中心極限定理の使い方

独立同分布の和を標準化して正規分布で近似し、確率や極限の値を求められる

前提

大数の弱法則（大学数学確率・統計）
積率母関数（大学数学確率・統計）
正規分布の密度と積率（大学数学確率・統計）

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算数中学高校大学大学院

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説明

中心極限定理を使うと、独立で同じ分布に従う確率変数の和 $S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n}$ の確率を、 $n$ が大きいとき標準正規分布で近似して求められます。もとの分布が二項分布・ポアソン分布・指数分布・一様分布のどれでも、平均と分散さえわかれば同じ手順が使えます。サイコロを多数回振ったときの目の和の確率の近似や、 $lim_{n \to \infty} P (\dots)$ の形の極限の計算に使います。大数の弱法則は「標本平均が母平均に近づく」ことを示しますが、中心極限定理は「そのずれがおよそ $σ / n$ の大きさで、正規分布の形に散らばる」ことまで教えてくれます。

なぜそうしてよいのか

$X_{1}, X_{2}, \dots$ は独立で同じ分布に従い、平均を $μ$ 、分散を $σ^{2}$ （ $0 < σ^{2} < \infty$ ）とします。和 $S_{n}$ の平均は $n μ$ 、分散は $n σ^{2}$ なので、標準化した $Z_{n} = \frac{S _{n} - n μ}{σ n}$ は平均 $0$ 、分散 $1$ になります。中心極限定理の主張は、どんな実数 $x$ についても $n \to \infty lim P (Z_{n} \leq x) = Φ (x), Φ (x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{2 π} e^{- u^{2} /2} d u$ が成り立つ、というものです。 $Φ$ は標準正規分布の分布関数です。

積率母関数が $0$ の近くで存在する場合には、次のように理由がわかります。 $Y_{i} = (X_{i} - μ) / σ$ とおくと、 $E (Y_{i}) = 0$ 、 $E (Y_{i}^{2}) = 1$ です。 $Y_{i}$ の積率母関数 $M_{Y} (s)$ を $s = 0$ のまわりでテイラー展開すると $M_{Y} (s) = 1 + \frac{s ^{2}}{2} + r (s)$ となり、余りは $r (s) / s^{2} \to 0$ $(s \to 0)$ を満たします。 $Z_{n} = \frac{1}{n} \sum Y_{i}$ で、 $Y_{i}$ は独立なので $M_{Z_{n}} (t) = [M_{Y} (\frac{t}{n})]^{n}$ です。対数をとると $n lo g (1 + \frac{t ^{2}}{2 n} + r (\frac{t}{n}))$ となり、 $n r (t / n) = t^{2} \cdot \frac{r ( s )}{s ^{2}}_{s = t / n} \to 0$ と $lo g (1 + h) / h \to 1$ を使うと、これは $t^{2} /2$ に収束します。よって $M_{Z_{n}} (t) \to e^{t^{2} /2}$ です。 $e^{t^{2} /2}$ は平方完成とガウス積分からわかるとおり標準正規分布の積率母関数なので、「積率母関数が収束すれば分布も収束する」という事実（連続性定理）から、 $Z_{n}$ の分布は標準正規分布に近づきます。定理そのものは、分散が有限であれば積率母関数が存在しなくても成り立ちます。

さらに $Φ$ は連続なので、 $P (Z_{n} \leq x) \to Φ (x)$ は $x$ について一様に成り立ちます。このため、境界が $n$ とともに動いて $z_{n} \to z$ となる場合も $P (Z_{n} \leq z_{n}) \to Φ (z)$ です。 $z_{n} \to + \infty$ なら極限は $1$ 、 $z_{n} \to - \infty$ なら極限は $0$ になります。

手順

和に分解する：求めたい量を、独立で同じ分布に従う $X_{1}, \dots, X_{n}$ の和 $S_{n}$ についての確率として書く。
平均と分散を求める： $μ = E (X_{1})$ と $σ^{2} = V (X_{1})$ を計算し、 $0 < σ^{2} < \infty$ を確認する。和については $E (S_{n}) = n μ$ 、 $V (S_{n}) = n σ^{2}$ となる。
標準化する：事象を $Z_{n} = \frac{S _{n} - n μ}{σ n}$ で書き直す。たとえば $S_{n} \leq c ⟺ Z_{n} \leq z_{n}$ 、ここで $z_{n} = \frac{c - n μ}{σ n}$ 。
正規分布で近似する、または極限をとる：近似値を求めるときは $P (S_{n} \leq c) \approx Φ (z_{n})$ とする。極限を求めるときは、 $z_{n} \to z$ なら $P (Z_{n} \leq z_{n}) \to Φ (z)$ を使う（ $z_{n} \to \pm \infty$ なら極限は $1$ または $0$ ）。
値を読む： $Φ (0) = \frac{1}{2}$ 、 $Φ (- z) = 1 - Φ (z)$ を使うか、正規分布表から $Φ (z)$ の値を読む。

