ハーゲン・ポアズイユ流

円管内の同軸の円柱状の流体要素に働く圧力差と粘性力のつり合いから速度分布 $u (r) = \frac{G}{4 μ} (a^{2} - r^{2})$ （ $G = Δ p / L$ ）を導き、体積流量 $Q = \frac{π a ^{4} Δ p}{8 μL}$ 、平均流速、壁面せん断応力や、半径 $b$ の内側を通る流量の割合を求められる

前提

ニュートンの粘性法則とクエット流（大学物理流体力学・連続体）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）

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算数中学高校大学大学院

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力のモーメントと偶力（高校物理力と運動（知識））
力のモーメント（高校物理力と運動）
ニュートンの粘性法則とクエット流（大学物理流体力学・連続体）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）

説明

細い円管の中を粘性のある流体がゆっくり（層流で）流れるとき、管の断面での速さは中心で最大、壁で 0 の放物線形 $u (r) = \frac{G}{4 μ} (a^{2} - r^{2})$ になります（ $a$ は管の半径、 $G = Δ p / L$ は単位長さあたりの圧力降下、 $μ$ は粘性率）。この速度分布を断面全体で積分すると、流量が半径の 4 乗に比例するハーゲン・ポアズイユの式 $Q = \frac{π a ^{4} Δ p}{8 μL}$ が得られます。注射針・毛細管・細い配管の流量や必要な圧力差、平均流速、壁が受けるせん断応力などを求めるのに使います。

なぜそうしてよいのか

まっすぐな円管（半径 $a$ ）の中で、流れが管の軸方向だけを向き、場所によって形が変わらない（十分に発達した層流）とします。管の軸と同じ中心をもつ、半径 $r$ 、長さ $L$ の円柱状の流体を考えます。この円柱は加速していないので、軸方向の力がつり合っています。

両端の面には圧力差 $Δ p$ による力 $Δ p \cdot π r^{2}$ が流れの向きに働きます。側面（面積 $2 π r L$ ）には、外側の流体から粘性によるせん断応力が働きます。ニュートンの粘性法則で、軸からの距離 $r$ の方向の速度勾配を使うと、側面の単位面積あたりの力は流れの向きに $μ \frac{d u}{d r}$ です（外側ほど遅いので $\frac{d u}{d r} < 0$ 、つまりブレーキとして働く）。つり合いは
$Δ p π r^{2} + μ \frac{d u}{d r} \cdot 2 π r L = 0 ⟹ \frac{d u}{d r} = - \frac{G}{2 μ} r (G = \frac{Δ p}{L}) .$
これを $r$ で積分すると $u = - \frac{G}{4 μ} r^{2} + C$ 。壁で流体は止まる（ $u (a) = 0$ ）ので $C = \frac{G}{4 μ} a^{2}$ となり、 $u (r) = \frac{G}{4 μ} (a^{2} - r^{2})$ が得られます。

流量は、断面を半径 $r$ 、幅 $d r$ の細い輪（面積 $2 π r d r$ ）に分けて、その輪を通る量 $u (r) \cdot 2 π r d r$ を足し合わせたものです。
$Q = \int_{0}^{a} \frac{G}{4 μ} (a^{2} - r^{2}) 2 π r d r = \frac{π G}{2 μ} [\frac{a ^{2} r ^{2}}{2} - \frac{r ^{4}}{4}]_{0}^{a} = \frac{π a ^{4} G}{8 μ} .$
平均流速は $u ˉ = \frac{Q}{π a ^{2}} = \frac{G a ^{2}}{8 μ}$ で、中心の最大流速 $u_{m a x} = \frac{G a ^{2}}{4 μ}$ のちょうど半分です。壁面せん断応力の大きさは $τ_{w} = μ \frac{d u}{d r}_{r = a} = \frac{G a}{2}$ です（管全体の円柱のつり合い $Δ p π a^{2} = τ_{w} \cdot 2 π a L$ からも同じ結果）。

