確率論

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の確率変数 $X$ が区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従うとする。正の整数 $n$ に対して
$$a_n=E\left[{\left(1+\frac{X}{n}\right)}^n\right]$$
とおく。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ を求めよ。

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の確率変数 $X$ が、確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
をもつ（パラメータ $1$ の指数分布に従う）とする。正の整数 $n$ に対して
$$a_n=E\left[n\sin \frac{X^2}{n}\right]={\int }_{\Omega }n\sin \frac{X(\omega {)}^2}{n}P(d\omega )$$
とおく。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ を求めよ。

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の確率変数 $X$ が、確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2e^{-2x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
をもつ指数分布に従うとする。正の整数 $n$ に対して
$$a_n=E\left[n\sin \frac{X^2}{n}\right]$$
とおく。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ を求めよ。

$n\ge 2$ を整数とする。確率変数 $X_n$ は、パラメータ $\frac{1}{n}$ の幾何分布に従うとする。すなわち
$$P(X_n=k)=\frac{1}{n}{\left(1-\frac{1}{n}\right)}^{k-1}(k=1,2,3,\dots )$$
である。$Y_n=\frac{X_n}{n}$ とおく。$Y_n$ の特性関数 ${\phi }_{Y_n}(t)=E\left[e^{it{Y}_n}\right]$ の $n\to \infty$ における極限を求めて $Y_n$ の分布の極限を決定し、それを用いて極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P(X_n>2n)$$
を求めよ。

$n$ を正の整数とし、実数値確率変数 $Y_n$ の特性関数が
$${\phi }_n(t)=E\left[e^{it{Y}_n}\right]=\frac{1}{1+4n(n-1){\sin }^2\frac{t}{2n}}(t\in \mathbb{R})$$
で与えられているとする。極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(|Y_n|\le \log 3\right)$$
を求めよ。

$n\ge 2$ を整数とします。確率変数 $X_n$ は、パラメータ $\frac{1}{n}$ の幾何分布に従うとします。すなわち
$$P(X_n=k)=\frac{1}{n}{\left(1-\frac{1}{n}\right)}^{k-1}(k=1,2,3,\dots )$$
です。$Y_n=\frac{X_n}{n}$ とおきます。特性関数を用いて $Y_n$ の分布の極限を調べ、極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P(Y_n>2)$$
を求めてください。ただし $i$ は虚数単位です。

確率変数 $X_1,X_2,X_3,\dots$ は独立で同じ分布に従い、
$$P(X_k=1)=\frac{1}{4},P(X_k=-1)=\frac{1}{4},P(X_k=0)=\frac{1}{2}$$
を満たすとする。正の整数 $n$ に対して $S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおき、$\frac{S_n}{\sqrt{n}}$ の特性関数を
$${\phi }_n(t)=E\left(e^{it{S}_n/\sqrt{n}}\right)(t\text{ は実数})$$
とする。実数 $t$ を固定したときの極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\phi }_n(t)$ を $t$ の式で求めよ。ただし $i$ は虚数単位である。

確率変数 $X_1,X_2,\dots$ は独立同分布で、各 $X_k$ は
$$P(X_k=-1)=P(X_k=0)=P(X_k=1)=\frac{1}{3}$$
をみたすとする。$S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおく。$t$ を実数とするとき、極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }E\left[e^{it{S}_n/\sqrt{n}}\right]$$
を $t$ の式で求めよ。ただし $i$ は虚数単位とする。

確率変数 $X_1,X_2,X_3,\dots$ は独立同分布で、各 $X_k$ は
$$P(X_k=-1)=P(X_k=0)=P(X_k=1)=\frac{1}{3}$$
を満たすとする。$S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおき、$\frac{S_n}{\sqrt{n}}$ の特性関数を
$${\phi }_n(t)=E\left[\exp \left(it\frac{S_n}{\sqrt{n}}\right)\right](t\text{ は実数})$$
とする。$t$ を固定した実数とするとき、極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\phi }_n(t)$ を $t$ の式で求めよ。

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の確率変数列 $X_1,X_2,X_3,\dots$ は独立で、どれも区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従うとする。正の整数 $n$ に対して
$$G_n=\{(1+X_1)(1+X_2)\cdots (1+X_n){\}}^{1/n}$$
とおく。$n\to \infty$ のとき $G_n$ は確率 $1$ である定数 $L$ に収束する。$L$ の値を求めよ。

