基本的な関数の不定積分

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{1}x{\left(x^2+1\right)}^{3}dx$$

$x>0$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime }+\frac{1}{x}y=3x$$ と初期条件 $y(1)=2$ を満たすとする。$y(x)$ を $x$ の式で表せ。

実数全体で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime }+y=2e^x$$ と初期条件 $y(0)=0$ を満たすとする。$y(\log 2)$ の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数、$e$ は自然対数の底とする。

$x>0$ で定義された関数 $F(x)$ が
$$F^{\prime }(x)=\frac{1}{x}+3\sqrt{x},F(1)=0$$
を満たすとき、$F(x)$ を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数を表す。

$x$ は実数とする。関数 $F(x)$ が
$$F^{\prime }(x)=e^x+\cos x,F(0)=3$$
を満たすとき、$F(x)$ を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。

$x>0$ で定義された関数 $F(x)$ が
$$F^{\prime }(x)=3\sqrt{x}-\frac{2}{x},F(1)=0$$
を満たすとき、$F(x)$ を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\sqrt{3}}x\sqrt{x^2+1}dx$$

次の定積分の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数、$e$ は自然対数の底とする。$${\int }_1^e\frac{(\log x{)}^3}{x}dx$$

関数 $F(x)$ は、すべての実数 $x$ について
$$F^{\prime }(x)=x\cos x,F(0)=0$$
を満たす。$F(x)$ を求めよ。

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\cos xdx$$

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\cos xdx$$

次の定積分の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。$${\int }_0^1\frac{1}{(x+1)(x+2)}dx$$

定積分 $${\int }_0^1\frac{1}{(x+1)(x+2)}dx$$ を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数を表す。

定積分
$${\int }_3^4\frac{1}{(x-1)(x-2)}dx$$
を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数を表す。

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\left(x^3\cos x+x\sin x\right)dx$$

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_{-\pi }^{\pi }\left(x^3+x\sin x\right)dx$$

座標平面上で、曲線 $y=e^x$、$x$ 軸、$y$ 軸および直線 $x=1$ で囲まれた部分を $D$ とする。$D$ を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。

曲線 $y=e^x$、$x$ 軸、および 2 直線 $x=0$、$x=1$ で囲まれた部分を、$x$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。

$n$ は正の整数とする。次の極限値を求めよ。
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n\sqrt{n}}\sum _{k=1}^n\sqrt{n+3k}$$

次の極限値を求めよ。ただし、$n$ は正の整数とする。$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+2k}$$

次の極限値を求めよ。ただし、$n$ は正の整数とする。$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{e}^{\frac{k}{n}}$$

曲線 $$y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}(0\leqq x\leqq \log 3)$$ の長さ $L$ を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数、$e$ は自然対数の底とする。

曲線 $$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}(0\leqq x\leqq 8)$$ の長さ $L$ を求めよ。

無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\cdot 4^n}$$
の和を求めよ。

無限級数 $$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\cdot 3^n}$$ の和を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_0^8\frac{dx}{\sqrt[3]{x}}$$
が収束することを確かめ、その値を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_0^3\frac{dx}{\sqrt{3-x}}$$
は収束する。その値を求めよ。

広義積分
$${\int }_0^8\frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}$$
の値を求めよ。

次の累次積分の値を求めよ。$$I={\int }_0^{e-1}\left({\int }_{\log (1+x)}^1\frac{e^{y^2}}{1+x}dy\right)dx$$

平面上の領域 $$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1,y\ge 0\}$$ に対して、重積分 $$I={\iint }_D{e}^{x^2+y^2}dxdy$$ の値を求めよ。

実数全体で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、つねに $y(x)>0$ を満たし、微分方程式
$$\frac{dy}{dx}=(2x+1)y$$
と初期条件 $y(0)=2$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

実数全体で定義された微分可能な関数 $y(x)$ は、すべての実数 $x$ で $y(x)>0$ を満たし、微分方程式
$$\frac{dy}{dx}=y\cos x$$
と初期条件 $y(0)=2$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

実数全体で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、すべての実数 $x$ で $y(x)>0$ を満たし、微分方程式
$$y^{\prime }=\frac{x}{y}$$
と初期条件 $y(0)=2$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

実数全体で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime }-3y=2e^x$$ と初期条件 $y(0)=0$ を満たすとする。$y(x)$ を $x$ の式で表せ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。

