確率論の問題

状態空間 $S=\{1,2,3\}$ 上の時間一様なマルコフ連鎖 $(X_n{)}_{n\ge 0}$ の推移確率行列が
$$P=\left(\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$$
で与えられている（第 $i$ 行第 $j$ 列の成分が状態 $i$ から状態 $j$ への推移確率 $p_{ij}$）。$X_0=1$ とし、状態 $1$ への再帰時間を $T_1=\min \{n\ge 1:X_n=1\}$ とする。状態 $1$ の平均再帰時間 $m_1=E[T_1\mid X_0=1]$ を求めよ。

状態空間 $S=\{1,2,3\}$ 上の時間一様なマルコフ連鎖 $(X_n{)}_{n\ge 0}$ の推移確率行列が
$$P=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ \frac{1}{3}& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\\ 0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$$
で与えられている（$i$ 行 $j$ 列の成分が状態 $i$ から状態 $j$ への推移確率）。$X_0=1$ とし、$T=\min \{n\ge 1:X_n=1\}$ を状態 $1$ への最初の再帰時刻とする。平均再帰時間 $m_1=E[T]$ を求めよ。

状態空間 $S=\{1,2,3\}$ 上の時間的に一様なマルコフ連鎖 $(X_n{)}_{n\ge 0}$ の推移確率行列が
$$P=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{3}& 0& \frac{2}{3}\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$$
で与えられている。第 $i$ 行第 $j$ 列の成分は、状態 $i$ から状態 $j$ へ 1 ステップで移る確率 $p_{ij}$ である。$X_0=3$ から出発したとき、初めて状態 $3$ に戻るまでのステップ数を $T_3=\min \{n\ge 1:X_n=3\}$ とする。状態 $3$ の平均再帰時間 $m_3=E[T_3\mid X_0=3]$ を求めよ。

頂点集合 $\{h,v_0,v_1,v_2,v_3\}$ をもち、辺が
$$v_0{v}_1,v_1{v}_2,v_2{v}_3,v_3{v}_0,h{v}_0,h{v}_1,h{v}_2,h{v}_3$$
の $8$ 本であるグラフ $G$（正方形の 4 頂点と、そのすべてに隣接する中心 $h$ からなるグラフ）を考える。$G$ 上の単純ランダムウォーク $(X_n{)}_{n\ge 0}$、すなわち各時刻に現在の頂点に隣接する頂点の中から等確率で 1 つを選んで移動する時間的に一様なマルコフ連鎖を考え、$X_0=h$ とする。
$$T=\min \{n\ge 0:X_n=v_0\}$$
とおくとき、期待値 $E[T]$ を求めよ。

$3\times 3$ の盤のマスを座標 $(i,j)$ $(i,j\in \{1,2,3\})$ で表す。マス $(i,j)$ と $(i^{\prime },j^{\prime })$ は、$(i,j)\ne (i^{\prime },j^{\prime })$ かつ $\max (|i-i^{\prime }|,|j-j^{\prime }|)=1$ のとき隣接するという（チェスのキングが 1 手で動ける関係）。

この盤上のマルコフ連鎖 $(X_n{)}_{n\ge 0}$ を、各時刻に現在のマスに隣接するマスの中から等確率で 1 つ選んでそこへ移る、として定める。$X_0=(1,1)$ とし、
$$T=\min \{n\ge 0:X_n=(3,3)\}$$
とおく。$E[T]$ を求めよ。