確率変数の和と積（独立な場合）

袋 A には $1,3,5$ の数字が 1 つずつ書かれた 3 枚のカードが、袋 B には $2,4$ の数字が 1 つずつ書かれた 2 枚のカードが入っている。袋 A から無作為に 1 枚のカードを取り出し、そのカードに書かれた数を $X$ とする。また、袋 B から無作為に 1 枚のカードを取り出し、そのカードに書かれた数を $Y$ とする。2 つの袋からの取り出しは互いに影響しないものとする。このとき、確率変数 $X+Y$ の分散 $V(X+Y)$ を求めよ。

箱の中に、$2,4,6$ の数字が 1 つずつ書かれた 3 枚のカードが入っている。この箱から 1 枚のカードを取り出し、そのカードに書かれた数を $X$ とする。また、これとは別に 1 個のさいころを 1 回投げ、出た目を $Y$ とする。カードを取り出す試行とさいころを投げる試行は独立であるとする。確率変数 $X+Y$ の分散 $V(X+Y)$ を求めよ。

$1,2,3,4$ の数字が $1$ つずつ書かれた $4$ 枚のカードが入った袋から $1$ 枚のカードを取り出し、そのカードに書かれた数を $X$ とする。また、これとは別に $1$ 枚の硬貨を $1$ 回投げ、表が出たら $Y=1$、裏が出たら $Y=0$ とする。このとき、確率変数 $X+Y$ の分散 $V(X+Y)$ を求めよ。

確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも
$$P(X_i=1)=P(X_i=0)=\frac{1}{2}(i=1,2,\dots ,n)$$
に従うとする（公平な硬貨を $n$ 回投げ、表なら $1$、裏なら $0$ とする）。$n$ は正の整数とし、標本平均を
$${\bar{X}}_n=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$$
とおく。

${\bar{X}}_n$ にチェビシェフの不等式を用いると、
$$P\left(\left|{\bar{X}}_n-\frac{1}{2}\right|\geqq \frac{1}{10}\right)\leqq \frac{V({\bar{X}}_n)}{{\left(\frac{1}{10}\right)}^2}$$
が成り立つ。この右辺の値が $\frac{1}{100}$ 以下となるような最小の正の整数 $n$ を求めよ。

1 個のさいころを $n$ 回投げ、$i$ 回目に出た目を $X_i$ $(i=1,2,\dots ,n)$ とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも $1$ から $6$ の目が同様に確からしく出るものとする。
$$Y_n=\frac{X_1^2+X_2^2+\cdots +X_n^2}{n}$$
とおく。このとき、任意の正の実数 $\epsilon$ に対して
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(|Y_n-c|\geqq \epsilon \right)=0$$
が成り立つような定数 $c$ がただ 1 つ存在する。$c$ の値を求めよ。

ある窓口で 1 人の客の対応にかかる時間（分）を確率変数とみなす。$100$ 人の客の対応時間 $X_1,X_2,\dots ,X_{100}$ は互いに独立で、どれも期待値 $2$、標準偏差 $2$ の同じ分布にしたがうとする。対応時間の合計 $S=X_1+X_2+\cdots +X_{100}$ について、確率 $P(S\leqq 220)$ を中心極限定理による正規分布の近似を用いて求めよ。ただし、標準正規分布にしたがう確率変数 $Z$ について $P(Z\leqq 1)=0.8413$ を用いてよい。

確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_{300}$ は互いに独立で、それぞれ区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従うとする。
$$S=X_1+X_2+\cdots +X_{300}$$
とおく。中心極限定理を用いて $S$ の分布を正規分布で近似し、確率 $P(S\leqq 160)$ の近似値を求めよ。ただし、標準正規分布に従う確率変数 $Z$ について $P(0\leqq Z\leqq 2)=0.4772$ とし、答えは小数第 4 位までの小数で答えよ。

確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_{48}$ は互いに独立で、どれも区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従うとする。これらの和を
$$S=X_1+X_2+\cdots +X_{48}$$
とおく。中心極限定理による正規分布での近似を用いて、確率 $P(S\geqq 26)$ の近似値を小数第 4 位まで求めよ。ただし、標準正規分布 $N(0,1)$ に従う確率変数 $Z$ について $P(Z\leqq 1)=0.8413$ とする。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも平均 $\mu$、分散 ${\sigma }^2$（$\sigma >0$）の同じ分布に従うとする。標本平均を $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ とし、$n$ で割った標本分散
$$S^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$$
を考える。期待値 $E(S^2)$ を $n$ と $\sigma$ を用いて表せ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも期待値 $m$、分散 ${\sigma }^2$（$\sigma >0$）の同じ分布に従うとする。標本平均を $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ とし、
$$S^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$$
とおく。期待値 $E(S^2)$ を $n$ と $\sigma$ を用いて表せ。

