数理統計の問題

$n$ を $2$ 以上の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に正規分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ に従う確率変数とする。ここで $\mu$ は実数、$\sigma$ は正の実数で、どちらも未知の母数である。標本平均と不偏分散を
$$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$$
とし、${\mu }^2$ の推定量
$$T={\bar{X}}^2-\frac{S^2}{n}$$
を考える。$T$ の平均二乗誤差 $E\left[(T-{\mu }^2{)}^2\right]$ を $\mu ,\sigma ,n$ を用いて表せ。

$\theta >0$ を未知の母数とし、$X_1,\dots ,X_n$（$n$ は $3$ 以上の整数）は互いに独立に、区間 $[0,\theta ]$ 上の一様分布に従うとする。$\theta$ の 2 つの推定量
$${\hat{\theta }}_1=\frac{2}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,{\hat{\theta }}_2=M=\max \{X_1,\dots ,X_n\}$$
を考える。推定量 $\hat{\theta }$ の平均二乗誤差を ${\mathrm{MSE}}_{\theta }(\hat{\theta })=E_{\theta }\left[(\hat{\theta }-\theta {)}^2\right]$ と定める。

${\hat{\theta }}_1$ は $\theta$ の不偏推定量で、${\hat{\theta }}_2$ は不偏推定量でない（バイアスが $0$ でない）にもかかわらず、すべての $\theta >0$ に対して
$${\mathrm{MSE}}_{\theta }({\hat{\theta }}_2)<{\mathrm{MSE}}_{\theta }({\hat{\theta }}_1)$$
が成り立つことを証明せよ。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に正規分布 $N(\mu ,1)$（平均 $\mu$、分散 $1$）に従う確率変数とする。ここで $\mu$ は未知の実数の母数である。$\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ とおき、$g(\mu )={\mu }^2$ の推定量として
$$T={\bar{X}}^2-\frac{1}{n}$$
を考える。$T$ は $g(\mu )$ の不偏推定量であり、その分散は
$$V(T)=\frac{4{\mu }^2}{n}+\frac{2}{n^2}$$
であることが知られている。$g(\mu )$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L(\mu )$ とするとき、$T$ の効率 $\frac{L(\mu )}{V(T)}$ を $n,\mu$ の式で求めよ。

$X_1,X_2,X_3$ は互いに独立で、いずれも平均 $\mu$、分散 ${\sigma }^2$ をもつ同じ分布に従う確率変数とする（$\mu$ は実数、$\sigma >0$）。$\mu$ の推定量として
$$T=\frac{X_1+2X_2+X_3}{5}$$
を考える。$T$ の平均二乗誤差 $\mathrm{MSE}(T)=E\left[(T-\mu {)}^2\right]$ を $\mu ,\sigma$ の式で求めよ。

$X_1,X_2,\dots ,X_{10}$ は互いに独立に、成功確率 $p$ のベルヌーイ分布 $P(X_i=1)=p,P(X_i=0)=1-p$ に従う確率変数とする（$0<p<1$）。$p$ の推定量として
$$T=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_{10}+1}{12}$$
を考える。$T$ の平均二乗誤差 $\mathrm{MSE}(T)=E\left[(T-p{)}^2\right]$ を $p$ の式で求めよ。