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の確率変数列 $X_1,X_2,X_3,\dots$ は独立で、どれも平均 $1$ の指数分布（確率密度関数 $f(x)=e^{-x}(x\ge 0)$、$f(x)=0(x<0)$）に従うとする。正の整数 $n$ に対して
$$S_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k{e}^{-X_k}$$
とおく。確率 $1$ で極限 $L=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$ が存在し、$L$ は定数になる。この定数 $L$ を求めよ。

確率空間上の確率変数列 $X_1,X_2,X_3,\dots$ は独立で、どれも確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$
をもつ指数分布に従うとする。正の整数 $n$ に対して
$$S_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sin X_k$$
とおく。$n\to \infty$ のとき、$S_n$ は確率 $1$ で定数 $L$ に収束する。この $L$ の値を求めよ。

状態空間 $S=\{1,2,3\}$ 上の時間一様なマルコフ連鎖 $(X_n{)}_{n\ge 0}$ の推移確率行列が
$$P=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ \frac{1}{3}& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\\ 0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$$
で与えられている（$i$ 行 $j$ 列の成分が状態 $i$ から状態 $j$ への推移確率）。$X_0=1$ とし、$T=\min \{n\ge 1:X_n=1\}$ を状態 $1$ への最初の再帰時刻とする。平均再帰時間 $m_1=E[T]$ を求めよ。

状態空間 $S=\{1,2,3\}$ 上の時間的に一様なマルコフ連鎖 $(X_n{)}_{n\ge 0}$ の推移確率行列が
$$P=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{3}& 0& \frac{2}{3}\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$$
で与えられている。第 $i$ 行第 $j$ 列の成分は、状態 $i$ から状態 $j$ へ 1 ステップで移る確率 $p_{ij}$ である。$X_0=3$ から出発したとき、初めて状態 $3$ に戻るまでのステップ数を $T_3=\min \{n\ge 1:X_n=3\}$ とする。状態 $3$ の平均再帰時間 $m_3=E[T_3\mid X_0=3]$ を求めよ。

状態空間 $S=\{1,2,3\}$ 上の時間一様なマルコフ連鎖 $(X_n{)}_{n\ge 0}$ の推移確率行列が
$$P=\left(\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$$
で与えられている（第 $i$ 行第 $j$ 列の成分が状態 $i$ から状態 $j$ への推移確率 $p_{ij}$）。$X_0=1$ とし、状態 $1$ への再帰時間を $T_1=\min \{n\ge 1:X_n=1\}$ とする。状態 $1$ の平均再帰時間 $m_1=E[T_1\mid X_0=1]$ を求めよ。

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上に、互いに独立な確率変数 $X,Y$ があり、$X$ は区間 $[0,1]$ 上の一様分布に、$Y$ は区間 $[1,3]$ 上の一様分布に従うとする。$\mathcal{G}=\sigma (X)$（$X$ が生成する σ 加法族）、$\mathcal{H}=\sigma (X,Y)$ とおき、$Z=X^{2}Y$ とする。このとき
$$E[X\cdot E[E[Z\mid \mathcal{H}]\left|\mathcal{G}\right]]$$
の値を求めよ。

$(\Omega ,\mathcal{F},P)$ を確率空間とし、$\mathcal{G}\subset \mathcal{F}$ を部分 σ 加法族とする。実数値確率変数 $X$ は $\mathcal{G}$ 可測で
$$E[X]=1,E[X^2]=3$$
を満たす。実数値確率変数 $Y$ は可積分で、$XY$ も可積分であり、
$$E[Y\mid \mathcal{G}]=2X+1(\text{a.s.})$$
が成り立つとする。このとき $E[XY]$ の値を求めよ。