実数全体で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime }+2xy=x{e}^{-x^2}$$ と初期条件 $y(0)=1$ を満たすとする。$y(1)$ の値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。

実数全体で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime }+2xy=2x{e}^{-x^2}$$ と初期条件 $y(0)=3$ を満たすとする。$y(1)$ の値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。

$u=u(x,t)$ に対する 1 次元波動方程式の初期値問題
$$u_{tt}=9u_{xx}(x\in \mathbb{R},t>0),$$
$$u(x,0)=x^2,u_t(x,0)=\cos x(x\in \mathbb{R})$$
の $C^2$ 級の解 $u(x,t)$ を求めよ。答えは $x$, $t$ の式で表せ。

$u=u(x,t)$ に対する 1 次元波動方程式の初期値問題
$$u_{tt}=9u_{xx}(x\in \mathbb{R},t>0),$$
$$u(x,0)=x^2,u_t(x,0)=\cos x(x\in \mathbb{R})$$
の $C^2$ 級の解 $u(x,t)$ を、ダランベールの公式を用いて求めよ。答えは $x,t$ の式で表せ。

$u=u(x,t)$ に対する 1 次元波動方程式の初期値問題
$$u_{tt}=9u_{xx}(x\in \mathbb{R},t>0),$$
$$u(x,0)=x^2,u_t(x,0)=\cos x(x\in \mathbb{R})$$
の $C^2$ 級の解 $u(x,t)$ を求めよ。

$(0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関する積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}dx$$
の値を求めよ。ただし、$(0,\infty )\times [1,2]$ 上の関数 $f(x,t)=e^{-tx}$ を考え、フビニ・トネリの定理を用いて積分の順序を交換せよ。

次の累次積分の値を求めよ。$$I={\int }_0^{\infty }\left({\int }_x^{\infty }\frac{e^{-y}}{y}dy\right)dx$$ ここで積分は $\mathbb{R}$ 上のルベーグ測度に関するものとし、値が $+\infty$ になる場合も含めて考える。

曲線 $$y=\frac{x^2}{4}-\frac{1}{2}\log x(1\leqq x\leqq e)$$ の長さ $L$ を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数、$e$ は自然対数の底とする。

座標平面上で、曲線 $y=\frac{1}{x}(x>0)$ と直線 $y=-x+\frac{5}{2}$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

次の定積分の値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。$${\int }_0^{\pi }{e}^x\sin xdx$$

広義積分
$${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^2(x+1)}$$
の値を求めよ。

曲線
$$y=\frac{x^2}{4}-\frac{1}{2}\log x(1\le x\le e)$$
の長さ $L$ を求めよ。

平面上の領域
$$D=\{(x,y)\mid 1\le x^2+y^2\le 4,0\le y\le x\}$$
に対して、重積分
$$I={\iint }_D(x+y)dxdy$$
の値を求めよ。

区間 $-1<x<1$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime }=\frac{1+y^2}{1+x^2}$$ と初期条件 $y(0)=1$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

ルベーグ測度に関する実ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$（内積 $⟨f,g⟩={\int }_0^{1}f(x)g(x)dx$）を考える。実数 $a,b$ を動かすとき、
$${\int }_0^1{\left(\sqrt{x}-a-bx\right)}^{2}dx$$
の最小値を求めよ。

区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度に関する積分
$$I={\int }_0^1\frac{x^2\left(x^2-1\right)}{\log x}dx$$
の値を求めよ。

$x>0$ に対して $$\frac{e^{-x}\sin x}{x}={\int }_1^{\infty }{e}^{-tx}\sin xdt$$ が成り立つことを用いて、ルベーグ積分 $$I={\int }_0^{\infty }\frac{e^{-x}\sin x}{x}dx$$ の値を求めよ（積分は $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関するもの）。

上半平面 $H=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:y>0\}$ におけるラプラス方程式のディリクレ問題
$$u_{xx}+u_{yy}=0((x,y)\in H),u(x,0)=g(x)=\{\begin{array}{ll}1& (|x|<1)\\ 0& (|x|>1)\end{array}$$
を考える。$u$ は $H$ で有界な調和関数で、$x\ne \pm 1$ である境界点 $(x,0)$ において連続に境界値 $g(x)$ をとるものとする（このような解はただ 1 つである）。$H$ のディリクレ境界条件に対するグリーン関数（鏡像法で得られるもの）から導かれるポアソン核を用いて、$u(1,1)$ の値を求めよ。