$\theta$ を正の実数（未知の母数）とします。$X_1,X_2,X_3,X_4$ は互いに独立に、区間 $[0,\theta ]$ 上の一様分布に従う確率変数です。各 $X_i$ について
$$E(X_i)=\frac{\theta }{2},V(X_i)=\frac{{\theta }^2}{12}$$
が成り立つことを用いてかまいません。$\theta$ の推定量として
$$T=\frac{2}{5}\left(X_1+X_2+X_3+X_4\right)$$
を考えます。$T$ の平均二乗誤差 $\mathrm{MSE}(T)=E\left[(T-\theta {)}^2\right]$ を $\theta$ の式で求めてください。

$X_1,X_2,X_3,X_4$ は互いに独立で、いずれも平均 $\mu$、分散 ${\sigma }^2$ をもつ同じ分布に従う確率変数とする（$\mu$ は実数、$\sigma >0$）。$\mu$ の推定量として
$$T=\frac{X_1+X_2+X_3+X_4}{5}$$
を考える。$T$ の平均二乗誤差 $\mathrm{MSE}(T)=E\left[(T-\mu {)}^2\right]$ を $\mu ,\sigma$ を用いて表せ。

$\theta$ を正の実数とし、$X_1,X_2,X_3,X_4,X_5$ は互いに独立に、区間 $[0,\theta ]$ 上の一様分布に従う確率変数とする。各 $X_i$ の期待値は $E(X_i)=\frac{\theta }{2}$、分散は $V(X_i)=\frac{{\theta }^2}{12}$ である。$\theta$ の推定量として
$$T=\frac{X_1+X_2+X_3+X_4+X_5}{3}$$
を考える。$T$ の平均二乗誤差 $\mathrm{MSE}(T)=E\left((T-\theta {)}^2\right)$ を $\theta$ を用いて表せ。

確率変数 $X_1,X_2,X_3,\dots$ は独立で同じ分布に従い、
$$P(X_k=1)=\frac{1}{4},P(X_k=-1)=\frac{1}{4},P(X_k=0)=\frac{1}{2}$$
を満たすとする。正の整数 $n$ に対して $S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおき、$\frac{S_n}{\sqrt{n}}$ の特性関数を
$${\phi }_n(t)=E\left(e^{it{S}_n/\sqrt{n}}\right)(t\text{ は実数})$$
とする。実数 $t$ を固定したときの極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\phi }_n(t)$ を $t$ の式で求めよ。ただし $i$ は虚数単位である。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ である 1 次元標準ブラウン運動とする。すなわち、$0\le s<t$ に対して増分 $B_t-B_s$ は正規分布 $N(0,t-s)$ に従い、重ならない区間の増分は互いに独立である。
$$X=3B_1-2B_2+B_4$$
とおくとき、$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ である 1 次元標準ブラウン運動とする。すなわち、$0\le s<t$ に対して増分 $B_t-B_s$ は正規分布 $N(0,t-s)$ に従い、互いに重ならない有限個の区間の増分は互いに独立である。$$X=3B_1-2B_2+B_4$$ とおくとき、$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ である 1 次元標準ブラウン運動とする。すなわち、増分は独立かつ定常で、$0\le s<t$ に対して $B_t-B_s$ は正規分布 $N(0,t-s)$ に従う。
$$X=3B_1-2B_2+B_4$$
とおくとき、$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

1 個のさいころを 1 回投げて出た目を $X$ とする。また、これとは別に 2 枚の硬貨を同時に 1 回投げ、表が出た枚数を $Y$ とする。このとき、確率変数 $XY$ の分散 $V(XY)$ を求めよ。

1 個のさいころを投げて出た目を $X$ とする。また、$1,2,2,3$ の数字が 1 つずつ書かれた 4 枚のカードが入った袋から 1 枚のカードを取り出し、そのカードに書かれた数を $Y$ とする。さいころを投げる試行とカードを取り出す試行は互いに独立であるとする。このとき、確率変数 $XY$ の分散 $V(XY)$ を求めよ。