$X_1,X_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、各 $X_k$ は $\{1,2,3,4,5,6\}$ 上の一様分布に従う（公正なさいころの出た目）とする。
$$S_0=0,S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n(n\ge 1)$$
とおき、${\mathcal{F}}_0=\{\varnothing ,\Omega \}$、${\mathcal{F}}_n=\sigma (X_1,\dots ,X_n)$ $(n\ge 1)$ とする。実数の定数 $a,b$ に対して
$$M_n=(S_n-an{)}^2-bn(n\ge 0)$$
と定める。$(M_n{)}_{n\ge 0}$ がフィルトレーション $({\mathcal{F}}_n{)}_{n\ge 0}$ に関するマルチンゲールとなるような $a,b$ の組を求め、$(a,b)$ の形で答えよ。

袋の中に、はじめ赤玉 $2$ 個と白玉 $3$ 個が入っている。次の操作をくり返す。

「袋から玉を $1$ 個無作為に取り出し、その色を確認して袋に戻し、さらに取り出した玉と同じ色の玉を $2$ 個袋に加える。」

$n$ 回の操作を終えた時点（$n=0,1,2,\dots$）で袋の中にある赤玉の個数を $R_n$ とし（$R_0=2$）、${\mathcal{F}}_n=\sigma (R_0,R_1,\dots ,R_n)$ とする。$\beta$ を正の実数の定数として
$$M_n=\frac{R_n}{n+\beta }(n=0,1,2,\dots )$$
と定める。$(M_n{)}_{n\ge 0}$ がフィルトレーション $({\mathcal{F}}_n{)}_{n\ge 0}$ に関するマルチンゲールとなるような $\beta$ の値を求めよ。

袋の中に、はじめ赤玉が $2$ 個、青玉が $3$ 個入っている。次の操作を繰り返す。

「袋から玉を $1$ 個、無作為に取り出し、その玉を袋に戻す。さらに、取り出した玉と同じ色の玉を $2$ 個、袋に加える。」

各回の取り出しでは、そのとき袋に入っている玉はどれも同様に確からしく取り出されるものとする。$n$ 回の操作を終えたときの赤玉の個数を $R_n$ とする（$R_0=2$）。${\mathcal{F}}_n=\sigma (R_0,R_1,\dots ,R_n)$ とおく。

$c$ を正の実数の定数とし、
$$M_n=\frac{R_n}{n+c}(n=0,1,2,\dots )$$
とおく。$(M_n{)}_{n\ge 0}$ が $({\mathcal{F}}_n)$ に関するマルチンゲールとなるような $c$ の値を求めよ。

${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、
$$P({\xi }_k=1)=\frac{1}{3},P({\xi }_k=-1)=\frac{2}{3}$$
を満たすものとする。$X_0=2$、$X_n=2+{\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$ $(n\ge 1)$ とおく。これは、所持金 $2$ 円のギャンブラーが、勝つ確率 $\frac{1}{3}$ で $1$ 円を得て、負ける確率 $\frac{2}{3}$ で $1$ 円を失う賭けを繰り返すときの、$n$ 回後の所持金を表す。

$$\tau =\min \{n\ge 0:X_n=0\text{または}{X}_n=5\}$$
とする。つまり、所持金が $0$ 円になるか $5$ 円になった時点で賭けをやめる。賭けをやめるまでの回数の期待値 $E[\tau ]$ を求めよ。

${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、$$P({\xi }_k=1)=\frac{3}{5},P({\xi }_k=-1)=\frac{2}{5}$$ を満たすものとする。$S_0=0$, $S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$ $(n\ge 1)$ とし、${\mathcal{F}}_n=\sigma ({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$（${\mathcal{F}}_0$ は自明な σ 加法族）とする。停止時刻 $$\tau =\inf \{n\ge 0:S_n=4\}$$ を考える（$\inf \varnothing =\infty$）。期待値 $E[\tau ]$ を求めよ。

${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、$$P({\xi }_k=1)=\frac{2}{5},P({\xi }_k=-1)=\frac{3}{5}$$ を満たすものとする。所持金の推移を $X_0=2$, $X_n=2+{\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$ $(n\ge 1)$ で表し、フィルトレーションは ${\mathcal{F}}_0=\{\varnothing ,\Omega \}$, ${\mathcal{F}}_n=\sigma ({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$ とする。停止時刻を $$\tau =\inf \{n\ge 0:X_n\in \{0,5\}\}$$ と定める。$M_n={\left(\frac{3}{2}\right)}^{X_n}$ がマルチンゲールであることと任意停止定理を用いて、所持金が $0$ になる前に $5$ に達する確率 $P(X_{\tau }=5)$ を求めよ。