区間 $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関する積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{\arctan (3x)-\arctan x}{x}dx$$
の値を求めよ。ただし $\arctan$ は値域を $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ とする逆正接関数とする。

インパルス応答が
$$h(t)=e^{-2t}u(t)$$
で与えられる連続時間の線形時不変系がある。ここで $t$ は時刻（単位は s）、$u(t)$ は単位ステップ関数（$t\ge 0$ で $1$、$t<0$ で $0$）である。この系に、幅 $1\text{s}$ の矩形パルス
$$x(t)=u(t)-u(t-1)$$
を入力したとき（$t<0$ では系は静止しているとする）、時刻 $t=2$ における出力 $y(2)$ を正確な値で求めよ。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=e^x$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx),a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n\ge 0),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n\ge 1)$$
とする。これらの係数を計算し、パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n^2+b_n^2)$$
を用いて、無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2+1}$$
の値を求めよ。答えは $\pi$ と $e^{2\pi }$ を用いた式で表せ（双曲線関数は用いないこと）。

実数全体で定義された関数 $f(x)$, $g(x)$ を
$$f(x)=e^{-|x|},g(x)=\{\begin{array}{ll}1& (|x|\leqq 1)\\ 0& (|x|>1)\end{array}$$
で定め、その畳み込みを
$$h(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
とする。関数 $u(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{u}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定めるとき、$\hat{h}(1)$ の値を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。伊藤積分
$$X={\int }_0^1{e}^{W_t}d{W}_t$$
を考える。このとき、期待値
$$E\left[(X+W_1{)}^2\right]$$
を求めよ。

実数 $x$ に対して $f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ とおき、$a$ を正の実数とする。曲線 $y=f(x)$ $(0\le x\le a)$ の長さを $L$、この曲線と $x$ 軸および 2 直線 $x=0$, $x=a$ で囲まれた部分の面積を $S$ とする。$L=S$ であり、その共通の値が $\frac{e^a-e^{-a}}{2}$ であることを証明せよ。ただし、$C^1$ 級関数 $g$ のグラフ $y=g(x)$ $(\alpha \le x\le \beta )$ の長さが ${\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{1+g^{\prime }(x{)}^2}dx$ で与えられることは用いてよい。

$\lambda$ を $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度とし、$f\in L^1((0,\infty ),\lambda )$（実数値）とする。$x>0$ に対して
$$F(x)={\int }_0^{\infty }\frac{f(t)}{t}{e}^{-x/t}dt$$
と定める。各 $x>0$ でこの積分が存在し、$F\in L^1((0,\infty ),\lambda )$ であって
$${\int }_0^{\infty }F(x)dx={\int }_0^{\infty }f(t)dt$$
が成り立つことを証明せよ。

なお、$(0,\infty )\times (0,\infty )$ 上の（完備化した）積測度 $\lambda \otimes \lambda$ に対するフビニの定理・トネリの定理は用いてよい。

$M$ を正の実数とし、$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を連続関数で、すべての実数 $t$ に対して $|f(t)|\le M$ を満たすものとする。$y:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ は微分可能な関数で、初期値問題
$$y^{\prime }(t)+2y(t)=f(t)(t\in \mathbb{R}),y(0)=y_0$$
を満たすとする（$y_0$ は実数の定数）。このとき、すべての $t\ge 0$ に対して
$$|y(t)|\le |y_0|e^{-2t}+\frac{M}{2}$$
が成り立つことを証明せよ。

正の整数 $n$ に対して
$$a_n=\sum _{k=1}^n\sqrt{k}-\frac{2}{3}{n}^{3/2}-\frac{1}{2}{n}^{1/2}$$
とおく。数列 $(a_n{)}_{n\ge 1}$ が有限の極限をもつ（ある実数に収束する）ことを証明せよ。

ただし、オイラー・マクローリンの和公式を用いる場合は、使う形を証明の中で導くこと。

実数全体で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$(1+x^2)y^{\prime }+2xy=\frac{1}{1+x^2}$$ と初期条件 $y(0)=1$ を満たすとする。$y(1)$ の値を求めよ。

