標本平均の分布

母平均 $60$、母標準偏差 $15$ の母集団から、大きさ $25$ の無作為標本を復元抽出する。この標本の標本平均を $\bar{X}$ とするとき、$\bar{X}$ の標準偏差 $\sigma (\bar{X})$ を求めよ。

母平均 $50$、母標準偏差 $8$ の母集団から、大きさ $16$ の無作為標本を復元抽出する。このときの標本平均 $\bar{X}$ の標準偏差 $\sigma (\bar{X})$ を求めよ。

ある工場で作られる菓子の袋の重さを母集団とする。母平均は $200\text{g}$、母標準偏差は $15\text{g}$ である。この母集団から大きさ $25$ の無作為標本を抽出し、その標本平均を $\bar{X}$ とする。$\bar{X}$ の標準偏差 $\sigma (\bar{X})$ は何 g か。数値で答えよ。

袋の中に、数字 $1$ が書かれた札が $1$ 枚、数字 $2$ が書かれた札が $2$ 枚、数字 $3$ が書かれた札が $1$ 枚、合計 $4$ 枚の札が入っている。この $4$ 枚の札を母集団とし、札に書かれた数字を変量とする。この袋から札を $1$ 枚取り出して数字を記録し、袋に戻すという操作を $8$ 回くり返す。記録した $8$ 個の数字の標本平均を $\overline{X}$ とするとき、$\overline{X}$ の標準偏差 $\sigma (\overline{X})$ を求めよ。ただし、どの札も取り出される確率は等しいものとする。

袋の中に、$1,2,3,4,5$ の数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードが入っている。この 5 枚のカードを母集団とし、カードに書かれた数字を変量とする。この袋から 1 枚取り出して数字を記録し、袋に戻すことを $8$ 回くり返す（復元抽出）。記録した $8$ 個の数字の標本平均を $\bar{X}$ とするとき、$\bar{X}$ の標準偏差 $\sigma (\bar{X})$ を求めよ。ただし、どのカードを取り出すことも同様に確からしいものとする。

ある工場で作られている菓子袋の重さを母集団とする。この母集団の母平均は $250\text{g}$、母標準偏差は $6\text{g}$ である。この母集団から大きさ $36$ の標本を無作為に抽出し、その標本平均を $\bar{X}$ とする。標本平均 $\bar{X}$ の標準偏差 $\sigma (\bar{X})$ を求めよ（単位は $\text{g}$ とし、答えには単位を付けなくてよい）。ただし、母集団の大きさは標本の大きさに比べて十分大きく、抽出は復元抽出とみなしてよいものとする。

確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも
$$P(X_i=1)=P(X_i=0)=\frac{1}{2}(i=1,2,\dots ,n)$$
に従うとする（公平な硬貨を $n$ 回投げ、表なら $1$、裏なら $0$ とする）。$n$ は正の整数とし、標本平均を
$${\bar{X}}_n=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$$
とおく。

${\bar{X}}_n$ にチェビシェフの不等式を用いると、
$$P\left(\left|{\bar{X}}_n-\frac{1}{2}\right|\geqq \frac{1}{10}\right)\leqq \frac{V({\bar{X}}_n)}{{\left(\frac{1}{10}\right)}^2}$$
が成り立つ。この右辺の値が $\frac{1}{100}$ 以下となるような最小の正の整数 $n$ を求めよ。

1 個のさいころを $n$ 回投げ、$k$ 回目に出た目を $X_k$ $(k=1,2,\dots ,n)$ とする。$n$ は正の整数であり、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも $1$ から $6$ の各値を確率 $\frac{1}{6}$ ずつとるものとする。標本平均を
$$\bar{X}=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$$
とおく。

チェビシェフの不等式
$$P\left(\left|\bar{X}-E(\bar{X})\right|\ge \epsilon \right)\le \frac{V(\bar{X})}{{\epsilon }^2}(\epsilon >0)$$
を $\epsilon =\frac{1}{2}$ として用いると、$P\left(\left|\bar{X}-\frac{7}{2}\right|\ge \frac{1}{2}\right)$ の上界 $\frac{V(\bar{X})}{(1/2{)}^2}$ が得られ、これは $n\to \infty$ で $0$ に近づく（大数の弱法則）。この上界 $\frac{V(\bar{X})}{(1/2{)}^2}$ が $0.01$ 以下となるような最小の正の整数 $n$ を求めよ。

