推定量のバイアスと平均二乗誤差

$\theta$ を正の実数（未知の母数）とします。$X_1,X_2,X_3,X_4$ は互いに独立に、区間 $[0,\theta ]$ 上の一様分布に従う確率変数です。各 $X_i$ について
$$E(X_i)=\frac{\theta }{2},V(X_i)=\frac{{\theta }^2}{12}$$
が成り立つことを用いてかまいません。$\theta$ の推定量として
$$T=\frac{2}{5}\left(X_1+X_2+X_3+X_4\right)$$
を考えます。$T$ の平均二乗誤差 $\mathrm{MSE}(T)=E\left[(T-\theta {)}^2\right]$ を $\theta$ の式で求めてください。

$X_1,X_2,X_3,X_4$ は互いに独立で、いずれも平均 $\mu$、分散 ${\sigma }^2$ をもつ同じ分布に従う確率変数とする（$\mu$ は実数、$\sigma >0$）。$\mu$ の推定量として
$$T=\frac{X_1+X_2+X_3+X_4}{5}$$
を考える。$T$ の平均二乗誤差 $\mathrm{MSE}(T)=E\left[(T-\mu {)}^2\right]$ を $\mu ,\sigma$ を用いて表せ。

$\theta$ を正の実数とし、$X_1,X_2,X_3,X_4,X_5$ は互いに独立に、区間 $[0,\theta ]$ 上の一様分布に従う確率変数とする。各 $X_i$ の期待値は $E(X_i)=\frac{\theta }{2}$、分散は $V(X_i)=\frac{{\theta }^2}{12}$ である。$\theta$ の推定量として
$$T=\frac{X_1+X_2+X_3+X_4+X_5}{3}$$
を考える。$T$ の平均二乗誤差 $\mathrm{MSE}(T)=E\left((T-\theta {)}^2\right)$ を $\theta$ を用いて表せ。

$X_1,X_2,\dots ,X_{10}$ は互いに独立に、成功確率 $p$ のベルヌーイ分布 $P(X_i=1)=p,P(X_i=0)=1-p$ に従う確率変数とする（$0<p<1$）。$p$ の推定量として
$$T=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_{10}+1}{12}$$
を考える。$T$ の平均二乗誤差 $\mathrm{MSE}(T)=E\left[(T-p{)}^2\right]$ を $p$ の式で求めよ。

$X_1,X_2,X_3$ は互いに独立で、いずれも平均 $\mu$、分散 ${\sigma }^2$ をもつ同じ分布に従う確率変数とする（$\mu$ は実数、$\sigma >0$）。$\mu$ の推定量として
$$T=\frac{X_1+2X_2+X_3}{5}$$
を考える。$T$ の平均二乗誤差 $\mathrm{MSE}(T)=E\left[(T-\mu {)}^2\right]$ を $\mu ,\sigma$ の式で求めよ。

$\theta >0$ を未知の母数とし、$X_1,\dots ,X_n$（$n$ は $3$ 以上の整数）は互いに独立に、区間 $[0,\theta ]$ 上の一様分布に従うとする。$\theta$ の 2 つの推定量
$${\hat{\theta }}_1=\frac{2}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,{\hat{\theta }}_2=M=\max \{X_1,\dots ,X_n\}$$
を考える。推定量 $\hat{\theta }$ の平均二乗誤差を ${\mathrm{MSE}}_{\theta }(\hat{\theta })=E_{\theta }\left[(\hat{\theta }-\theta {)}^2\right]$ と定める。

${\hat{\theta }}_1$ は $\theta$ の不偏推定量で、${\hat{\theta }}_2$ は不偏推定量でない（バイアスが $0$ でない）にもかかわらず、すべての $\theta >0$ に対して
$${\mathrm{MSE}}_{\theta }({\hat{\theta }}_2)<{\mathrm{MSE}}_{\theta }({\hat{\theta }}_1)$$
が成り立つことを証明せよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に正規分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ に従う確率変数とする（$\mu$ は未知の実数、${\sigma }^2>0$ は未知の母数）。
$$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,S=\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$$
とおく。このとき $S/{\sigma }^2$ は自由度 $n-1$ のカイ二乗分布に従い、その平均は $n-1$、分散は $2(n-1)$ であることを用いてよい。

正の定数 $c$ に対して、${\sigma }^2$ の推定量 $T_c=cS$ を考える。平均二乗誤差 $\mathrm{MSE}(T_c)=E\left[(T_c-{\sigma }^2{)}^2\right]$ を、すべての $\mu$, ${\sigma }^2$ に対して最小にする $c$ を $n$ の式で求めよ。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率関数
$$P(X=k\mid \lambda )=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}(k=0,1,2,\dots )$$
のポアソン分布に従う確率変数とする。ここで $\lambda >0$ は未知の母数である。$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ とし、${\lambda }^2$ の推定量として $T={\bar{X}}^2$ を用いる。$T$ の平均二乗誤差
$$\mathrm{MSE}(T)=E\left[(T-{\lambda }^2{)}^2\right]$$
を $n$ と $\lambda$ の式で表せ。

$n$ を $3$ 以上の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\theta e^{-\theta x}(x>0)$$
の指数分布に従う確率変数とする（$\theta >0$ は未知の母数）。$S=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおき、$\theta$ によらない正の定数 $c$（$n$ には依存してよい）を用いた $\theta$ の推定量
$${\hat{\theta }}_c=\frac{c}{S}$$
を考える。平均二乗誤差 $\mathrm{MSE}(c)=E\left[({\hat{\theta }}_c-\theta {)}^2\right]$ を最小にする $c$ の値はすべての $\theta >0$ に対して共通である。この値を $c^{\ast }$ とするとき、組 $(c^{\ast },\mathrm{MSE}(c^{\ast }))$ を $n$ と $\theta$ を用いて表せ。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に正規分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ に従う確率変数とする。ここで $\mu$ は実数、$\sigma$ は正の実数で、どちらも未知の母数である。標本平均と不偏分散を
$$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$$
とし、${\mu }^2$ の推定量
$$T={\bar{X}}^2-\frac{S^2}{n}$$
を考える。$T$ の平均二乗誤差 $E\left[(T-{\mu }^2{)}^2\right]$ を $\mu ,\sigma ,n$ を用いて表せ。