容量 $200\text{L}$ のタンクがあり、時刻 $t=0$（単位は分）において、食塩 $10\text{kg}$ を含む食塩水 $100\text{L}$ が入っている。時刻 $t=0$ から、濃度 $0.2\text{kg/L}$ の食塩水を毎分 $3\text{L}$ の割合でタンクに注ぎ入れ、同時にタンク内の食塩水を毎分 $2\text{L}$ の割合で排出する。タンク内の食塩水はつねに瞬時に一様に混ざり、濃度は場所によらず一定であるとする。また、食塩水の体積は流入量と流出量だけで決まるものとし、食塩の溶解などによる体積変化は無視する。

時刻 $t$ におけるタンク内の食塩の量を $x(t)\text{kg}$ とし、$x(t)$ は微分可能であるとする。タンクがちょうど満杯になる時刻におけるタンク内の食塩の量は何 kg か。

$\mathbb{R}$ 上の関数 $f,g$ を
$$f(x)=|x|e^{-|x|},g(x)={\chi }_{[0,1]}(x)=\{\begin{array}{ll}1& (0\le x\le 1)\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
で定め、その畳み込みを
$$u(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
とする。$u$ を $\mathbb{R}$ 上の緩増加超関数とみなし、超関数の意味での微分を用いて
$$T={\left(\frac{d^2}{d{x}^2}-1\right)}^{2}u=u^{\prime \prime \prime \prime }-2u^{\prime \prime }+u$$
とおく。急減少関数 $\phi (x)=x{e}^{-x^2}$ に対して $⟨T,\phi ⟩$ の値を求めよ。ただし超関数 $S$ の微分は $⟨S^{\prime },\phi ⟩=-⟨S,{\phi }^{\prime }⟩$ で定め、局所可積分関数 $h$ と同一視される超関数は $⟨h,\phi ⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }h(x)\phi (x)dx$ で作用するものとする。

${\mathbb{R}}^2$ 上のルベーグ測度を ${\lambda }_2$ とする。実数 $t$ に対し、$t$ 以下の最大の整数を $\lfloor t\rfloor$ で表す。集合
$$E=\left\{(x,y)\in (0,1{)}^2|\lfloor \frac{x}{y}\rfloor +\lfloor \frac{y}{x}\rfloor \text{ は }3\text{ の倍数}\right\}$$
の測度 ${\lambda }_2(E)$ を求めよ。

真空中に、中心軸を共有する 2 本の十分に長い導体の管（厚さの無視できる円筒）からなる同軸ケーブルがある。内側の管の半径は $a$、外側の管の半径は $b$ である。両管のあいだは 2 種類の磁性体で満たされている。$a<r<c$ の部分（$r$ は中心軸からの距離）は比透磁率 ${\kappa }_1$ の磁性体、$c<r<b$ の部分は比透磁率 ${\kappa }_2$ の磁性体である（$0<a<c<b$）。どちらの磁性体も一様・等方的・線形で、${\kappa }_1$, ${\kappa }_2$ は正の定数とする。

内側の管に電流 $I$（$I>0$）を中心軸の向きに流し、外側の管で同じ大きさの電流を逆向きに戻す。電流はそれぞれの管の周方向に一様に分布する。真空の透磁率を ${\mu }_0$ とし、ケーブルの端の影響は無視する。

このケーブルの単位長さあたりの自己インダクタンス $L$ を求めよ。ただし $L$ は、中心軸を含む平面上で $a<r<b$、軸方向の長さ $1$ の長方形を貫く磁束を $\Phi$ として、$L=\Phi /I$ で定める。答えは ${\mu }_0$, ${\kappa }_1$, ${\kappa }_2$, $a$, $b$, $c$ を用いて表せ。

真空中に、十分に長い同軸ケーブルがある。内側の導体は半径 $a$ の中実の円柱で、外側の導体は半径 $b$（$b>a>0$）の厚さの無視できる薄い円筒である。2 つの導体は中心軸を共有している。内側の導体には大きさ $I$ の定常電流が中心軸方向に流れ、外側の導体には同じ大きさの電流が逆向きに流れる。内側の導体を流れる電流は断面内に一様に分布し、外側の導体の電流は円筒面上に一様に分布する。導体と導体の間は真空で、導体の透磁率はすべて真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しいものとする。端の効果は無視する。

