確率論の問題

1. $Y$ の共分散. $(Y_t)$ は $(B_t)$ の線形変換なので、平均 $0$ の正規過程である。$E[B_s{B}_t]=\min (s,t)$ を用いると、$0\le s,t\le 1$ に対して
$$E[Y_s{Y}_t]=\min (s,t)-st-ts+st\cdot 1=\min (s,t)-st.$$
これを $c(s,t)$ とおく。特に $E[Y_t^2]=t(1-t)$ である。

2. 期待値. 被積分関数は非負なので、フビニ（トネリ）の定理により
$$E[X]={\int }_0^{1}t(1-t)dt=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.$$

3. 分散. $E[Y_s^2{Y}_t^2]$ は有界であり、$E[X^2]={\int }_0^1{\int }_0^{1}E[Y_s^2{Y}_t^2]dsdt$ と積分と期待値を交換できる。したがって
$$V(X)={\int }_0^1{\int }_0^1\mathrm{Cov}(Y_s^2,Y_t^2)dsdt.$$
$(Y_s,Y_t)$ は平均 $0$ の 2 次元正規分布に従う。ウィックの公式（Isserlis の定理）より
$$E[Y_s^2{Y}_t^2]=E[Y_s^2]E[Y_t^2]+2{\left(E[Y_s{Y}_t]\right)}^2$$
が成り立つので、$\mathrm{Cov}(Y_s^2,Y_t^2)=2c(s,t{)}^2$ となる。

$s<t$ のとき $c(s,t)=s-st=s(1-t)$ である。被積分関数は $s,t$ について対称だから、
$$V(X)=2\cdot 2{\int }_0^1\left({\int }_0^t{s}^2(1-t{)}^{2}ds\right)dt=4{\int }_0^1\frac{t^3}{3}(1-t{)}^{2}dt.$$
ここでベータ関数を使うと
$${\int }_0^1{t}^3(1-t{)}^{2}dt=B(4,3)=\frac{3!2!}{6!}=\frac{12}{720}=\frac{1}{60}.$$
よって
$$V(X)=\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{60}=\frac{1}{45}.$$

（参考：$E[X^2]=\frac{1}{45}+\frac{1}{36}=\frac{1}{20}$ である。）

$Y_t$ はブラウン橋で、共分散は $K(s,t)=\min (s,t)-st$ である。$K$ を核とする積分作用素の固有値は ${\lambda }_k=\frac{1}{k^2{\pi }^2}$（$k=1,2,\dots$、固有関数 $\sqrt{2}\sin k\pi t$）である。

カルーネン–レーベ展開より $Y_t={\sum }_k\sqrt{{\lambda }_k}{Z}_k\sqrt{2}\sin (k\pi t)$（$Z_k$ は独立な標準正規確率変数）。よって $X={\sum }_k{\lambda }_k{Z}_k^2$。

平均の確認: $E[X]={\sum }_k{\lambda }_k=\frac{1}{{\pi }^2}\cdot \frac{{\pi }^2}{6}=\frac{1}{6}$。これは ${\int }_0^{1}t(1-t)dt=\frac{1}{6}$ と一致する。

$V(Z_k^2)=2$ で各項は独立なので
$$V(X)=2\sum _k{\lambda }_k^2=\frac{2}{{\pi }^4}\sum _{k\ge 1}\frac{1}{k^4}=\frac{2}{{\pi }^4}\cdot \frac{{\pi }^4}{90}=\frac{1}{45}.$$