確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_{10}$ は互いに独立で、それぞれ確率 $\frac{1}{2}$ で $1$、確率 $\frac{1}{2}$ で $-1$ をとるとする。$S_0=0$、$S_k=X_1+X_2+\cdots +X_k(k=1,2,\dots ,10)$ とおく（単純対称ランダムウォーク）。このとき、
$$\underset{0\le k\le 10}{\max }{S}_k\ge 4$$
となる確率を求めよ。

$X_1,X_2,\dots ,X_{10}$ を独立な確率変数で、各 $X_i$ は $P(X_i=1)=P(X_i=-1)=\frac{1}{2}$ を満たすとする。$S_0=0$、$S_k=X_1+X_2+\cdots +X_k(k=1,2,\dots ,10)$ とおく（単純対称ランダムウォーク）。

事象「$\underset{0\le k\le 10}{\max }{S}_k\ge 4$ かつ $S_{10}=2$」の確率を求めよ。

$X_1,X_2,\dots$ は互いに独立な確率変数で、各 $X_i$ は $P(X_i=1)=P(X_i=-1)=\frac{1}{2}$ を満たすとする。$S_0=0$, $S_k=X_1+X_2+\cdots +X_k(k\ge 1)$ で定まる単純対称ランダムウォークを考える。最初の $6$ ステップまでに一度でも $2$ に到達する確率、すなわち
$$P\left(\underset{0\le k\le 6}{\max }{S}_k\ge 2\right)$$
を求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ である 1 次元標準ブラウン運動とする。すなわち、$0\le s<t$ に対して増分 $B_t-B_s$ は正規分布 $N(0,t-s)$ に従い、重ならない区間の増分は互いに独立である。
$$X=3B_1-2B_2+B_4$$
とおくとき、$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ である 1 次元標準ブラウン運動とする。すなわち、$0\le s<t$ に対して増分 $B_t-B_s$ は正規分布 $N(0,t-s)$ に従い、互いに重ならない有限個の区間の増分は互いに独立である。$$X=3B_1-2B_2+B_4$$ とおくとき、$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ である 1 次元標準ブラウン運動とする。すなわち、増分は独立かつ定常で、$0\le s<t$ に対して $B_t-B_s$ は正規分布 $N(0,t-s)$ に従う。
$$X=3B_1-2B_2+B_4$$
とおくとき、$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

状態空間 $\{1,2,3,4\}$ 上の時間的に一様なマルコフ連鎖 $(X_n{)}_{n\ge 0}$ の推移確率行列が
$$P=\left(\begin{array}{cccc}0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{3}& 0& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{4}& 0& \frac{1}{4}\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right)$$
で与えられているとする（第 $i$ 行第 $j$ 列の成分が $P(X_{n+1}=j\mid X_n=i)$ である）。$X_0=1$ とし、
$$T=\min \{n\ge 0:X_n=4\}$$
とおく。期待値 $E[T]$ を求めよ。

実数値確率変数 $X$ の特性関数が
$${\phi }_X(t)=E\left[e^{itX}\right]=\frac{\cos t}{1+t^2}(t\in \mathbb{R})$$
で与えられているとする。$E[X^4]$ を求めよ。

$U_1,U_2,\dots$ を独立で、それぞれ区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従う確率変数とし、正の整数 $n$ に対して ${\overline{U}}_n=\frac{U_1+\cdots +U_n}{n}$ とおく。極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}E\left[\left|{\overline{U}}_n-\frac{1}{2}\right|\right]$$
を求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ である 1 次元標準ブラウン運動とし（標本路は連続とする）、
$$X={\int }_0^1{B}_{t}dt$$
とおく。$E\left[B_1^2{X}^2\right]$ を求めよ。

正の整数 $n$ に対して
$$a_n=\frac{e^{-2n}}{\sqrt{n}}\sum _{k=0}^{\infty }|k-2n|\frac{(2n{)}^k}{k!}$$
とおく。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ を求めよ。