例題

極限 $n \to \infty lim e^{- n} k = 0 \sum n \frac{n ^{k}}{k !}$ を求めよ。ただし $n$ は正の整数とする。

例題の解答

【手順1：和に分解する】 $X_{1}, \dots, X_{n}$ を、独立でどれも平均 $1$ のポアソン分布に従う確率変数とし、 $S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n}$ とおきます。 $X_{i}$ の積率母関数は $M (t) = \sum_{k \geq 0} e^{t k} e^{- 1} \frac{1}{k !} = e^{e^{t} - 1}$ です。 $X_{i}$ は独立なので $M_{S_{n}} (t) = e^{n (e^{t} - 1)}$ となり、これは平均 $n$ のポアソン分布の積率母関数です。積率母関数は分布を決めるので、 $S_{n}$ は平均 $n$ のポアソン分布に従います。したがって $e^{- n} k = 0 \sum n \frac{n ^{k}}{k !} = P (S_{n} \leq n)$ です。
【手順2：平均と分散を求める】ポアソン分布では平均と分散が等しいので $μ = 1$ 、 $σ^{2} = 1$ です（ $0 < σ^{2} < \infty$ を満たします）。和については $E (S_{n}) = n$ 、 $V (S_{n}) = n$ です。
【手順3：標準化する】 $Z_{n} = \frac{S _{n} - n}{n}$ とおくと、 $S_{n} \leq n ⟺ Z_{n} \leq \frac{n - n}{n} = 0$ です。よって $P (S_{n} \leq n) = P (Z_{n} \leq 0)$ となります。
【手順4：極限をとる】中心極限定理により $P (Z_{n} \leq 0) \to Φ (0)$ $(n \to \infty)$ です。
【手順5：値を読む】標準正規分布の密度は $0$ について対称なので $Φ (0) = \frac{1}{2}$ です。したがって求める極限は $\frac{1}{2}$ です。

答え: $\frac{1}{2}$

よくある誤り

標準化で分散 $n σ^{2}$ や $nσ$ で割ってしまう誤り。たとえば $\frac{S _{n} - n μ}{n σ ^{2}}$ とするのは間違いです。正しくは標準偏差 $V (S_{n}) = σ n$ で割り、 $Z_{n} = \frac{S _{n} - n μ}{σ n}$ とします。標本平均 $X ˉ = S_{n} / n$ で考えるときは $\frac{X ˉ - μ}{σ / n}$ です。
大数の弱法則と混同して、 $P (X ˉ \leq μ) \to 1$ や $P (S_{n} \leq n μ) \to 0$ としてしまう誤り。大数の弱法則からわかるのは $P (∣ X ˉ - μ ∣ < ε) \to 1$ だけで、境界がちょうど $μ$ のときの極限は決まりません。正しくは中心極限定理を使い、 $P (S_{n} \leq n μ) = P (Z_{n} \leq 0) \to Φ (0) = \frac{1}{2}$ となります。
境界が $n$ によって動くことを無視して、 $P (S_{n} \leq n μ + a) \to Φ (a)$ としてしまう誤り。正しくは $z_{n} = \frac{a}{σ n} \to 0$ なので、極限は $Φ (0) = \frac{1}{2}$ です。境界が $n μ + aσ n$ のときに限り、極限が $Φ (a)$ になります。
条件を確かめずに適用してしまう誤り。中心極限定理には、独立性・同じ分布であること・分散が有限であること（ $0 < σ^{2} < \infty$ ）が必要です。たとえば密度が $\frac{1}{π ( 1 + x ^{2} )}$ の分布（コーシー分布）は平均も分散もないので使えません。また、 $n$ が有限のときの $Φ (z_{n})$ はあくまで近似値で、等式ではありません。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

中心極限定理（特性関数による）（大学院数学確率論）