確率論の問題

確率による解釈. $X_1,X_2,\dots$ を独立で、どれも平均 $2$ のポアソン分布に従う確率変数とし、$S_n=X_1+\cdots +X_n$ とおく。ポアソン分布の再生性より $S_n$ は平均 $2n$ のポアソン分布に従うので
$$a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}E\left[|S_n-2n|\right]=E\left[\left|\frac{S_n-2n}{\sqrt{n}}\right|\right].$$

中心極限定理. $E[X_1]=2$, $V[X_1]=2$ なので、中心極限定理より
$$Y_n:=\frac{S_n-2n}{\sqrt{n}}\stackrel{d}{\to }N(0,2).$$
連続写像定理より $|Y_n|\stackrel{d}{\to }|Y|$（$Y\sim N(0,2)$）。

期待値の収束（一様可積分性）. $E[Y_n^2]=\frac{V[S_n]}{n}=2$ が $n$ によらず有界なので、$\{|Y_n|\}$ は一様可積分である（実際 $E\left[|Y_n|1_{\{|Y_n|>M\}}\right]\le E[Y_n^2]/M=2/M$）。分布収束と一様可積分性から期待値も収束し
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=E|Y|.$$

$E|Y|$ の計算. $Y=\sqrt{2}Z$（$Z\sim N(0,1)$）とすると
$$E|Z|=2{\int }_0^{\infty }\frac{x}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}dx=\frac{2}{\sqrt{2\pi }}{\left[-e^{-x^2/2}\right]}_0^{\infty }=\sqrt{\frac{2}{\pi }}$$
なので
$$E|Y|=\sqrt{2}\cdot \sqrt{\frac{2}{\pi }}=\frac{2}{\sqrt{\pi }}.$$

検算. 平均 $m$（正の整数）のポアソン分布 $S$ について $E|S-m|=2m\cdot e^{-m}\frac{m^m}{m!}$ が成り立つ（${\sum }_{k\le m}(m-k)\frac{m^k}{k!}$ が望遠鏡和になることから）。$m=2n$ とし、スターリングの公式 $m!\sim \sqrt{2\pi m}{m}^m{e}^{-m}$ を使うと $E|S-2n|\sim \frac{2m}{\sqrt{2\pi m}}=\sqrt{\frac{2m}{\pi }}=\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{\pi }}$ となり、$a_n\to \frac{2}{\sqrt{\pi }}$ と一致する。

答え: $\frac{2}{\sqrt{\pi }}$

$\lambda =2n$ とし、$X$ を平均 $\lambda$ のポアソン分布に従う確率変数とすると、$a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}E|X-\lambda |$ である。

$\lambda$ が整数のとき、$E(X-\lambda )=0$ より $E|X-\lambda |=2E(X-\lambda {)}^{+}$ であり、$P(X=k)=e^{-\lambda }{\lambda }^k/k!$ に対して $(k-\lambda )\frac{{\lambda }^k}{k!}=\frac{{\lambda }^{k+1}}{k!}\cdot \frac{1}{\lambda }\cdot \lambda -\dots$ と整理すると、$(k-\lambda )\frac{{\lambda }^k}{k!}=\frac{{\lambda }^k}{(k-1)!}-\frac{{\lambda }^{k+1}}{k!}$ なので和が望遠鏡的につぶれる。$k\ge \lambda +1$ の和は ${\sum }_{k\ge \lambda +1}\left(\frac{{\lambda }^k}{(k-1)!}-\frac{{\lambda }^{k+1}}{k!}\right)=\frac{{\lambda }^{\lambda +1}}{\lambda !}$（$k=\lambda +1$ の第 1 項が残る）。よって
$$E|X-\lambda |=\frac{2e^{-\lambda }{\lambda }^{\lambda +1}}{\lambda !}.$$
スターリングの公式 $\lambda !\sim \sqrt{2\pi \lambda }{\lambda }^{\lambda }{e}^{-\lambda }$ より
$$E|X-\lambda |\sim \frac{2\lambda }{\sqrt{2\pi \lambda }}=\sqrt{\frac{2\lambda }{\pi }}=\sqrt{\frac{4n}{\pi }}=\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{\pi }}.$$
ゆえに $\lim a_n=\frac{2}{\sqrt{\pi }}$。

検算: 中心極限定理から $E|X-\lambda |\approx \sigma \sqrt{2/\pi }$（$\sigma =\sqrt{\lambda }$）で、$\sqrt{2\lambda /\pi }$ と一致する。$\lambda =2$（$n=1$）では厳密値 $2e^{-2}\cdot 8/2=8e^{-2}\approx 1.083$、近似 $\sqrt{4/\pi }\approx 1.128$ で整合的。