磁場のエネルギー $W$ と自己インダクタンス $L$ の関係 $W=\frac{1}{2}L{I}^2$ を用いて、このケーブルの単位長さあたりの自己インダクタンス（内側の導体の内部の磁場の寄与を含む）を、${\mu }_0,a,b$ を用いて求めよ。

$x>0$ で定義された曲線
$$C:y=\frac{x^2}{8}-\log x$$
を考える。ただし、$\log$ は自然対数である。$C$ 上で $y$ の値が最小となる点を $\mathrm{P}$、$C$ 上の $x$ 座標が $4$ である点を $\mathrm{Q}$ とする。曲線 $C$ の点 $\mathrm{P}$ から点 $\mathrm{Q}$ までの部分の長さを求めよ。

$0\leqq x<\frac{\pi }{2}$ の範囲において、2 曲線 $y=2\sin x$ と $y=\tan x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\frac{x\sin x}{{\cos }^{3}x}dx$$

次の定積分の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数を表す。$${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\tan }^{3}xdx$$

媒介変数 $t$ を用いて $$x=e^t\cos t,y=e^t\sin t(0\leqq t\leqq \pi )$$ と表される曲線の長さ $L$ を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。

$x>0$ で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=\frac{e^x}{x^2}$$
と初期条件 $y(1)=0$, $y^{\prime }(1)=0$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

区間 $0\leqq x<\frac{\pi }{2}$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$y^{\prime }-y\tan x=2\sin x$$
と初期条件 $y(0)=1$ をみたすとする。$y\left(\frac{\pi }{3}\right)$ の値を求めよ。

体積 $V$ の立方体の箱に、質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$ の互いに相互作用しないフェルミ粒子 $N$ 個が閉じ込められている（3 次元の理想フェルミ気体）。数密度を $n=\frac{N}{V}$ とする。1 粒子のエネルギーは $\epsilon =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$（$k$ は波数ベクトルの大きさ）で、周期的境界条件を課し、$V$ は十分大きく、波数についての和は積分で近似してよい。絶対零度におけるこの気体の圧力 $P=-{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_N$（$U$ は基底状態のエネルギー）を $n$, $m$, $\hslash$ を用いて表せ。

区間 $[0,1]$ の指示関数を $\chi ={\chi }_{[0,1]}$ とし、$\mathbb{R}$ 上の関数 $u$ を $3$ 重の畳み込み
$$u=\chi \ast \chi \ast \chi ,(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
で定める。$u$ を $\mathbb{R}$ 上の超関数とみなし、その超関数の意味での $2$ 階導関数を $T=u^{\prime \prime }$ とする。$T$ はコンパクトな台をもつので、任意の $C^{\infty }$ 級関数 $\phi$ に対して $⟨T,\phi ⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x){\phi }^{\prime \prime }(x)dx$ が定まる。$\phi (x)=e^{2x}$ のとき、$⟨T,\phi ⟩$ の値を求めよ。

$t>0$ で定義された関数 $g(t)=\frac{1-\cos 2t}{t}$ のラプラス変換 $G(s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}g(t)dt$（$s>0$）を、公式
$$\mathcal{L}\left[\frac{f(t)}{t}\right](s)={\int }_s^{\infty }F(u)du(F=\mathcal{L}[f])$$
を用いて求めることにより、定積分
$${\int }_0^{\infty }\frac{e^{-t}(1-\cos 2t)}{t}dt$$
の値を求めよ。

$a$ を正の実数とする。広義積分
$${\int }_0^{\infty }\frac{\log x}{x^2+a^2}dx$$
は収束し、その値が $\frac{\pi \log a}{2a}$ であることを証明せよ。ただし、$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$ であること、および「区間上で $0\le f(x)\le g(x)$ を満たす連続関数 $f,g$ について、$g$ の広義積分が収束すれば $f$ の広義積分も収束する」こと（比較判定法）、「$|f|$ の広義積分が収束すれば $f$ の広義積分も収束する」ことは用いてよい。

次の定積分の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数、$e$ は自然対数の底とする。$${\int }_{-1}^1\frac{\log (1+x^2)}{1+e^x}dx$$

次の定積分の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。$${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{x}{(\sin x+\cos x{)}^2}dx$$

