確率論の問題

三角柱の頂点と辺からなるグラフ $G$ を考える。すなわち、頂点集合は $\{a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3\}$ で、辺は
$$a_1{a}_2,a_2{a}_3,a_3{a}_1,b_1{b}_2,b_2{b}_3,b_3{b}_1,a_1{b}_1,a_2{b}_2,a_3{b}_3$$
の $9$ 本である。$G$ 上の単純ランダムウォーク $(X_n{)}_{n\ge 0}$（各時刻に、現在の頂点に隣接する $3$ 頂点のいずれかへ等確率 $\frac{1}{3}$ で、それまでの経過とは独立に移る斉次マルコフ連鎖）を $X_0=a_1$ から出発させる。
$$\tau =\min \{n\ge 0:X_n=b_2\}$$
とおくとき、期待値 $E[\tau ]$ を求めよ。

$3\times 3$ の盤のマスを座標 $(i,j)$ $(i,j\in \{1,2,3\})$ で表す。マス $(i,j)$ と $(i^{\prime },j^{\prime })$ は、$(i,j)\ne (i^{\prime },j^{\prime })$ かつ $\max (|i-i^{\prime }|,|j-j^{\prime }|)=1$ のとき隣接するという（チェスのキングが 1 手で動ける関係）。

この盤上のマルコフ連鎖 $(X_n{)}_{n\ge 0}$ を、各時刻に現在のマスに隣接するマスの中から等確率で 1 つ選んでそこへ移る、として定める。$X_0=(1,1)$ とし、
$$T=\min \{n\ge 0:X_n=(3,3)\}$$
とおく。$E[T]$ を求めよ。

$3\times 3$ のマス目の盤を考え、第 $i$ 行第 $j$ 列のマスを $(i,j)$ $(1\le i,j\le 3)$ と表す。盤上のキングは、縦・横・斜めに隣り合うマス（すなわち $\max (|i-i^{\prime }|,|j-j^{\prime }|)=1$ を満たすマス $(i^{\prime },j^{\prime })$）へ 1 回に 1 マス動く。

盤上のマスを値にとるマルコフ連鎖 $(X_n{)}_{n\ge 0}$ を次のように定める。$X_0=(1,1)$ とし、各時刻 $n=0,1,2,\dots$ において、$X_{n+1}$ は $X_n$ からキングが動ける盤上のマスのうちの 1 つを、それまでの経過と独立に等確率で選んだものとする。
$$T=\min \{n\ge 0:X_n=(3,3)\}$$
とおくとき、期待値 $E[T]$ を求めよ。

状態空間 $\{1,2,3,4\}$ 上の時間的に一様なマルコフ連鎖 $(X_n{)}_{n\ge 0}$ の推移確率行列が
$$P=\left(\begin{array}{cccc}0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{3}& 0& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{4}& 0& \frac{1}{4}\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right)$$
で与えられているとする（第 $i$ 行第 $j$ 列の成分が $P(X_{n+1}=j\mid X_n=i)$ である）。$X_0=1$ とし、
$$T=\min \{n\ge 0:X_n=4\}$$
とおく。期待値 $E[T]$ を求めよ。

2 つの箱 A, B と、番号 $1,2,3,4$ の付いた $4$ 個の玉がある。はじめ ($n=0$) に $4$ 個の玉はすべて箱 A に入っている。各時刻 $n=1,2,3,\dots$ に、$4$ 個の玉の中から $1$ 個を等確率 $\frac{1}{4}$ で選ぶ（選択は時刻ごとに独立）。選んだ玉を、それが入っている箱からもう一方の箱へ移す。

$4$ 個の玉がはじめてすべて箱 B に入っている時刻を
$$T=\min \{n\ge 1:\text{時刻 }n\text{ の操作後にすべての玉が箱 B にある}\}$$
とする。期待値 $E[T]$ を求めよ。