確率論の問題

方針. $E[Y]$ と $E[Y^2]$ を、トネリの定理で期待値と時間積分を交換して計算する。そのために $E[B_t^2]$ と $E[B_s^2{B}_t^2]$ を増分の独立性から求める。

ステップ 0（可測性）. 写像 $(t,\omega )\mapsto B_t(\omega )$ は、各 $\omega$ で $t$ について連続、各 $t$ で $\omega$ について可測なので、$[0,T]\times \Omega$ 上で $\mathcal{B}([0,T])\otimes \mathcal{F}$ 可測である（連続な道をもつ過程は、$t$ を有理数点を使った階段関数で近似した可測関数の各点極限として表せる）。したがって $B_t^2$ および $B_s^2{B}_t^2$ は直積空間上の非負可測関数であり、トネリの定理が使える。また各 $\omega$ で $t\mapsto B_t(\omega {)}^2$ は連続なので、リーマン積分 $Y$ はルベーグ積分と一致し、$0\le Y<\infty$ である。

ステップ 1（$E[B_t^2]$ と $E[B_s^2{B}_t^2]$）. $B_t=B_t-B_0$ は平均 $0$、分散 $t$ の正規分布に従うので $E[B_t^2]=t$, $E[B_t^4]=3t^2$ である。

次に $0\le s\le t$ とし、$W=B_t-B_s$ とおく。$B_s=B_s-B_0$ と $W$ は重ならない区間の増分なので独立であり、$W$ は平均 $0$、分散 $t-s$ の正規分布に従う（$s=t$ のときは $W=0$）。$B_t=B_s+W$ より
$$B_s^2{B}_t^2=B_s^2(B_s+W{)}^2=B_s^4+2B_s^{3}W+B_s^2{W}^2.$$
各項は可積分である（正規分布はすべての次数のモーメントをもち、独立な可積分確率変数の積は可積分）。独立性より $E[B_s^{3}W]=E[B_s^3]E[W]=0$, $E[B_s^2{W}^2]=E[B_s^2]E[W^2]=s(t-s)$ なので
$$E[B_s^2{B}_t^2]=3s^2+0+s(t-s)=st+2s^2.$$
$s,t$ の役割を入れ替えれば、一般に
$$E[B_s^2{B}_t^2]=st+2\min (s,t{)}^2(s,t\ge 0).(1)$$

ステップ 2（$E[Y]$）. トネリの定理より
$$E[Y]={\int }_0^{T}E[B_t^2]dt={\int }_0^{T}tdt=\frac{T^2}{2}.$$

ステップ 3（$E[Y^2]$）. 各 $\omega$ で $Y^2={\int }_0^T{\int }_0^T{B}_s^2{B}_t^{2}dsdt$ であり（積分の積を $[0,T{]}^2$ 上の積分に書き直した）、被積分関数は非負可測なのでトネリの定理と (1) より
$$E[Y^2]={\int }_0^T{\int }_0^{T}E[B_s^2{B}_t^2]dsdt={\int }_0^T{\int }_0^{T}stdsdt+2{\int }_0^T{\int }_0^T\min (s,t{)}^{2}dsdt.$$
第 1 項は ${\left({\int }_0^{T}sds\right)}^2=\frac{T^4}{4}$ である。第 2 項の積分は、領域を $s\le t$ と $s>t$ に分けると被積分関数が $s,t$ について対称なので（対角線 $s=t$ は測度 $0$）
$${\int }_0^T{\int }_0^T\min (s,t{)}^{2}dsdt=2{\int }_0^T\left({\int }_0^t{s}^{2}ds\right)dt=2{\int }_0^T\frac{t^3}{3}dt=\frac{T^4}{6}.$$
よって
$$E[Y^2]=\frac{T^4}{4}+2\cdot \frac{T^4}{6}=\frac{T^4}{4}+\frac{T^4}{3}=\frac{7T^4}{12}<\infty .$$

ステップ 4（分散）. $E[Y^2]<\infty$ なので分散が定義され、
$$\mathrm{Var}(Y)=E[Y^2]-(E[Y]{)}^2=\frac{7T^4}{12}-\frac{T^4}{4}=\frac{7T^4-3T^4}{12}=\frac{T^4}{3}.$$

結論. $\mathrm{Var}\left({\int }_0^T{B}_t^{2}dt\right)=\frac{T^4}{3}$ である。$■$