1 個のさいころを 1 回投げて出た目を $X$ とする。これとは別に 1 枚の硬貨を 2 回投げ、表が出た回数を $Y$ とする。確率変数 $XY$ の分散 $V(XY)$ を求めよ。

$1$ から $6$ までの目が等しい確率で出るさいころを $2$ 回投げ、出た目を順に $D_1,D_2$ とする。$X=\min (D_1,D_2)$, $Y=\max (D_1,D_2)$ とおくとき、共分散 $\mathrm{Cov}(X,Y)$ を求めよ。

$U_1,U_2,\dots$ を独立で、それぞれ区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従う確率変数とし、正の整数 $n$ に対して ${\overline{U}}_n=\frac{U_1+\cdots +U_n}{n}$ とおく。極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}E\left[\left|{\overline{U}}_n-\frac{1}{2}\right|\right]$$
を求めよ。

$X_1,X_2,X_3$ は互いに独立で、いずれも平均 $\mu$、分散 ${\sigma }^2$ をもつ同じ分布に従う確率変数とする（$\mu$ は実数、$\sigma >0$）。$\mu$ の推定量として
$$T=\frac{X_1+2X_2+X_3}{5}$$
を考える。$T$ の平均二乗誤差 $\mathrm{MSE}(T)=E\left[(T-\mu {)}^2\right]$ を $\mu ,\sigma$ の式で求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ である 1 次元標準ブラウン運動とし、
$$X=B_1{B}_2{B}_3$$
とおく。$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

$\theta >0$ を未知の母数とし、$X_1,\dots ,X_n$（$n$ は $3$ 以上の整数）は互いに独立に、区間 $[0,\theta ]$ 上の一様分布に従うとする。$\theta$ の 2 つの推定量
$${\hat{\theta }}_1=\frac{2}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,{\hat{\theta }}_2=M=\max \{X_1,\dots ,X_n\}$$
を考える。推定量 $\hat{\theta }$ の平均二乗誤差を ${\mathrm{MSE}}_{\theta }(\hat{\theta })=E_{\theta }\left[(\hat{\theta }-\theta {)}^2\right]$ と定める。

${\hat{\theta }}_1$ は $\theta$ の不偏推定量で、${\hat{\theta }}_2$ は不偏推定量でない（バイアスが $0$ でない）にもかかわらず、すべての $\theta >0$ に対して
$${\mathrm{MSE}}_{\theta }({\hat{\theta }}_2)<{\mathrm{MSE}}_{\theta }({\hat{\theta }}_1)$$
が成り立つことを証明せよ。

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の独立同分布な確率変数列 ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ が
$$P({\xi }_i=1)=P({\xi }_i=-1)=\frac{1}{2}(i\ge 1)$$
を満たすとし、$S_0=0$、$S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n(n\ge 1)$ とおく。

このとき、すべての整数 $n\ge 0$ に対して
$$E[|S_{n+1}|]-E[|S_n|]=P(S_n=0)$$
が成り立つことを証明せよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の 1 次元標準ブラウン運動とする。すなわち $B_0=0$ であり、すべての $\omega$ で $t\mapsto B_t(\omega )$ は連続、$0\le t_0<t_1<\cdots <t_k$ に対して増分 $B_{t_1}-B_{t_0},\dots ,B_{t_k}-B_{t_{k-1}}$ は独立で、$B_t-B_s(s<t)$ は平均 $0$、分散 $t-s$ の正規分布に従う。

$T>0$ を定数とし、
$$Y={\int }_0^T{B}_t^{2}dt$$
（各 $\omega$ ごとのリーマン積分）とおく。このとき
$$\mathrm{Var}(Y)=\frac{T^4}{3}$$
であることを証明せよ。

なお、平均 $0$、分散 ${\sigma }^2$ の正規分布に従う確率変数 $Z$ について $E[Z^4]=3{\sigma }^4$ であること、およびフビニ・トネリの定理は用いてよい。

$X_1,X_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、それぞれ $1,2,3,4,5,6$ の値を確率 $\frac{1}{6}$ ずつとるもの（公正なさいころの出る目）とする。正の整数 $m$ に対して $S_m=X_1+X_2+\cdots +X_m$ とおく。極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(S_n>\frac{7n}{2}\text{かつ}{S}_{4n}>14n\right)$$
を求めよ。