手順

管の半径 $a$ 、長さ $L$ 、圧力差 $Δ p$ 、粘性率 $μ$ を確認し、 $G = \frac{Δ p}{L}$ を求める
速度分布を $u (r) = \frac{G}{4 μ} (a^{2} - r^{2})$ と書く（半径 $r$ の円柱のつり合い $Δ p π r^{2} = - μ \frac{d u}{d r} \cdot 2 π r L$ と $u (a) = 0$ から）
求める範囲（ $0 \leq r \leq a$ 、または $0 \leq r \leq b$ ）で $\int u (r) 2 π r d r$ を計算して流量を求める。管全体では $Q = \frac{π a ^{4} Δ p}{8 μL}$
平均流速 $u ˉ = \frac{Q}{π a ^{2}} = \frac{u _{m a x}}{2}$ 、壁面せん断応力 $τ_{w} = \frac{G a}{2} = \frac{a Δ p}{2 L}$ など、問われた量を求める

例題

半径 $a$ の円管内を、粘性率 $μ$ の流体がハーゲン・ポアズイユ流（速度分布 $u (r) = \frac{G}{4 μ} (a^{2} - r^{2})$ ）で流れている。管の中心から半径 $\frac{a}{2}$ の内側の円を通る流量は、管全体の流量の何倍か。分数で求めよ。

例題の解答

手順 1: $G = \frac{Δ p}{L}$ は一定。答えが比なので $G, μ$ の具体的な値は不要。

手順 2: 速度分布は $u (r) = \frac{G}{4 μ} (a^{2} - r^{2})$ 。

手順 3: 半径 $b$ の内側を通る流量は
$Q_{b} = \int_{0}^{b} \frac{G}{4 μ} (a^{2} - r^{2}) 2 π r d r = \frac{π G}{2 μ} [\frac{a ^{2} r ^{2}}{2} - \frac{r ^{4}}{4}]_{0}^{b} = \frac{π G}{8 μ} b^{2} (2 a^{2} - b^{2}) .$
管全体は $b = a$ として $Q = \frac{π G a ^{4}}{8 μ}$ 。

手順 4: 比は
$\frac{Q _{b}}{Q} = \frac{b ^{2} ( 2 a ^{2} - b ^{2} )}{a ^{4}} .$
$b = \frac{a}{2}$ を代入すると
$\frac{Q _{a /2}}{Q} = \frac{\frac{a ^{2}}{4} ( 2 a ^{2} - \frac{a ^{2}}{4} )}{a ^{4}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{7}{4} = \frac{7}{16} .$
断面積では $\frac{1}{4}$ しかない中心部分を、全流量の $\frac{7}{16}$ が通る（中心ほど速いため）。

答え: $\frac{7}{16}$

よくある誤り

流量を $\int_{0}^{a} u (r) d r$ のように、輪の面積 $2 π r d r$ を使わずに積分してしまう誤り。正しくは $Q = \int_{0}^{a} u (r) 2 π r d r = \frac{π a ^{4} G}{8 μ}$
平均流速を最大流速と同じ、または平板間の流れと同じ $\frac{2}{3} u_{m a x}$ としてしまう誤り。円管では正しくは $u ˉ = \frac{Q}{π a ^{2}} = \frac{G a ^{2}}{8 μ} = \frac{u _{m a x}}{2}$
流量が半径の 2 乗（断面積）に比例するとしてしまう誤り。正しくは $Q \propto a^{4}$ なので、同じ $Δ p / L$ で半径を 2 倍にすると流量は $16$ 倍になる
半径 $r$ の円柱のつり合いで、圧力の力に側面積 $2 π r L$ を、粘性力に断面積 $π r^{2}$ を掛けてしまう誤り。正しくは $Δ p \cdot π r^{2} = τ \cdot 2 π r L$ で、ここから $∣ τ ∣ = \frac{G r}{2}$ （壁で $τ_{w} = \frac{G a}{2}$ ）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
半径 $a$ の水平でまっすぐな円管の中を、粘性係数 $μ$ の非圧縮性のニュートン流体が、管の長さ $L$ あたり一定の圧力差 $Δ p$ によって定常な層流（ハーゲン・ポアズイユ流）で流れている。管の中心軸からの距離を $r$ とすると、流速の分布は
$u (r) = \frac{Δ p}{4 μL} (a^{2} - r^{2}) (0 \leq r \leq a)$
で与えられる。重力の影響はなく、管の入口・出口付近の効果は無視する。
管の断面のうち、中心軸から半径 $\frac{a}{2}$ の円の内側を通る体積流量は、管全体の体積流量の何倍か。既約分数で求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

平行平板間・環状すき間の圧力駆動流（大学物理流体力学・連続体）