流体力学・連続体

上面が大気に開いた容器に、密度 ${\rho }_2=1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ の水を深さ $1.0\mathrm{m}$ まで入れ、その上に水と混ざらない密度 ${\rho }_1=8.0\times 10^{2}kg/{\mathrm{m}}^3$ の油を厚さ $0.50\mathrm{m}$ だけ静かに重ねた。油と水はどちらも静止しており、非圧縮性とみなす。油の上面にはたらく大気圧を $p_0$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

容器の底面での圧力 $p$ と大気圧 $p_0$ の差 $p-p_0$ は何 Pa か。整数で求めよ。

断面積 $A=0.50{\mathrm{m}}^2$ の直円柱形の水槽が鉛直に置かれ、上面は大気に開いている。はじめ水深は $H=1.8\mathrm{m}$ で、時刻 $t=0$ に底面にある断面積 $a=5.0\times 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$ の小孔を開いて水を大気中に流出させる。水深が $h$ のときの小孔からの流出速度はトリチェリの定理 $v=\sqrt{2gh}$ で与えられるとし（準定常近似）、流出する噴流の断面積は小孔の断面積 $a$ に等しいとする。重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とし、水の粘性と縮流は無視する。

水槽が空になるまでの時間は何 s か。根号を含む正確な値で求めよ。

水平に固定された大きな平板の上に、厚さ $h=1.5\mathrm{mm}$ の油の層をはさんで、面積 $S=0.20{\mathrm{m}}^2$ の薄い平板を置く。油は上の板の下面だけに接している。上の板を水平方向に一定の速さ $U=0.50m/s$ で動かし続ける。油の粘性係数を $\mu =0.30\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$ とし、油はニュートン流体で、板に接する油は板と同じ速度で動く（すべりなし条件）とする。油の流れは定常で、圧力勾配はなく、油の速度分布は直線的（クエット流）であるとする。板の端の効果は無視し、上の板にはたらく水平方向の抵抗は油の粘性力だけとする（空気抵抗などは考えない）。

上の板を動かし続けるのに必要な水平方向の力の大きさは何 N か。整数で求めよ。

落球式粘度計で液体の粘性率を測定する。半径 $a=1.0\mathrm{mm}$、密度 ${\rho }_{\mathrm{s}}=7.80\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ の鋼球を、密度 ${\rho }_{\mathrm{f}}=1.26\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ の静止した液体中で静かに落とすと、鋼球はすぐに一定の速さになり、その後 $0.120\mathrm{m}$ の距離を $10.0\mathrm{s}$ で落下した。鋼球が液体から受ける抵抗力はストークスの抵抗則 $F=6\pi \mu av$（$\mu$ は液体の粘性率、$v$ は球の速さ）に従うものとし、容器の壁の影響は無視する。重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

この液体の粘性率 $\mu$ は何 $\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

水面をもつ流れの中に置かれた物体が受ける抵抗 $R$ は、物体の代表長さ $L$、流れの速さ $V$、流体の密度 $\rho$、動粘性率 $\nu$、重力加速度の大きさ $g$ だけで決まるとする。バッキンガムの $\Pi$ 定理を使うと、この関係は
$$\frac{R}{\rho V^2{L}^2}=f\left(\frac{VL}{\nu },\frac{V}{\sqrt{gL}}\right)$$
のように、3 つの無次元数の関係に書き直せる。

実物と幾何学的に相似で、長さが実物の $\frac{1}{4}$ の模型を作り、重力加速度 $g$ が同じ地上で実験する。レイノルズ数 $\frac{VL}{\nu }$ とフルード数 $\frac{V}{\sqrt{gL}}$ の両方を実物と一致させるには、模型実験に使う流体の動粘性率 ${\nu }_m$ を実物の流体の動粘性率 ${\nu }_p$ の何倍にすればよいか。比 $\frac{{\nu }_m}{{\nu }_p}$ を既約分数で求めよ。

縦弾性係数（ヤング率）$E=70\mathrm{GPa}$、ポアソン比 $\nu =\frac{1}{3}$ の均質・等方な線形弾性体でできた、体積 $V=1000\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$ の金属ブロックがある。このブロックを液体中に沈め、表面全体に一様な静水圧 $p=140\mathrm{MPa}$ を加えた。体積弾性率は $K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$ で与えられ、変形は微小で弾性範囲内にあるものとし、温度は変わらないとする。

ブロックの体積の減少量は何 $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$ か。整数で求めよ。

長さ $L=100\mathrm{m}$ の一様な断面をもつ鋼の棒（線材）の上端を天井に固定し、鉛直につり下げた。棒の下端には何もつけず、棒は自重だけで静止している。鋼の密度を $\rho =7.8\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、縦弾性係数を $E=2.0\times 10^{11}\mathrm{Pa}$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。変形は微小で弾性範囲内にあり、各断面の応力は断面内で一様な単軸応力とみなす。