1 個のさいころを 1 回投げ、出た目を $X$ とする。また、これとは別に 2 枚の硬貨を同時に 1 回投げ、表が出た枚数を $Y$ とする。このとき、得点 $Z$ を
$$Z=X(Y+1)$$
と定める。確率変数 $Z$ の分散 $V(Z)$ を求めよ。

1 個のさいころを 1 回投げ、出た目を $3$ で割った余りを $X$ とする。また、これとは別に 1 枚の硬貨を $3$ 回投げ、表が出た回数を $Y$ とする。確率変数 $Z$ を
$$Z=XY+X-Y$$
と定めるとき、$Z$ の分散 $V(Z)$ を求めよ。

$\theta >0$ を未知の母数、$n$ を正の整数とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\theta }{e}^{-x/\theta }& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$
をもつ分布に従う。$\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ とおく。${\theta }^2$ の最尤推定量は ${\bar{X}}^2$ であるが、これは ${\theta }^2$ の不偏推定量ではない。$n$ のみによる定数 $c_n$ で、$c_n{\bar{X}}^2$ がすべての $\theta >0$ に対して ${\theta }^2$ の不偏推定量となるものを $n$ の式で表せ。

1 個のさいころを、$1$ の目と $2$ の目がどちらも少なくとも 1 回ずつ出るまで繰り返し投げる。投げる回数を $N$ とするとき、$N$ の分散 $V(N)$ を求めよ。

${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、$P({\epsilon }_k=1)=P({\epsilon }_k=-1)=\frac{1}{2}$ を満たすものとし、
$$Z=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{{\epsilon }_k}{3^k}$$
とおく（この級数は各標本点で絶対収束する）。$Z$ の特性関数 ${\phi }_Z(t)=E\left[e^{itZ}\right]$ を無限積で表し、それを用いて $4$ 次モーメント $E\left[Z^4\right]$ を求めよ。

確率変数 $X$ は $\{0,1,2\}$ に値をとり、
$$P(X=0)=\frac{1}{2},P(X=1)=\frac{1}{4},P(X=2)=\frac{1}{4}$$
に従う。$X$ と独立な確率変数 $Z$ は $\{-1,0,1\}$ に値をとり、
$$P(Z=-1)=\frac{1}{4},P(Z=0)=\frac{1}{2},P(Z=1)=\frac{1}{4}$$
に従う。$Y$ を $X+Z$ を $4$ で割った余り（$Y\in \{0,1,2,3\}$）とする。対数の底を $2$ とするとき、相互情報量 $I(X;Y)$ を求めよ。

$\frac{1}{2}<p<1$ とし、$q=1-p$, $\mu =p-q=2p-1$ とおく。${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数列で $P({\xi }_i=1)=p$, $P({\xi }_i=-1)=q$ を満たすものとし、$S_0=0$, $S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n(n\ge 1)$ とおく。${\mathcal{F}}_0$ を自明な $\sigma$-加法族、${\mathcal{F}}_n=\sigma ({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)(n\ge 1)$ とする。正の整数 $b$ を固定し、
$$\tau =\inf \{n\ge 0:S_n=b\}(\inf \varnothing =\infty )$$
とおく。$\tau <\infty$ のとき、$b$ に到達するまでの経路の「面積」を
$$A=\sum _{k=0}^{\tau -1}{S}_k$$
で定める。このとき $\tau <\infty$ a.s. であり、$A$ は可積分で
$$E[A]=\frac{b(b\mu -1)}{2{\mu }^2}$$
であることを証明せよ。

なお、$({\mathcal{F}}_n)$-マルチンゲール $(M_n)$ と $({\mathcal{F}}_n)$-停止時刻 $\sigma$ に対して、各 $n\ge 0$ で $E[M_{\sigma \wedge n}]=E[M_0]$ が成り立つこと（有界な停止時刻に対する任意抽出定理）、マルコフの不等式、単調収束定理（項別積分を含む）、優収束定理は用いてよい。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。$1$ から $n$ までの整数が $1$ つずつ書かれた $n$ 枚のカードを無作為に横一列に並べる。$1\leqq i\leqq n-1$ を満たす整数 $i$ のうち、$i$ と書かれたカードと $i+1$ と書かれたカードが隣り合っている（順序は問わない）ものの個数を $X$ とする。確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ を $n$ の式で表せ。

