確率・統計の問題

$n$ を $2$ 以上の整数とする。確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも期待値 $m$、分散 ${\sigma }^2$（$\sigma >0$）の同じ分布に従うとする。標本平均を $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ とし、
$$S^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$$
とおく。期待値 $E(S^2)$ を $n$ と $\sigma$ を用いて表せ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも平均 $\mu$、分散 ${\sigma }^2$（$\sigma >0$）の同じ分布に従うとする。標本平均を $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ とし、$n$ で割った標本分散
$$S^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$$
を考える。期待値 $E(S^2)$ を $n$ と $\sigma$ を用いて表せ。

確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも
$$P(X_i=1)=P(X_i=0)=\frac{1}{2}(i=1,2,\dots ,n)$$
に従うとする（公平な硬貨を $n$ 回投げ、表なら $1$、裏なら $0$ とする）。$n$ は正の整数とし、標本平均を
$${\bar{X}}_n=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$$
とおく。

${\bar{X}}_n$ にチェビシェフの不等式を用いると、
$$P\left(\left|{\bar{X}}_n-\frac{1}{2}\right|\geqq \frac{1}{10}\right)\leqq \frac{V({\bar{X}}_n)}{{\left(\frac{1}{10}\right)}^2}$$
が成り立つ。この右辺の値が $\frac{1}{100}$ 以下となるような最小の正の整数 $n$ を求めよ。

$n$ を正の整数とする。確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも区間 $[0,1]$ 上の一様分布（確率密度関数 $f(x)=1$ $(0\le x\le 1)$、それ以外で $f(x)=0$）に従うとする。標本平均を
$${\bar{X}}_n=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$$
とおく。チェビシェフの不等式を ${\bar{X}}_n$ に用いて得られる評価
$$P\left(\left|{\bar{X}}_n-\frac{1}{2}\right|\ge \frac{1}{10}\right)\le (\text{上界})$$
の右辺の上界が $\frac{1}{20}$ 以下になるような最小の正の整数 $n$ を求めよ。

$n$ を正の整数とする。確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x& (0\le x\le 1)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$
をもつ連続型確率変数とする。標本平均を
$${\bar{X}}_n=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$$
とおく。

どんな正の実数 $\epsilon$ に対しても
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(\left|{\bar{X}}_n-a\right|<\epsilon \right)=1$$
が成り立つような実数の定数 $a$ はただ 1 つ存在する。この $a$ を求めよ。