( 2 n )}{( π - 2 ) σ ^{2} / ( 2 n )} = \frac{1}{π - 2} \approx 0.876$ 。

検算として、 $e \leq 1$ を満たす（ $π - 2 \approx 1.1416 > 1$ ）ので、クラメール・ラオの不等式と矛盾しない。

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