$n$ は $2$ 以上の整数とする。$1$ から $n$ までの整数が $1$ つずつ書かれた $n$ 枚のカードを、無作為に横一列に並べる。左から $k$ 番目のカードに書かれた数を $a_k$ $(k=1,2,\dots ,n)$ とし、$1\leqq k\leqq n-1$ を満たす整数 $k$ のうち $a_{k+1}=a_k+1$ となるものの個数を $X$ とする（例えば、$n=5$ で $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)=(3,4,5,1,2)$ のとき $X=3$ である）。確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ を $n$ の式で求めよ。

$n$ を正の整数とする。$1$ から $6$ までの目が等しい確率で出るさいころを $n$ 回投げる。各回の結果は互いに独立とする。出た目の種類の数（$n$ 回のうち少なくとも $1$ 回出た目の個数）を $D$ とするとき、$D$ の分散 $V(D)$ を $n$ の式で表せ。

$X_1,X_2,\dots ,X_8$ を独立な確率変数で、それぞれ標準正規分布 $N(0,1)$ に従うものとする。
$$W=X_1{X}_2+X_3{X}_4+X_5{X}_6+X_7{X}_8$$
とおく。確率 $P(W>1)$ を求めよ。

最小表示（分解能）が $d=1\mathrm{mV}$ のデジタル電圧計がある。この電圧計は入力電圧 $x$ を、$d$ の整数倍のうち $x$ に最も近い値に丸めて表示する（$x$ がちょうど隣り合う 2 つの整数倍の中点になる場合は確率 $0$ なので考えなくてよい）。電圧計自身の雑音は無視できる。

真の値 $V$ が一定の電圧を測定する。$V$ の値は未知である。このままでは何回測定しても同じ表示しか得られず、平均をとっても分解能より細かい情報は得られない。そこで、$i$ 回目（$i=1,2,\dots ,n$）の測定では、区間 $[-d/2,d/2]$ 上の一様分布に従う電圧 $U_i$ を $V$ に加えた $V+U_i$ を電圧計に入力し、その表示を $y_i$ とする（ディザ法）。$U_1,U_2,\dots ,U_n$ は互いに独立であり、各回の加算そのものの誤差はない。

$n$ 回の表示の平均を $\bar{y}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{y}_i$ とする。$V$ がどのような値であっても $\bar{y}$ の標準偏差が $0.03\mathrm{mV}$ 以下になることを保証する、最小の正の整数 $n$ を求めよ。

表と裏が出る確率がそれぞれ $\frac{1}{2}$ の硬貨を $n$ 回投げる。ただし $n$ は正の整数とする。$k=1,2,\dots ,n$ に対して、$k$ 回目に表が出たとき $X_k=1$、裏が出たとき $X_k=2$ と定める。
$$S=X_1+X_2+\cdots +X_n,T=X_1{X}_2\cdots X_n$$
とおくとき、確率変数 $S^{2}T$ の期待値 $E(S^{2}T)$ を $n$ の式で求めよ。

1 個のさいころを $n$ 回投げる。ただし、$n$ は正の整数とする。$n$ 回のうちに少なくとも $1$ 回出た目の種類の数を $X$ とする（たとえば $n=4$ で出た目が順に $2,5,2,6$ のとき $X=3$ である）。確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ を $n$ の式で表せ。

1 個のさいころを $n$ 回投げる。ただし、$n$ は正の整数とする。$n$ 回のうち $1$ の目が出た回数を $X$、偶数の目が出た回数を $Y$ とする。確率変数 $XY$ の期待値 $E(XY)$ を $n$ の式で求めよ。

