平行平板間・環状すき間の圧力駆動流

平行平板間では $μ \frac{d ^{2} u}{d y ^{2}} = - G$ 、同軸の環状すき間では $\frac{μ}{r} \frac{d}{d r} (r \frac{d u}{d r}) = - G$ の一般解 $u = - \frac{G}{4 μ} r^{2} + A lo g r + B$ に滑りなし条件（片側の壁が動く場合を含む）を課して速度分布を決め、流速が最大になる位置や流量を求められる

前提

ハーゲン・ポアズイユ流（大学物理流体力学・連続体）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）

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算数中学高校大学大学院

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基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）

説明

2 枚の平行な板のすき間や、同じ軸をもつ 2 本の円筒にはさまれた環状のすき間を、圧力差に押されて粘性流体がゆっくり（層流で）流れるときの速度分布を求められるようになります。流体の薄い層（または薄い円筒殻）の力のつり合いから微分方程式を立て、2 回積分した一般解に、壁で流体が壁と同じ速さになる条件（滑りなし条件）を課して積分定数を決めます。片側の壁が動いている場合（圧力流とクエット流が重なった流れ）も同じ手順で扱え、流速が最大になる位置や流量が求まります。軸受や油圧機器のすき間からの漏れ量の見積もりなどに使います。

なぜそうしてよいのか

平行平板間: 流れの向きを $x$ 、板に垂直な向きを $y$ とし、圧力が流れの向きに単位長さあたり $G$ だけ下がる（ $G = Δ p / L$ ）とします。流れは $x$ 方向だけで、速さ $u$ は $y$ だけの関数とします。 $y$ と $y + d y$ の間の薄い層（流れ方向の長さ $L$ 、奥行き $W$ ）は加速していないので、 $x$ 方向の力がつり合います。上下の面にはせん断応力 $τ = μ \frac{d u}{d y}$ が働き、上の面では $+ τ (y + d y) L W$ 、下の面では $- τ (y) L W$ 、両端の圧力差による力は $G L \cdot W d y$ です。和を 0 とおいて $d y$ で割ると
$\frac{d τ}{d y} = - G, つまり μ \frac{d ^{2} u}{d y ^{2}} = - G .$
2 回積分すると $u = - \frac{G}{2 μ} y^{2} + C_{1} y + C_{2}$ （ $C_{1}, C_{2}$ は定数）で、2 つの壁での条件から $C_{1}, C_{2}$ が決まります。

環状すき間: ハーゲン・ポアズイユ流と同じく軸方向の流れ $u (r)$ を考えますが、中心の軸を含まないので、半径 $r$ と $r + d r$ の間の薄い円筒殻（長さ $L$ ）のつり合いを使います。外側の面（面積 $2 π (r + d r) L$ ）と内側の面（面積 $2 π r L$ ）のせん断力の差と、圧力差による力 $G L \cdot 2 π r d r$ のつり合いから
$\frac{d}{d r} (r τ) = - G r, つまり \frac{μ}{r} \frac{d}{d r} (r \frac{d u}{d r}) = - G .$
1 回積分して $r \frac{d u}{d r} = - \frac{G}{2 μ} r^{2} + A$ 、 $r (> 0)$ で割ってもう 1 回積分すると
$u = - \frac{G}{4 μ} r^{2} + A lo g r + B .$
円管では $r = 0$ で速さが有限なので $A = 0$ でしたが、環状すき間では $r = 0$ が流体の中にないので $A lo g r$ の項が残り、内壁と外壁の 2 つの条件で $A, B$ を決めます。

片側の壁が動く場合: 壁の上の流体は壁と一緒に動く（滑りなし）ので、動く壁で $u = U$ とおくだけです。方程式は線形なので、結果は「両壁が止まっているときの圧力流」と「圧力差がないときのクエット流 $U \frac{y}{h}$ 」の和になります。

手順

座標をとる。平板なら壁を $y = 0, y = h$ 、環状すき間なら壁を $r = a, r = b$ （ $a < b$ ）とし、圧力勾配 $G = Δ p / L$ の向きを確認する
一般解を書く。平板なら $u = - \frac{G}{2 μ} y^{2} + C_{1} y + C_{2}$ 、環状なら $u = - \frac{G}{4 μ} r^{2} + A lo g r + B$
各壁で滑りなし条件を課す。止まっている壁で $u = 0$ 、速さ $U$ で動く壁で $u = U$ 。この 2 式から定数を決める
流速が最大になる位置は $\frac{d u}{d y} = 0$ （または $\frac{d u}{d r} = 0$ ）を解き、すき間の中にあるか確かめる
流量は、平板なら単位奥行きあたり $q = \int_{0}^{h} u d y$ 、環状なら $Q = \int_{a}^{b} u 2 π r d r$ で求める

