確率論の問題

マス $x$ から出発したときの $T$ の期待値を $h(x)$ とおく。$h((3,3))=0$ であり、それ以外のマス $x$ では 1 歩先で条件付けて（マルコフ性）
$$h(x)=1+\frac{1}{\mathrm{deg}x}\sum _{y\sim x}h(y)$$
が成り立つ。有限既約な連鎖なので $h$ はすべて有限で、この連立方程式の唯一の解である。

対称性による分類. 対角線 $i=j$ に関する対称性から、次の値をおく。
- $a=h(1,1)$（出発点、隣接数 $3$）
- $b=h(1,2)=h(2,1)$（隣接数 $5$）
- $d=h(1,3)=h(3,1)$（隣接数 $3$）
- $f=h(2,3)=h(3,2)$（隣接数 $5$）
- $m=h(2,2)$（隣接数 $8$）

各マスの隣接マスを数えると
$$\begin{array}{rl}(1)& a=1+\frac{1}{3}(2b+m)\\ (2)& b=1+\frac{1}{5}(a+b+d+f+m)\\ (3)& d=1+\frac{1}{3}(b+f+m)\\ (4)& f=1+\frac{1}{5}(b+d+f+m)\\ (5)& m=1+\frac{1}{8}(a+2b+2d+2f)\end{array}$$
（例えば $(1,2)$ の隣接マスは $(1,1),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)$、$(2,3)$ の隣接マスは $(1,2),(1,3),(2,2),(3,2),(3,3)$ である。）

解く. $(2)$ と $(4)$ を $4b=5+a+d+f+m$, $4f=5+b+d+m$ と書いて引くと $5b=5f+a$、すなわち $b=f+\frac{a}{5}$。

$(3)$ と $(4)$ から $3d=3+b+f+m$, $3f=5+b+d+m-f$ を引くと $3f-3d=2+d-2f$、すなわち $d=\frac{5f-2}{4}$。

これらを $(1)$, $(4)$, $(5)$ に代入すると
$$13a=15+10f+5m,35f=90+4a+20m,80m=70+14a+65f.$$
1 つ目から $20m=52a-60-40f$ を 2 つ目に代入して $75f=30+56a$。また 1 つ目から $80m=208a-240-160f$ を 3 つ目と比べて $194a-310=225f=3(30+56a)$、よって $26a=400$。
$$a=\frac{200}{13}.$$

検算. このとき $f=\frac{2318}{195}$, $b=\frac{2918}{195}$, $d=\frac{2800}{195}$, $m=\frac{2579}{195}$, $a=\frac{3000}{195}$ となり、例えば $(1)$ は $1+\frac{2\cdot 2918+2579}{585}=1+\frac{187}{13}=\frac{200}{13}$、$(5)$ は $8m=\frac{20632}{195}=8+\frac{3000+5836+5600+4636}{195}$ で成り立つ。

よって $E[T]=\frac{200}{13}$。

各マスから出発して $(3,3)$ に初めて到達するまでの時間の期待値 $E_x$ を考える。盤の対角線 $i=j$ に関する対称性で同じ値になるマスをまとめる。\n$a=E_{(1,1)}$、$b=E_{(1,2)}=E_{(2,1)}$、$c=E_{(2,3)}=E_{(3,2)}$、$d=E_{(1,3)}=E_{(3,1)}$、$m=E_{(2,2)}$、$E_{(3,3)}=0$。\n次数: 角 3、辺 5、中央 8。隣接関係から\n$(1,1)$: 隣は $(1,2),(2,1),(2,2)$ → $3a=3+2b+m$ ……(1)\n$(1,2)$: 隣は $(1,1),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)$ → $5b=5+a+d+b+m+c$ ……(2)\n$(2,3)$: 隣は $(1,2),(1,3),(2,2),(3,2),(3,3)$ → $5c=5+b+d+m+c$ ……(3)\n$(1,3)$: 隣は $(1,2),(2,2),(2,3)$ → $3d=3+b+m+c$ ……(4)\n$(2,2)$: 隣は他の 8 マス → $8m=8+a+2b+2c+2d$ ……(5)\n(4),(3) から $d=\frac{17+5b+5m}{11}$、$c=\frac{18+4b+4m}{11}$。(1) から $a=1+\frac{2b+m}{3}$。(2) に代入して整理すると $83b=303+71m$。(5) に代入して整理すると $199m=507+142b$。連立して $6435m=85107$、$m=\frac{2579}{195}$、$b=\frac{2918}{195}$。\nすると $a=1+\frac{2b+m}{3}=1+\frac{8415}{585}=\frac{200}{13}$。また $c=\frac{2318}{195}$、$d=\frac{2800}{195}$。\n検算 (195 を分母にして): (5) 左辺 $8m=\frac{20632}{195}$、右辺 $\frac{1560+3000+5836+4636+5600}{195}=\frac{20632}{195}$ ✓。(2) 左辺 $4b=\frac{11672}{195}$、右辺 $5+a+c+d+m=\frac{975+3000+2318+2800+2579}{195}=\frac{11672}{195}$ ✓。\nよって $E[T]=E_{(1,1)}=a=\frac{200}{13}$。