流体力学・連続体の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理流体力学・連続体

鉛直な側壁をもつ断面積 $S$ の円筒形の容器の底の中心に、半径 $a$ 、長さ $L$ のまっすぐな細い円管（毛細管）が鉛直下向きに取り付けられている。容器と円管には、密度 $ρ$ 、粘性率 $μ$ の非圧縮性ニュートン流体が満たされている。円管の下端は大気に開いていて、流体はそこから流れ出る。容器の液面と円管の下端の出口での圧力は、どちらも大気圧 $p_{0}$ とする。重力加速度の大きさを $g$ とする。

容器の底（円管の上端）から測った液面の高さを $h$ とし、時刻 $t = 0$ で $h = h_{0} (> 0)$ であった。次を仮定する。
- 円管の中の流れは、各瞬間において管軸に平行な十分に発達した定常層流（ハーゲン・ポアズイユ流）とみなせる（準定常近似）。円管の入口・出口付近の流れの乱れ、流出する流体の運動エネルギー、出口での表面張力は無視する。
- $S ≫ π a^{2}$ であり、容器内の流体の速度は十分に小さく、容器内の圧力は静水圧分布に従う。
- 考える時間の間、円管は常に流体で満たされている。

液面の高さが $h = \frac{h _{0}}{2}$ になる時刻 $t_{1}$ を、 $S, a, L, ρ, μ, g, h_{0}$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

ハーゲン・ポアズイユ流（説明と入口の問題）
静水圧の分布とパスカルの原理（説明と入口の問題）
変数分離形（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（79 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

円管内の流量をハーゲン・ポアズイユの法則で表し、容器の体積の減少率と等しいとおいて、 $h$ についての微分方程式を立てよう。

ヒント 2

鉛直な円管では圧力差だけでなく、管内の流体にはたらく重力も流れを駆動する。流れを駆動する量は $(p_{top} - p_{bot}) + ρ g L = ρ g (h + L)$ であり、流量は $Q = \frac{π a ^{4}}{8 μL} ρ g (h + L)$ となる。

ヒント 3

$S \frac{d h}{d t} = - \frac{π ρ g a ^{4}}{8 μL} (h + L)$ を変数分離すると $lo g \frac{h + L}{h _{0} + L} = - \frac{π ρ g a ^{4}}{8 μL S} t$ が得られる。ここに $h = \frac{h _{0}}{2}$ を代入する。

答えと解説

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\frac{8 μL S}{π ρ g a ^{4}} lo g \frac{2 ( h _{0} + L )}{h _{0} + 2 L}

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解説を読む

1. 円管の上端と下端の圧力

容器内の圧力は静水圧分布に従うので、液面の高さが $h$ のとき、円管の上端（容器の底）での圧力は
$p_{top} = p_{0} + ρ g h$
である。円管の下端の出口の圧力は $p_{bot} = p_{0}$ である。

2. 円管内の流れを駆動する量

鉛直な円管内の層流では、圧力勾配と重力の両方が流体を押し流す。管軸に沿って下向きに $z$ をとると、ハーゲン・ポアズイユ流の流量は、圧力差に重力の寄与 $ρ g L$ を加えた「修正圧力差」
$Δ P = (p_{top} - p_{bot}) + ρ g L = ρ g (h + L)$
で決まる。円管内の流れは十分に発達した定常層流とみなせる（準定常近似）ので、ハーゲン・ポアズイユの法則より体積流量は
$Q = \frac{π a ^{4}}{8 μL} Δ P = \frac{π ρ g a ^{4}}{8 μL} (h + L)$
となる。

3. 液面の変化（質量保存）

流体は非圧縮性で、円管は常に流体で満たされているので、円管から流れ出た体積だけ容器内の体積が減る。よって
$S \frac{d h}{d t} = - Q = - \frac{π ρ g a ^{4}}{8 μL} (h + L)$
である。 $k = \frac{π ρ g a ^{4}}{8 μL S}$ とおくと
$\frac{d h}{h + L} = - k d t .$

4. 積分

$t = 0$ で $h = h_{0}$ として積分すると
$lo g \frac{h + L}{h _{0} + L} = - k t ⟺ h + L = (h_{0} + L) e^{- k t} .$
$h = \frac{h _{0}}{2}$ となる時刻 $t_{1}$ は
$t_{1} = \frac{1}{k} lo g \frac{h _{0} + L}{\frac{h _{0}}{2} + L} = \frac{1}{k} lo g \frac{2 ( h _{0} + L )}{h _{0} + 2 L} .$
したがって
$t_{1} = \frac{8 μL S}{π ρ g a ^{4}} lo g \frac{2 ( h _{0} + L )}{h _{0} + 2 L} .$

（確認： $L \to 0$ の極限では対数の中身は $2$ に近づき、 $\frac{2 ( h _{0} + L )}{h _{0} + 2 L} > 1$ なので $t_{1} > 0$ である。）

別解

円管の上端の圧力は静水圧より $p_{0} + ρ g h$ 、下端の圧力は $p_{0}$ である。管内の流れ（ハーゲン・ポアズイユ流）の力のつり合いは、圧力差と管内流体の重さの和が粘性抵抗とつり合うことで表され、
$\frac{8 μL}{π a ^{4}} Q = ρ g h + ρ g L$
となる。したがって体積流量は
$Q = \frac{π a ^{4} ρ g ( h + L )}{8 μL}$
である。

液面の降下と流出の体積保存より $S \frac{d h}{d t} = - Q$ なので、
$\frac{d h}{d t} = - k (h + L)$ 、ただし $k = \frac{π a ^{4} ρ g}{8 μL S}$
となる。

変数分離して $t = 0$ （ $h = h_{0}$ ）から $t$ （ $h$ ）まで積分すると、
$ln \frac{h _{0} + L}{h + L} = k t$
を得る。

$h = h_{0} /2$ とおくと、
$t_{1} = \frac{8 μL S}{π a ^{4} ρ g} ln \frac{h _{0} + L}{h _{0} /2 + L} = \frac{8 μL S}{π a ^{4} ρ g} ln \frac{2 ( h _{0} + L )}{h _{0} + 2 L}$
である。

検算： $L \to \infty$ では $ln \to ln 1 = 0$ となる。これは $h$ の変化が管内の水頭 $h + L$ にほとんど影響しないため、流量がほぼ一定になることと整合する。また $L ≪ h_{0}$ では $ln 2$ に近づき、 $h$ に比例する流出、すなわち指数減衰の半減期 $ln 2/ k$ と一致する。

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