実数全体で定義された可積分な関数 $u(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{u}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i\omega x}dx$$
で定める。2 つの関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& (|x|\leqq 1)\\ 0& (|x|>1)\end{array},g(x)=e^{-|x|}$$
を考え、その畳み込みを
$$h(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
とする。畳み込みのフーリエ変換の公式 $\hat{h}(\omega )=\hat{f}(\omega )\hat{g}(\omega )$ と、パーセバルの等式
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{u}(\omega )\overline{\hat{v}(\omega )}d\omega =2\pi {\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)\overline{v(x)}dx$$
（$u,v$ は適当な可積分・2 乗可積分関数）を用いて、定積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2(1+{\omega }^2)}d\omega$$
の値を求めよ。

$f\in L^1(\mathbb{R})$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$$
で定め、これを $L^2(\mathbb{R})$ 上のフーリエ・プランシュレル変換に拡張する。このとき、$f,g\in L^2(\mathbb{R})$ に対してパーセバルの等式
$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\overline{g(x)}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\xi )\overline{\hat{g}(\xi )}d\xi$$
が成り立つ。

$g(x)=\frac{1}{\cosh x}$ のフーリエ変換 $\hat{g}$ を求め、パーセバルの等式を用いて、広義積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin x}{x\cosh x}dx$$
の値を求めよ。ただし、被積分関数の $x=0$ での値は極限値 $1$ で補うものとする。答えは $\arctan$ と $e$ と $\pi$ を用いた閉じた形で表せ。

定積分
$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{x\cos x}{(1+\sin x{)}^2}dx$$
の値を求めよ。

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\frac{x^2\sin x}{{\cos }^{3}x}dx$$

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin 2x\log (2+\sin x)dx$$ ただし、$\log$ は自然対数を表す。

定積分
$${\int }_0^{1}x\log \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)dx$$
を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

$t$ を正の実数とする。曲線 $C:y=\log x(x>0)$ 上の点 $(t,\log t)$ における $C$ の接線を $\ell$ とする。$C$、$\ell$ および 2 直線 $x=1$、$x=e^2$ で囲まれた部分の面積を $S(t)$ とする。$t$ が正の実数全体を動くとき、$S(t)$ の最小値を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。

$a$ を実数とし、
$$F(a)={\int }_1^e\left|\log x-a\right|dx$$
とおく。ただし、$\log$ は自然対数、$e$ は自然対数の底とする。$a$ が実数全体を動くとき、$F(a)$ の最小値を求めよ。

次の定積分の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数を表す。$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin 2x}{(1+\sin x)(1+\cos x)}dx$$

座標平面上の曲線
$$C:y=\log \frac{e^x+1}{e^x-1}(x>0)$$
を考える。ただし、$\log$ は自然対数とする。曲線 $C$ のうち、$\log 2\leqq y\leqq \log 3$ を満たす部分の長さ $L$ を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{\log x}{(x^2+1)(x^2+4)}dx$$
の値を求めよ。

$t\ge 0$ で 2 回微分可能な関数 $y(t)$ が、変数係数の微分方程式 $$t{y}^{\prime \prime }+2y^{\prime }+ty=0(t\ge 0)$$ と条件 $y(0)=1$ を満たすとする。ただし $y,y^{\prime },y^{\prime \prime }$ はいずれもラプラス変換が存在する（指数位数の）関数とする。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求め、$y\left(\frac{\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。

$x\ge 0$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、つねに $y(x)>0$ を満たし、微分方程式 $$y^{\prime }+\frac{2x}{1+x^2}y=y^3$$ と初期条件 $y(0)=\frac{1}{2}$ を満たすとする。$y(1)$ の値を求めよ。

面積 $A$ の 2 次元の箱に閉じ込められた、スピン $0$、質量 $m$ の理想ボース気体が、温度 $T$ の熱浴と粒子だめに接して熱平衡にある（グランドカノニカル分布）。面密度を $n=\frac{N}{A}$（$N$ は粒子数の平均）とする。1 粒子のエネルギーは $\epsilon =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$（$k$ は波数ベクトルの大きさ）で、周期的境界条件を課し、$A$ は十分大きく、波数についての和は積分で近似してよい。粒子はボース分布
$$f(\epsilon )=\frac{1}{e^{(\epsilon -\mu )/k_{B}T}-1}$$
に従う（$\mu$ は化学ポテンシャル、$k_B$ はボルツマン定数）。このとき $\mu$ を $n$, $m$, $T$, $\hslash$, $k_B$ を用いて表せ。