1 個のさいころを $n$ 回投げ、$i$ 回目に出た目を $X_i$ $(i=1,2,\dots ,n)$ とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも $1$ から $6$ の目が同様に確からしく出るものとする。
$$Y_n=\frac{X_1^2+X_2^2+\cdots +X_n^2}{n}$$
とおく。このとき、任意の正の実数 $\epsilon$ に対して
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(|Y_n-c|\geqq \epsilon \right)=0$$
が成り立つような定数 $c$ がただ 1 つ存在する。$c$ の値を求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも平均 $\mu$、分散 ${\sigma }^2$（$\sigma >0$）の同じ分布に従うとする。標本平均を $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ とし、$n$ で割った標本分散
$$S^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$$
を考える。期待値 $E(S^2)$ を $n$ と $\sigma$ を用いて表せ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも期待値 $m$、分散 ${\sigma }^2$（$\sigma >0$）の同じ分布に従うとする。標本平均を $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ とし、
$$S^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$$
とおく。期待値 $E(S^2)$ を $n$ と $\sigma$ を用いて表せ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも同じ確率分布に従う確率変数であり、$E(X_i)=\mu$、$V(X_i)={\sigma }^2$ $(i=1,2,\dots ,n)$ とする（$\mu$, ${\sigma }^2$ はともに未知の定数で、${\sigma }^2>0$）。標本平均を $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ とする。

$n$ だけで決まる定数 $c$ を用いて
$$T=c\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$$
とおく。$\mu$, ${\sigma }^2$ の値によらず $E(T)={\sigma }^2$ が成り立つ（$T$ が ${\sigma }^2$ の不偏推定量となる）ような $c$ を、$n$ を用いて表せ。

ある工場で製造される部品の重さ（単位: g）は、正規分布 $N(\mu ,4^2)$（平均 $\mu$、標準偏差 $4$）に従うとする。$\sigma =4$ は既知で、$\mu$ は未知の母数である。$n$ を正の整数とし、無作為に抽出した $n$ 個の部品の重さ $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立にこの分布に従うとする。標本平均を $\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ とする。

帰無仮説 $H_0:\mu =50$、対立仮説 $H_1:\mu >50$ を、有意水準 $0.05$ で検定する。棄却域は
$$\bar{X}\ge 50+1.645\cdot \frac{4}{\sqrt{n}}$$
とする（このとき有意水準はちょうど $0.05$ である）。

$\mu =52$ のときのこの検定の検出力が $0.90$ 以上となるような $n$ の最小値を求めよ。

ただし、標準正規分布の分布関数を $\Phi (z)$ とし、$\Phi (1.645)=0.95$、$\Phi (1.282)=0.90$ とする。また $\Phi$ は狭義単調増加である。

ある充填機で袋に詰める砂糖の重さ（単位: g）は、平均 $\mu$、分散 $9$ の正規分布 $N(\mu ,9)$ に従うとする（分散は既知、$\mu$ は未知の実数の母数）。$n$ を正の整数とし、無作為に取り出した $n$ 袋の重さ $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に $N(\mu ,9)$ に従うとする。

詰め不足を調べるため、帰無仮説 $H_0:\mu =100$、対立仮説 $H_1:\mu <100$ について、標本平均 $\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ が定数 $c$ 以下のとき $H_0$ を棄却する検定を行う。ただし $c$ は、この検定の有意水準がちょうど $0.05$ になるように定める。

真の平均が $\mu =98.5$ のときのこの検定の検出力（$H_0$ を棄却する確率）が $0.90$ 以上となるような $n$ のうち、最小のものを求めよ。

ただし、標準正規分布の分布関数を $\Phi$ とし、$\Phi (1.645)=0.95$、$\Phi (1.282)=0.90$ を用いよ。