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確率論の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学確率論

正の整数 $n$ に対して
$I_{n} = \int_{[0, 1]^{n}} \frac{x _{1}^{3} + x _{2}^{3} + \dots + x _{n}^{3}}{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}} 2^{n} x_{1} x_{2} \dots x_{n} d x_{1} d x_{2} \dots d x_{n}$
とおく（積分はルベーグ積分とする。被積分関数は $x_{1} + \dots + x_{n} = 0$ となる点、すなわち原点では定義されないが、この 1 点は測度 $0$ なので積分の値に影響しない）。極限 $n \to \infty lim I_{n}$ を求めよ。

この問題で使うもの

ボレル・カンテリの補題と大数の強法則（説明と入口の問題）
測度論的な期待値と収束定理（説明と入口の問題）
連続型確率変数と確率密度関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（69 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

重み $2^{n} x_{1} \dots x_{n}$ を、 $[0, 1]$ 上の密度 $2 x$ をもつ独立同分布な確率変数 $n$ 個の同時密度とみなし、 $I_{n}$ を期待値として書き直そう。

ヒント 2

分子・分母をそれぞれ $n$ で割ると、大数の強法則が使える形になる。 $E [X^{3}]$ と $E [X]$ を計算しよう。また $0 \leq x \leq 1$ のとき $x^{3} \leq x$ であることから、被積分関数は $1$ 以下になる。

ヒント 3

$E [X] = \frac{2}{3}$ , $E [X^{3}] = \frac{2}{5}$ で、被積分関数はほとんど確実に $E [X^{3}] / E [X]$ に収束する。被積分関数は $0$ 以上 $1$ 以下なので、有界収束定理で期待値の極限をとることができる。

答えと解説

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\frac{15}{5}

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解説を読む

確率論的な書き換え. $f (x) = 2 x$ $(0 \leq x \leq 1)$ は $[0, 1]$ 上の確率密度関数である（ $\int_{0}^{1} 2 x d x = 1$ ）。 $X_{1}, X_{2}, \dots$ を独立同分布で、それぞれ密度 $f$ をもつ確率変数とする。独立性から $(X_{1}, \dots, X_{n})$ の同時密度は $2^{n} x_{1} \dots x_{n}$ （ $[0, 1]^{n}$ 上）なので
$I_{n} = E \frac{X _{1}^{3} + \dots + X _{n}^{3}}{X _{1} + \dots + X _{n}}$
である。また $X_{1} = \dots = X_{n} = 0$ となる確率は $0$ なので、分母はほとんど確実に正である。

モーメントの計算.
$E [X_{1}] = \int_{0}^{1} x \cdot 2 x d x = \frac{2}{3}, E [X_{1}^{3}] = \int_{0}^{1} x^{3} \cdot 2 x d x = \frac{2}{5} .$
どちらも有限である。

大数の強法則. $X_{k}$ も $X_{k}^{3}$ もそれぞれ独立同分布で平均が有限なので、大数の強法則により、ほとんど確実に
$\frac{1}{n} k = 1 \sum n X_{k}^{3} \to \frac{2}{5}, \frac{1}{n} k = 1 \sum n X_{k} \to \frac{2}{3} .$
被積分関数は
$Y_{n} = \frac{X _{1}^{3} + \dots + X _{n}^{3}}{X _{1} + \dots + X _{n}} = \frac{\frac{1}{n} \sum X _{k}^{3}}{\frac{1}{n} \sum X _{k}}$
と書ける。関数 $g (a, b) = a / b$ は点 $(a, b) = (\frac{2}{5}, \frac{2}{3})$ （ $b > 0$ ）の近くで連続なので、ほとんど確実に
$Y_{n} \to \frac{2/5}{2/3} = \frac{3}{5} .$

期待値の極限との交換. $0 \leq X_{k} \leq 1$ より $X_{k}^{3} \leq X_{k}$ なので $\sum X_{k}^{3} \leq \sum X_{k}$ 、したがって $0 \leq Y_{n} \leq 1$ である。定数 $1$ は可積分なので、有界収束定理（優収束定理）により
$n \to \infty lim I_{n} = n \to \infty lim E [Y_{n}] = E [n \to \infty lim Y_{n}] = \frac{3}{5} = \frac{15}{5} .$

別解

$2 x$ は $[0, 1]$ 上の確率密度関数である（ $\int_{0}^{1} 2 x d x = 1$ ）。したがって $I_{n} = E [\frac{\sum X _{i}^{3}}{\sum X _{i}}]$ と書ける。ここで $X_{1}, \dots, X_{n}$ は密度 $2 x$ に従う独立同分布の確率変数である。

分子と分母を $n$ で割ると、
$\frac{\sum X _{i}^{3}}{\sum X _{i}} = \frac{\frac{1}{n} \sum X _{i}^{3}}{\frac{1}{n} \sum X _{i}} .$

大数の強法則より、ほとんど確実に次が成り立つ。
- $\frac{1}{n} \sum X_{i}^{3} \to E [X^{3}] = \int_{0}^{1} x^{3} \cdot 2 x d x = \frac{2}{5}$
- $\frac{1}{n} \sum X_{i} \to E [X] = \int_{0}^{1} x \cdot 2 x d x = \frac{2}{3}$

よって比は $\frac{2/5}{2/3} = \frac{3}{5}$ にほとんど確実に収束する。

$0 \leq x_{i} \leq 1$ より $x_{i}^{3} \leq x_{i}$ なので、被積分関数の根号の中身は $0$ 以上 $1$ 以下である。したがって根号全体は $[0, 1]$ に収まる。有界収束定理により、極限と期待値を交換できる。

$n \to \infty lim I_{n} = \frac{3}{5} = \frac{15}{5} .$

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