母数の関数の推定とクラメール・ラオの下限・効率

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に正規分布 $N(\mu ,1)$（平均 $\mu$、分散 $1$）に従う確率変数とする。ここで $\mu$ は未知の実数の母数である。$\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ とおき、$g(\mu )={\mu }^2$ の推定量として
$$T={\bar{X}}^2-\frac{1}{n}$$
を考える。$T$ は $g(\mu )$ の不偏推定量であり、その分散は
$$V(T)=\frac{4{\mu }^2}{n}+\frac{2}{n^2}$$
であることが知られている。$g(\mu )$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L(\mu )$ とするとき、$T$ の効率 $\frac{L(\mu )}{V(T)}$ を $n,\mu$ の式で求めよ。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \lambda )=\lambda e^{-\lambda x}(x>0)$$
（$x\le 0$ では $f(x\mid \lambda )=0$）の指数分布に従う確率変数とする。ここで $\lambda >0$ は未知の母数である。この分布の期待値は $E(X_i)=\frac{1}{\lambda }$、分散は $V(X_i)=\frac{1}{{\lambda }^2}$ である。

$g(\lambda )=\frac{1}{\lambda }$ の推定量として、重みをつけた平均
$$T=\frac{2}{n(n+1)}\sum _{k=1}^{n}k{X}_k$$
を考える。$T$ は $g(\lambda )$ の不偏推定量である。$g(\lambda )$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L(\lambda )$ とするとき、$T$ の効率 $\frac{L(\lambda )}{V(T)}$ を $n$ の式で求めよ。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率関数
$$P(X=k\mid p)=(1-p{)}^{k-1}p(k=1,2,3,\dots )$$
の幾何分布に従う確率変数とする。ここで $0<p<1$ は未知の母数である。この分布の平均 $\mu =\frac{1}{p}$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を、$n$ と $p$ を用いて表せ。

$n$ を正の整数とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率関数 $$P(X=k\mid \theta )=\frac{{\theta }^k{e}^{-\theta }}{k!}(k=0,1,2,\dots )$$ のポアソン分布に従う確率変数である。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。1 回の観測で値が $0$ となる確率 $\tau (\theta )=P(X=0\mid \theta )=e^{-\theta }$ を、$X_1,\dots ,X_n$ にもとづく不偏推定量で推定したい。$\tau (\theta )$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を、$n$ と $\theta$ を用いて表せ。ただし、クラメール・ラオの不等式が成り立つための正則条件は満たされているものとする。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に正規分布 $N(0,{\sigma }^2)$（平均 $0$、分散 ${\sigma }^2$）に従う確率変数とする。ここで $\sigma >0$ は未知の母数である。

$\sigma$ の推定量として
$$T=\frac{c}{n}\sum _{i=1}^n|X_i|$$
を考える。ここで定数 $c>0$ は、$T$ が $\sigma$ の不偏推定量になるように定める。

$\sigma$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L(\sigma )$ とするとき、比
$$e=\frac{L(\sigma )}{V(T)}$$
の値を求めよ（この値は $n$ と $\sigma$ によらない）。ただし、この分布族はクラメール・ラオの不等式が成り立つための正則条件を満たすものとしてよい。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\frac{x}{\theta }\exp \left(-\frac{x^2}{2\theta }\right)(x>0),f(x\mid \theta )=0(x\le 0)$$
をもつ分布に従うとする。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。$g(\theta )=\sqrt{\theta }$ の推定量として
$$T=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\bar{X},\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$$
を考える（$T$ は $\sqrt{\theta }$ の不偏推定量である）。$\sqrt{\theta }$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L(\theta )$ とするとき、$T$ の効率 $\frac{L(\theta )}{V(T)}$ を求めよ。ただし、クラメール・ラオの不等式が成り立つための正則条件は満たされているものとし、必要なら ${\int }_0^{\infty }{e}^{-u^2/2}du=\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ を用いてよい。

$n$ を $3$ 以上の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\theta x^{\theta -1}(0<x<1)$$
（$0<x<1$ 以外では $f(x\mid \theta )=0$）に従う確率変数とする。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。

$S=-\sum _{i=1}^n\log X_i$ とおき、$\theta$ の推定量
$$T=\frac{n-1}{S}$$
を考える（$T$ は $\theta$ の不偏推定量である）。$\theta$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L(\theta )$ とするとき、比 $\frac{L(\theta )}{V(T)}$ を $n$ の式で求めよ。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\theta x^{\theta -1}(0<x<1)$$
（$0<x<1$ 以外では $f(x\mid \theta )=0$）をもつ分布に従う確率変数とする。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。

$g(\theta )=E_{\theta }[X_1]$ とおくと、標本平均 $\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ は $g(\theta )$ の不偏推定量である。$g(\theta )$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L_n(\theta )$ とするとき、比
$$\frac{L_n(\theta )}{V_{\theta }(\bar{X})}$$
を $\theta$ の式で求めよ。ただし、この分布族はクラメール・ラオの不等式が成り立つための正則条件を満たすものとしてよい。