頂点集合 $\{h,v_0,v_1,v_2,v_3\}$ をもち、辺が
$$v_0{v}_1,v_1{v}_2,v_2{v}_3,v_3{v}_0,h{v}_0,h{v}_1,h{v}_2,h{v}_3$$
の $8$ 本であるグラフ $G$（正方形の 4 頂点と、そのすべてに隣接する中心 $h$ からなるグラフ）を考える。$G$ 上の単純ランダムウォーク $(X_n{)}_{n\ge 0}$、すなわち各時刻に現在の頂点に隣接する頂点の中から等確率で 1 つを選んで移動する時間的に一様なマルコフ連鎖を考え、$X_0=h$ とする。
$$T=\min \{n\ge 0:X_n=v_0\}$$
とおくとき、期待値 $E[T]$ を求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ である 1 次元標準ブラウン運動とし、
$$X=B_1{B}_2{B}_3$$
とおく。$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

$X_1,X_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、それぞれ確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2e^{-2x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
をもつもの（パラメータ $2$ の指数分布）とする。$N$ は $X_1,X_2,\dots$ と独立で、正の整数に値をとり
$$P(N=n)=\frac{1}{3}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}(n=1,2,3,\dots )$$
を満たす確率変数とする。
$$S=\sum _{k=1}^N{X}_k$$
とおくとき、確率 $P(S>3)$ を求めよ。

$3\times 3$ の盤のマスを座標 $(i,j)$ $(i,j\in \{1,2,3\})$ で表す。マス $(i,j)$ と $(i^{\prime },j^{\prime })$ は、$(i,j)\ne (i^{\prime },j^{\prime })$ かつ $\max (|i-i^{\prime }|,|j-j^{\prime }|)=1$ のとき隣接するという（チェスのキングが 1 手で動ける関係）。

この盤上のマルコフ連鎖 $(X_n{)}_{n\ge 0}$ を、各時刻に現在のマスに隣接するマスの中から等確率で 1 つ選んでそこへ移る、として定める。$X_0=(1,1)$ とし、
$$T=\min \{n\ge 0:X_n=(3,3)\}$$
とおく。$E[T]$ を求めよ。

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の独立同分布な確率変数列 ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ が
$$P({\xi }_i=1)=P({\xi }_i=-1)=\frac{1}{2}(i\ge 1)$$
を満たすとし、$S_0=0$、$S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n(n\ge 1)$ とおく。

このとき、すべての整数 $n\ge 0$ に対して
$$E[|S_{n+1}|]-E[|S_n|]=P(S_n=0)$$
が成り立つことを証明せよ。

$f:[0,1]\to \mathbb{R}$ を連続関数とする。正の整数 $n$ に対して
$$I_n={\int }_{[0,1{]}^n}f\left(\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}{x_1+x_2+\cdots +x_n}\right)d{x}_{1}d{x}_2\cdots d{x}_n$$
とおく。ここで積分は $[0,1{]}^n$ 上のルベーグ積分であり、被積分関数は $x_1+\cdots +x_n=0$ となる 1 点（原点）では $f(0)$ と定めるものとする。このとき
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n=f\left(\frac{2}{3}\right)$$
であることを証明せよ。

なお、大数の強法則（独立同分布で可積分な確率変数列の標本平均は期待値にほとんど確実に収束する）と、有界収束定理は用いてよい。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の 1 次元標準ブラウン運動とする。すなわち $B_0=0$ であり、すべての $\omega$ で $t\mapsto B_t(\omega )$ は連続、$0\le t_0<t_1<\cdots <t_k$ に対して増分 $B_{t_1}-B_{t_0},\dots ,B_{t_k}-B_{t_{k-1}}$ は独立で、$B_t-B_s(s<t)$ は平均 $0$、分散 $t-s$ の正規分布に従う。

$T>0$ を定数とし、
$$Y={\int }_0^T{B}_t^{2}dt$$
（各 $\omega$ ごとのリーマン積分）とおく。このとき
$$\mathrm{Var}(Y)=\frac{T^4}{3}$$
であることを証明せよ。

なお、平均 $0$、分散 ${\sigma }^2$ の正規分布に従う確率変数 $Z$ について $E[Z^4]=3{\sigma }^4$ であること、およびフビニ・トネリの定理は用いてよい。

