確率論の問題

頂点集合 $\{h,v_0,v_1,v_2,v_3\}$ をもち、辺が
$$v_0{v}_1,v_1{v}_2,v_2{v}_3,v_3{v}_0,h{v}_0,h{v}_1,h{v}_2,h{v}_3$$
の $8$ 本であるグラフ $G$（正方形の 4 頂点と、そのすべてに隣接する中心 $h$ からなるグラフ）を考える。$G$ 上の単純ランダムウォーク $(X_n{)}_{n\ge 0}$、すなわち各時刻に現在の頂点に隣接する頂点の中から等確率で 1 つを選んで移動する時間的に一様なマルコフ連鎖を考え、$X_0=h$ とする。
$$T=\min \{n\ge 0:X_n=v_0\}$$
とおくとき、期待値 $E[T]$ を求めよ。

$3\times 3$ のマス目の盤を考え、第 $i$ 行第 $j$ 列のマスを $(i,j)$ $(1\le i,j\le 3)$ と表す。盤上のキングは、縦・横・斜めに隣り合うマス（すなわち $\max (|i-i^{\prime }|,|j-j^{\prime }|)=1$ を満たすマス $(i^{\prime },j^{\prime })$）へ 1 回に 1 マス動く。

盤上のマスを値にとるマルコフ連鎖 $(X_n{)}_{n\ge 0}$ を次のように定める。$X_0=(1,1)$ とし、各時刻 $n=0,1,2,\dots$ において、$X_{n+1}$ は $X_n$ からキングが動ける盤上のマスのうちの 1 つを、それまでの経過と独立に等確率で選んだものとする。
$$T=\min \{n\ge 0:X_n=(3,3)\}$$
とおくとき、期待値 $E[T]$ を求めよ。

${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、
$$P({\xi }_k=1)=\frac{2}{3},P({\xi }_k=-1)=\frac{1}{3}$$
を満たすものとする。$S_0=0$, $S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$（$n\ge 1$）とおき、
$$\tau =\min \{n\ge 0:S_n=4\text{または}{S}_n=-2\}$$
と定める。期待値 $E[\tau ]$ を求めよ。

$3\times 3$ の盤のマスを座標 $(i,j)$ $(i,j\in \{1,2,3\})$ で表す。マス $(i,j)$ と $(i^{\prime },j^{\prime })$ は、$(i,j)\ne (i^{\prime },j^{\prime })$ かつ $\max (|i-i^{\prime }|,|j-j^{\prime }|)=1$ のとき隣接するという（チェスのキングが 1 手で動ける関係）。

この盤上のマルコフ連鎖 $(X_n{)}_{n\ge 0}$ を、各時刻に現在のマスに隣接するマスの中から等確率で 1 つ選んでそこへ移る、として定める。$X_0=(1,1)$ とし、
$$T=\min \{n\ge 0:X_n=(3,3)\}$$
とおく。$E[T]$ を求めよ。

$X_1,X_2,\dots$ を独立同分布な確率変数とし、それぞれ文字 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ のいずれかの値をとり、$$P(X_k=\mathrm{A})=\frac{1}{2},P(X_k=\mathrm{B})=\frac{1}{3},P(X_k=\mathrm{C})=\frac{1}{6}$$ を満たすものとする。停止時刻 $$\tau =\min \{n\ge 5:(X_{n-4},X_{n-3},X_{n-2},X_{n-1},X_n)=(\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{A},\mathrm{B})\}$$ を定める（文字列 $\mathrm{ABCAB}$ が初めて現れ終わる時刻）。期待値 $E[\tau ]$ を求めよ。