袋の中に赤玉が $3$ 個、白玉が $4$ 個入っている。この袋から玉を $1$ 個ずつ取り出す。取り出した玉は袋に戻さない。この操作を $7$ 個の玉をすべて取り出すまで続ける。$k=1,2,\dots ,6$ のうち、$k$ 番目に取り出した玉と $(k+1)$ 番目に取り出した玉の色が異なるような $k$ の個数を $X$ とする。確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\frac{x}{\theta }\exp \left(-\frac{x^2}{2\theta }\right)(x>0),f(x\mid \theta )=0(x\le 0)$$
をもつ分布に従うとする。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。$g(\theta )=\sqrt{\theta }$ の推定量として
$$T=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\bar{X},\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$$
を考える（$T$ は $\sqrt{\theta }$ の不偏推定量である）。$\sqrt{\theta }$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L(\theta )$ とするとき、$T$ の効率 $\frac{L(\theta )}{V(T)}$ を求めよ。ただし、クラメール・ラオの不等式が成り立つための正則条件は満たされているものとし、必要なら ${\int }_0^{\infty }{e}^{-u^2/2}du=\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ を用いてよい。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に正規分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ に従う確率変数とする。ここで $\mu$ は実数、$\sigma$ は正の実数で、どちらも未知の母数である。標本平均と不偏分散を
$$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$$
とし、${\mu }^2$ の推定量
$$T={\bar{X}}^2-\frac{S^2}{n}$$
を考える。$T$ の平均二乗誤差 $E\left[(T-{\mu }^2{)}^2\right]$ を $\mu ,\sigma ,n$ を用いて表せ。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\theta x^{\theta -1}(0<x<1)$$
（$0<x<1$ 以外では $f(x\mid \theta )=0$）をもつ分布に従う確率変数とする。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。

$g(\theta )=E_{\theta }[X_1]$ とおくと、標本平均 $\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ は $g(\theta )$ の不偏推定量である。$g(\theta )$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L_n(\theta )$ とするとき、比
$$\frac{L_n(\theta )}{V_{\theta }(\bar{X})}$$
を $\theta$ の式で求めよ。ただし、この分布族はクラメール・ラオの不等式が成り立つための正則条件を満たすものとしてよい。

最小表示（分解能）が $d=1\mathrm{mV}$ のデジタル電圧計で、一定の電圧 $V_0$（未知）を測定する。この電圧計は、入力電圧を $d$ の整数倍のうち最も近い値に丸めて表示する（ちょうど中間の値になる確率は $0$ なので考えなくてよい）。電圧計自体の雑音は無視できる。

このままでは何回測っても同じ表示しか得られないので、各測定のたびに、区間 $\left[-\frac{d}{2},\frac{d}{2}\right]$ 上の一様分布に従う雑音電圧 $u$ を $V_0$ に加えてから測定する（ディザ法）。$u$ は測定ごとに独立とする。こうして得た $N$ 回の表示 $y_1,\dots ,y_N$ の平均 $\bar{y}=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N{y}_i$ で $V_0$ を推定する（$N$ は正の整数）。

$V_0$ がどのような値であっても $\bar{y}$ の標準偏差が $0.05\mathrm{mV}$ 以下になるような $N$ の最小値を求めよ。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ を互いに独立で、いずれも区間 $[-1,1]$ 上の一様分布（確率密度関数が $-1\le x\le 1$ で $\frac{1}{2}$、それ以外で $0$）に従う確率変数とする。$S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおく。このとき、すべての正の実数 $s$ に対して
$$P(S_n\ge s)\le \exp \left(-\frac{3s^2}{2n}\right)$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい。
- 期待値の線形性と、マルコフの不等式（確率 $1$ で $Y\ge 0$ を満たし期待値が有限な確率変数 $Y$ と $a>0$ に対して $P(Y\ge a)\le \frac{E[Y]}{a}$）
- 互いに独立な有界な確率変数 $Y_1,\dots ,Y_n$ に対して $E[Y_1{Y}_2\cdots Y_n]=E[Y_1]E[Y_2]\cdots E[Y_n]$ であること、および $X_1,\dots ,X_n$ が独立ならば、実数値関数 $g$ による $g(X_1),\dots ,g(X_n)$ も独立であること
- 指数関数のマクローリン展開 $e^u=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{u^k}{k!}$ $(u\in \mathbb{R})$

1 個のさいころを $n$ 回投げる。ただし、$n$ は正の整数とする。$n$ 回のうちに少なくとも $1$ 回出た目の種類の数を $X$ とする（例えば、$n=4$ で出た目が順に $3,5,3,1$ のとき $X=3$ である）。確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ を $n$ の式で表せ。

1 個のさいころを $n+1$ 回投げる。ただし、$n$ は正の整数とする。$k=1,2,\dots ,n+1$ に対して、$k$ 回目に出た目を $3$ で割った余りを $X_k$ とする。確率変数 $S$ を
$$S=X_1{X}_2+X_2{X}_3+X_3{X}_4+\cdots +X_n{X}_{n+1}=\sum _{k=1}^n{X}_k{X}_{k+1}$$
で定めるとき、$S$ の分散 $V(S)$ を $n$ の式で求めよ。