正の整数 $n$ に対して
$$I_n={\int }_{[0,1{]}^n}\sqrt{\frac{x_1^3+x_2^3+\cdots +x_n^3}{x_1+x_2+\cdots +x_n}}{2}^n{x}_1{x}_2\cdots x_{n}d{x}_{1}d{x}_2\cdots d{x}_n$$
とおく（積分はルベーグ積分とする。被積分関数は $x_1+\cdots +x_n=0$ となる点、すなわち原点では定義されないが、この 1 点は測度 $0$ なので積分の値に影響しない）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ を求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ である 1 次元標準ブラウン運動とし（標本路は連続とする）、
$$Y={\int }_0^1{B}_t^{2}dt-\frac{1}{2}{B}_1^2$$
とおく（積分は各標本点でのリーマン積分とする）。$Y$ の分散 $V(Y)$ を求めよ。

2 つの箱 A, B と、番号 $1,2,3,4$ の付いた $4$ 個の玉がある。はじめ ($n=0$) に $4$ 個の玉はすべて箱 A に入っている。各時刻 $n=1,2,3,\dots$ に、$4$ 個の玉の中から $1$ 個を等確率 $\frac{1}{4}$ で選ぶ（選択は時刻ごとに独立）。選んだ玉を、それが入っている箱からもう一方の箱へ移す。

$4$ 個の玉がはじめてすべて箱 B に入っている時刻を
$$T=\min \{n\ge 1:\text{時刻 }n\text{ の操作後にすべての玉が箱 B にある}\}$$
とする。期待値 $E[T]$ を求めよ。

$X_1,X_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、それぞれ $1,2,3,4,5,6$ の値を確率 $\frac{1}{6}$ ずつとるもの（公正なさいころの出る目）とする。正の整数 $m$ に対して $S_m=X_1+X_2+\cdots +X_m$ とおく。極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(S_n>\frac{7n}{2}\text{かつ}{S}_{4n}>14n\right)$$
を求めよ。

$3\times 3$ のマス目の盤を考え、第 $i$ 行第 $j$ 列のマスを $(i,j)$ $(1\le i,j\le 3)$ と表す。盤上のキングは、縦・横・斜めに隣り合うマス（すなわち $\max (|i-i^{\prime }|,|j-j^{\prime }|)=1$ を満たすマス $(i^{\prime },j^{\prime })$）へ 1 回に 1 マス動く。

盤上のマスを値にとるマルコフ連鎖 $(X_n{)}_{n\ge 0}$ を次のように定める。$X_0=(1,1)$ とし、各時刻 $n=0,1,2,\dots$ において、$X_{n+1}$ は $X_n$ からキングが動ける盤上のマスのうちの 1 つを、それまでの経過と独立に等確率で選んだものとする。
$$T=\min \{n\ge 0:X_n=(3,3)\}$$
とおくとき、期待値 $E[T]$ を求めよ。

三角柱の頂点と辺からなるグラフ $G$ を考える。すなわち、頂点集合は $\{a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3\}$ で、辺は
$$a_1{a}_2,a_2{a}_3,a_3{a}_1,b_1{b}_2,b_2{b}_3,b_3{b}_1,a_1{b}_1,a_2{b}_2,a_3{b}_3$$
の $9$ 本である。$G$ 上の単純ランダムウォーク $(X_n{)}_{n\ge 0}$（各時刻に、現在の頂点に隣接する $3$ 頂点のいずれかへ等確率 $\frac{1}{3}$ で、それまでの経過とは独立に移る斉次マルコフ連鎖）を $X_0=a_1$ から出発させる。
$$\tau =\min \{n\ge 0:X_n=b_2\}$$
とおくとき、期待値 $E[\tau ]$ を求めよ。

${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、
$$P({\xi }_k=1)=\frac{2}{3},P({\xi }_k=-1)=\frac{1}{3}$$
を満たすものとする。$S_0=0$, $S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$（$n\ge 1$）とおき、
$$\tau =\min \{n\ge 0:S_n=4\text{または}{S}_n=-2\}$$
と定める。期待値 $E[\tau ]$ を求めよ。

正の整数 $n$ に対して
$$I_n={\int }_{[0,1{]}^n}\frac{n(x_1{x}_2\cdots x_n{)}^{1/n}}{x_1+x_2+\cdots +x_n}d{x}_{1}d{x}_2\cdots d{x}_n$$
とおく（被積分関数は $x_1+\cdots +x_n>0$ となる点で定め、測度 $0$ の残りの集合は無視する）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ を求めよ。