区間 $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関する積分 $$I={\int }_0^{\infty }{\left(\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}\right)}^{2}dx$$ の値を求めよ。

時刻 $t$（単位は年、$t\ge 0$）における利力（瞬間的な利率）が
$$\delta (t)=\frac{2}{20+t}$$
で与えられる市場を考える。すなわち、時刻 $t$ の金額 $1$ の時刻 $0$ における現価は $v(t)=\exp \left(-{\int }_0^t\delta (s)ds\right)$ である。

この市場で、$0\le t\le 20$ の間、時刻 $t$ において年あたり $t$ 万円の割合で連続的に支払われる年金（時刻 $t$ から $t+dt$ の間に $tdt$ 万円が支払われる）がある。この年金の時刻 $0$ における現価（万円）を求めよ。

宇宙マイクロ波背景放射（CMB）が等方的に見える座標系（CMB 静止系）では、CMB は温度 $T_0$ の等方的な黒体放射であり、そのエネルギー密度は $u_0=a{T}_0^4$（$a$ は放射定数）である。この系に対して一定の速さ $v=\beta c$（$0<\beta <1$、$c$ は光速）で等速直線運動する観測者を考える。観測者の静止系で測った CMB の（全振動数・全方向について積分した）エネルギー密度を $u^{\prime }$ とするとき、比 $u^{\prime }/u_0$ を $\beta$ で表せ。

ただし、放射の比強度 $I_{\nu }$ と振動数 $\nu$ について $I_{\nu }/{\nu }^3$ はローレンツ変換で不変であることを用いてよい。宇宙膨張の効果や重力の効果は考えず、特殊相対論の範囲で扱うものとする。

長さ $L$ のまっすぐな中実の丸軸 $\mathrm{AB}$ がある。この軸の断面は円形で、直径は端 $\mathrm{A}$ で $d$、端 $\mathrm{B}$ で $2d$ であり、そのあいだでは $\mathrm{A}$ からの軸方向の距離に比例して一様に変化する（円錐台形の軸）。軸の材料は一様で、横弾性係数は $G$ である。

軸の両端 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ を、回転できないように剛体の壁に固定した。そのうえで、軸の中点 $\mathrm{M}$（$\mathrm{A}$ から距離 $L/2$ の断面）に、軸のまわりのねじりモーメント $T(>0)$ を加えた。

直径の変化はゆるやかで、各断面で一様な丸軸のねじりの式（ねじりモーメントを $T_x$、断面二次極モーメントを $I_p$ として単位長さあたりのねじれ角が $T_x/(G{I}_p)$）が成り立つものとし、軸の自重は無視する。変形は弾性範囲内とする。端 $\mathrm{A}$ で軸が壁から受けるねじりモーメントの大きさを、$T$ を用いて表せ。

ある因果的で安定な連続時間の線形時不変系に、入力
$$x_1(t)=e^{-3t}u(t)$$
を加えたところ、出力は
$$y_1(t)=\left(e^{-t}-e^{-3t}\right)u(t)$$
であった。ここで $t$ は時刻（単位は s）、$u(t)$ は単位ステップ関数（$t\ge 0$ で $1$、$t<0$ で $0$）であり、入力・出力は無次元の量とする。また $t<0$ では系は静止している（初期状態は $0$）。

同じ系に、幅 $2\text{s}$ の矩形パルス
$$x_2(t)=u(t)-u(t-2)$$
を入力したときの出力を $y_2(t)$ とする。出力のエネルギー
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{y}_2(t{)}^{2}dt$$
の値を、$e$ を用いた正確な値で求めよ。

抵抗 $R=1\text{k}\Omega$ とコンデンサ $C=1\text{mF}$ からなる RC 低域通過回路がある。入力電圧 $v_{\text{in}}(t)$ を R と C の直列接続の両端に加え、C の両端の電圧を出力電圧 $v_{\text{out}}(t)$ とする（出力端には何も接続しない）。$t$ は時刻（単位は s）である。

この回路に、高さ $1\text{V}$、幅 $2\text{s}$ の矩形パルス
$$v_{\text{in}}(t)=u(t)-u(t-2)[\text{V}]$$
を入力する。ここで $u(t)$ は単位ステップ関数（$t\ge 0$ で $1$、$t<0$ で $0$）であり、$t<0$ でコンデンサの電荷は $0$ とする。