例題

間隔 $h$ の 2 枚の平行平板の間を、粘性率 $μ$ の流体が層流で流れている。下の板（ $y = 0$ ）は静止し、上の板（ $y = h$ ）は流れの向きに一定の速さ $U$ で動いている。流れの向きに圧力が単位長さあたり一定の割合 $G (> 0)$ で下がっており、速度分布は $μ \frac{d ^{2} u}{d y ^{2}} = - G$ を満たす。両方の板で滑りなし条件が成り立つとして、板の単位奥行きあたりの流量 $q$ を $G, h, μ, U$ で表せ。

例題の解答

手順 1: 壁は $y = 0$ （静止）と $y = h$ （速さ $U$ ）。

手順 2: 一般解は $u = - \frac{G}{2 μ} y^{2} + C_{1} y + C_{2}$ 。

手順 3: $y = 0$ で $u = 0$ より $C_{2} = 0$ 。 $y = h$ で $u = U$ より $- \frac{G}{2 μ} h^{2} + C_{1} h = U$ 、よって $C_{1} = \frac{G h}{2 μ} + \frac{U}{h}$ 。したがって
$u (y) = \frac{G}{2 μ} y (h - y) + U \frac{y}{h} .$
（第 1 項が圧力による放物線形の流れ、第 2 項がクエット流。）

手順 4: （最大流速の位置は今回は求めないが、 $\frac{d u}{d y} = \frac{G}{2 μ} (h - 2 y) + \frac{U}{h} = 0$ から $y = \frac{h}{2} + \frac{μU}{G h}$ 。これが $h$ 以下のときだけすき間の中に最大がある。）

手順 5:
$q = \int_{0}^{h} {\frac{G}{2 μ} (h y - y^{2}) + \frac{U}{h} y} d y = \frac{G}{2 μ} (\frac{h ^{3}}{2} - \frac{h ^{3}}{3}) + \frac{U}{h} \cdot \frac{h ^{2}}{2} = \frac{G h ^{3}}{12 μ} + \frac{U h}{2} .$

答え: $\frac{G h ^{3}}{12 μ} + \frac{U h}{2}$

よくある誤り

環状すき間でも円管と同じく $A = 0$ として $u = \frac{G}{4 μ} (b^{2} - r^{2})$ としてしまう誤り。この式は内壁 $r = a$ で $u = 0$ を満たさない。正しくは $r = 0$ がすき間の外なので $A lo g r$ を残し、 $u (a) = 0, u (b) = 0$ の 2 式から $A = \frac{G ( b ^{2} - a ^{2} )}{4 μ lo g ( b / a )}$ などと決める
上の板が動くとき、壁での条件を $u (h) = 0$ のままにしてしまう誤り。正しくは滑りなし条件は「壁と同じ速さ」なので $u (h) = U$ 。結果は圧力流とクエット流の和 $u = \frac{G}{2 μ} y (h - y) + U \frac{y}{h}$
流速の最大位置を、壁が動いていてもすき間の中央 $y = \frac{h}{2}$ としてしまう誤り。正しくは $\frac{d u}{d y} = 0$ から $y = \frac{h}{2} + \frac{μU}{G h}$ 。これが $h$ を超えるときは、すき間の中で最大にならず、動く壁 $y = h$ で最大 $U$ になる
平板間の流量の係数を円管の式と混同して $\frac{G h ^{3}}{8 μ}$ などとしてしまう誤り。正しくは両壁静止の平板間で $q = \int_{0}^{h} \frac{G}{2 μ} y (h - y) d y = \frac{G h ^{3}}{12 μ}$ （単位奥行きあたり）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
間隔 $h$ で平行に固定された 2 枚の大きな平板の間を、粘性係数 $μ$ の非圧縮性のニュートン流体が、流れの向き（ $x$ 方向）に一定の圧力勾配 $\frac{d p}{d x} = - G$ （ $G > 0$ は定数）によって定常な層流で流れている。下の板の面を $y = 0$ 、上の板の面を $y = h$ とし、流速 $u$ は $y$ だけの関数で、運動方程式
$μ \frac{d ^{2} u}{d y ^{2}} = - G$
を満たすとする。両方の板の上で流体は滑らないものとし、重力の影響と板の端の効果は無視する。
板の奥行き方向の単位幅あたりの体積流量 $q = \int_{0}^{h} u d y$ を、 $G, h, μ$ を用いて表せ。

平行平板間・環状すき間の圧力駆動流

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題