${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、$P({\epsilon }_k=1)=P({\epsilon }_k=-1)=\frac{1}{2}$ を満たすものとし、
$$Z=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{{\epsilon }_k}{3^k}$$
とおく（この級数は各標本点で絶対収束する）。$Z$ の特性関数 ${\phi }_Z(t)=E\left[e^{itZ}\right]$ を無限積で表し、それを用いて $4$ 次モーメント $E\left[Z^4\right]$ を求めよ。

$a,b$ を正の整数とする。${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で $P({\xi }_k=1)=P({\xi }_k=-1)=\frac{1}{2}$ を満たすものとし、$S_0=0$, $S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$ $(n\ge 1)$ とおく。
$$T=\min \{n\ge 0:S_n=-a\text{または}{S}_n=b\}$$
とする。$S_T=b$ という条件のもとでの $T$ の条件付き期待値 $E[T\mid S_T=b]$ を $a,b$ の式で求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ である標準ブラウン運動（1 次元）とし、
$$X={\int }_0^1{\left(B_t-t{B}_1\right)}^{2}dt$$
とおく（標本路の連続性により、この積分は各標本点でリーマン積分として定まる）。$X$ の分散 $V[X]$ を求めよ。

$N$ を平均 $2$ のポアソン分布に従う確率変数、すなわち $P(N=k)=e^{-2}\frac{2^k}{k!}$ $(k=0,1,2,\dots )$ を満たす確率変数とする。$X_1,X_2,\dots$ はそれぞれ平均 $1$ の指数分布（密度関数 $e^{-x}$ $(x>0)$）に従う確率変数で、$N,X_1,X_2,\dots$ は互いに独立であるとする。
$$S=\sum _{i=1}^N{X}_i$$
とおく（ただし $N=0$ のときは $S=0$ とする）。$E[S^3]$ を求めよ。

$X_1,X_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、それぞれ平均 $1$ の指数分布（密度関数 $e^{-x}$ $(x>0)$）に従うものとする。正の整数 $n$ に対して
$$A_n=\sum _{k=1}^n(X_k-1),B_n=\sum _{k=1}^n(X_k^2-2)$$
とおく。極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(A_n>0\text{かつ}{B}_n>0\right)$$
を求めよ。

$X$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の実数値確率変数とし、その特性関数を
$$\phi (t)=E\left[e^{itX}\right](t\in \mathbb{R})$$
とする。$m,n$ を互いに素な正の整数とし、
$$|\phi (m)|=|\phi (n)|=1$$
が成り立つとする。このとき $|\phi (1)|=1$ であることを証明せよ。

$\frac{1}{2}<p<1$ とし、$q=1-p$, $\mu =p-q=2p-1$ とおく。${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数列で $P({\xi }_i=1)=p$, $P({\xi }_i=-1)=q$ を満たすものとし、$S_0=0$, $S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n(n\ge 1)$ とおく。${\mathcal{F}}_0$ を自明な $\sigma$-加法族、${\mathcal{F}}_n=\sigma ({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)(n\ge 1)$ とする。正の整数 $b$ を固定し、
$$\tau =\inf \{n\ge 0:S_n=b\}(\inf \varnothing =\infty )$$
とおく。$\tau <\infty$ のとき、$b$ に到達するまでの経路の「面積」を
$$A=\sum _{k=0}^{\tau -1}{S}_k$$
で定める。このとき $\tau <\infty$ a.s. であり、$A$ は可積分で
$$E[A]=\frac{b(b\mu -1)}{2{\mu }^2}$$
であることを証明せよ。

なお、$({\mathcal{F}}_n)$-マルチンゲール $(M_n)$ と $({\mathcal{F}}_n)$-停止時刻 $\sigma$ に対して、各 $n\ge 0$ で $E[M_{\sigma \wedge n}]=E[M_0]$ が成り立つこと（有界な停止時刻に対する任意抽出定理）、マルコフの不等式、単調収束定理（項別積分を含む）、優収束定理は用いてよい。

$X_1,X_2,\dots ,X_8$ を独立な確率変数で、それぞれ標準正規分布 $N(0,1)$ に従うものとする。
$$W=X_1{X}_2+X_3{X}_4+X_5{X}_6+X_7{X}_8$$
とおく。確率 $P(W>1)$ を求めよ。

${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、$P({\xi }_k=1)=P({\xi }_k=-1)=\frac{1}{2}$ を満たすものとする。$S_0=0$、$S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$ $(n\ge 1)$ とおき、停止時刻
$$\tau =\min \{n\ge 0:S_n=-2\text{または}{S}_n=5\}$$
を定める（フィルトレーションは $({\xi }_k)$ の生成する自然なものとする）。$\tau$ の分散 $V(\tau )$ を求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ である 1 次元標準ブラウン運動とし（標本路は連続とする）、$0\le t\le 1$ に対して $Y_t=B_t-t{B}_1$ とおく。さらに
$$X={\int }_0^1{Y}_t^{2}dt$$
とおく。$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

実数値確率変数 $X$ の特性関数が
$${\phi }_X(t)=E\left[e^{itX}\right]=\frac{{\sin }^{2}t}{t^2(1+t^2)}(t\ne 0),{\phi }_X(0)=1$$
で与えられているとする。${\phi }_X$ は $\mathbb{R}$ 上で可積分なので、$X$ は $\mathbb{R}$ 上で連続な確率密度関数 $f$ をもつ。$f(2)$ の値を求めよ。

$X_1,X_2,\dots$ を独立同分布な確率変数とし、それぞれ文字 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ のいずれかの値をとり、$$P(X_k=\mathrm{A})=\frac{1}{2},P(X_k=\mathrm{B})=\frac{1}{3},P(X_k=\mathrm{C})=\frac{1}{6}$$ を満たすものとする。停止時刻 $$\tau =\min \{n\ge 5:(X_{n-4},X_{n-3},X_{n-2},X_{n-1},X_n)=(\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{A},\mathrm{B})\}$$ を定める（文字列 $\mathrm{ABCAB}$ が初めて現れ終わる時刻）。期待値 $E[\tau ]$ を求めよ。

${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で $P({\xi }_k=1)=P({\xi }_k=-1)=\frac{1}{2}$ を満たすものとし、$S_0=0$, $S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$ $(n\ge 1)$ とおく。停止時刻
$$T=\min \{n\ge 0:S_n=-3\text{または}{S}_n=4\}$$
に対して、$E[T^2]$ を求めよ。

$n\ge 2$ を整数とし、$\{0,1{\}}^n$ に値をとるマルコフ連鎖 $(X_t{)}_{t\ge 0}$ を次のように定める。$X_0=(0,0,\dots ,0)$ とし、各時刻 $t=0,1,2,\dots$ において、添字 $i\in \{1,2,\dots ,n\}$ を一様に選び、それとは独立にビット $b\in \{0,1\}$ を等確率で選んで、$X_t$ の第 $i$ 成分だけを $b$ に置き換えたものを $X_{t+1}$ とする（他の成分は変えない）。各時刻の選択は互いに独立とする。

$$T=\min \{t\ge 0:X_t=(1,1,0,0,\dots ,0)\}$$

とおく（第 $1$ 成分と第 $2$ 成分が $1$、残りが $0$ の状態に初めて到達する時刻）。期待値 $E[T]$ を $n$ の式で求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ である 1 次元標準ブラウン運動（標本路は連続）とし、その自然なフィルトレーションを考える。停止時刻
$$\tau =\inf \{t\ge 0:B_t\notin (-1,2)\}$$
を定める（$B_t$ が初めて $-1$ または $2$ に到達する時刻）。$E\left[{\tau }^2\right]$ を求めよ。

${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で $$P({\xi }_k=1)=P({\xi }_k=-1)=\frac{1}{4},P({\xi }_k=0)=\frac{1}{2}$$ を満たすものとし、$S_0=0$, $S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$ $(n\ge 1)$ とおく。停止時刻 $$\tau =\min \{n\ge 0:S_n=-2\text{または}{S}_n=3\}$$ を考える（$\tau <\infty$ が確率 $1$ で成り立つ）。$\tau$ の分散 $V(\tau )$ を求めよ。