自重による棒全体の伸びは何 mm か。有効数字 2 桁で求めよ。

静止した水をためた水槽の鉛直な壁に、幅 $b=2.0\mathrm{m}$、高さ $a=3.0\mathrm{m}$ の長方形の水門がある。水門の上端は水平で、水面から深さ $1.0\mathrm{m}$ の位置にあり、下端は深さ $4.0\mathrm{m}$ の位置にある。水門の反対側は大気に接しており、水面にも大気圧がはたらいている。水の密度を $\rho$、重力加速度の大きさを $g$ とし、水は非圧縮性とみなす。図心を通る水平軸のまわりの長方形の断面二次モーメントは $I_G=\frac{b{a}^3}{12}$ である。

水が水門に及ぼす正味の全圧力（大気圧の寄与を除いた力）の作用点、すなわち圧力中心の水面からの深さ $h_P$ は何 m か。小数で求めよ。

底面が水平な正方形（一辺 $0.40\mathrm{m}$）で、高さが $H=25\mathrm{cm}$ の直方体の木材がある。木材は均質で、密度は ${\rho }_{\mathrm{s}}=6.0\times 10^{2}kg/{\mathrm{m}}^3$ である。この木材を、底面を水平に保ったまま密度 ${\rho }_{\mathrm{f}}=1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$ の静止した水に浮かべたところ、そのまま静止した。重力加速度の大きさを $g$ とし、水面と木材の上面にはたらく大気圧は等しいものとする。

木材の喫水（水面から木材の底面までの深さ）は何 cm か。整数で求めよ。

半径 $a$ の水平でまっすぐな円管の中を、粘性係数 $\mu$ の非圧縮性のニュートン流体が、管の長さ $L$ あたり一定の圧力差 $\Delta p$ によって定常な層流（ハーゲン・ポアズイユ流）で流れている。管の中心軸からの距離を $r$ とすると、流速の分布は
$$u(r)=\frac{\Delta p}{4\mu L}\left(a^2-r^2\right)(0\le r\le a)$$
で与えられる。重力の影響はなく、管の入口・出口付近の効果は無視する。

管の断面のうち、中心軸から半径 $\frac{a}{2}$ の円の内側を通る体積流量は、管全体の体積流量の何倍か。既約分数で求めよ。

長さ $l=20\mathrm{m}$、幅 $B=6.0\mathrm{m}$ の直方体の箱形はしけが、静水に底面を水平にして浮かんでおり、喫水（水面から底面までの深さ）は $d=1.0\mathrm{m}$ である。積み荷を含めたはしけ全体の重心 G は、幅と長さの中央で、底面から高さ $1.5\mathrm{m}$ の位置にある。はしけが長さ方向の軸のまわりにわずかに傾く（横揺れする）場合を考える。喫水面（水面で切ったはしけの断面）の、長さ方向の中心軸のまわりの断面二次モーメントは $I=\frac{l{B}^3}{12}$ である。

この横揺れに対するメタセンタ高さ $\overline{\mathrm{GM}}$ は何 m か。整数で求めよ。

間隔 $h$ で平行に固定された 2 枚の大きな平板の間を、粘性係数 $\mu$ の非圧縮性のニュートン流体が、流れの向き（$x$ 方向）に一定の圧力勾配 $\frac{dp}{dx}=-G$（$G>0$ は定数）によって定常な層流で流れている。下の板の面を $y=0$、上の板の面を $y=h$ とし、流速 $u$ は $y$ だけの関数で、運動方程式
$$\mu \frac{d^{2}u}{d{y}^2}=-G$$
を満たすとする。両方の板の上で流体は滑らないものとし、重力の影響と板の端の効果は無視する。

板の奥行き方向の単位幅あたりの体積流量 $q={\int }_0^{h}udy$ を、$G,h,\mu$ を用いて表せ。

ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできた直方体がある。直方体の各辺を $x,y,z$ 軸に平行にとる。

直方体の $x$ 軸に垂直な 2 つの面を、互いに平行に固定された 2 枚の剛体の壁に接触させる。壁と直方体の間に摩擦はなく、壁は直方体の $x$ 方向の伸び縮みを完全に妨げる（$x$ 方向のひずみが $0$）。この状態で、$z$ 軸に垂直な 2 つの面に一様な圧縮応力 $p(>0)$ を加える。$y$ 軸に垂直な 2 つの面には何も力を加えない（自由表面）。直方体の内部の応力とひずみは一様で、変形は微小であり、重力は無視できるとする。

変形前の体積を $V$、変形による体積の変化を $\Delta V$ とするとき、体積ひずみ $\frac{\Delta V}{V}$ をひずみの 1 次の近似で $E,\nu ,p$ を用いて表せ（体積が増えるときを正とする）。

密度 $\rho$ の静止した水をためた貯水槽の鉛直な側壁に、幅 $w$、高さ $h$ の長方形の水門がはめ込まれている。水門の上端と下端は水平で、上端は水面から深さ $d(>0)$ の位置にある。水門の片側は水に接し、反対側は大気に接している。

水は非圧縮性で静止しており、重力加速度の大きさを $g$ とする。水面と水門の外側には同じ大気圧がはたらいている。水門が水から受ける力と大気から受ける力の合力の大きさ $F$ を、$\rho ,g,w,h,d$ を用いて表せ。

落球式粘度計で、ある液体の粘性率 $\mu$ を測定する。密度 ${\rho }_{\mathrm{s}}$、半径 $a$ の小さな鋼球を、密度 ${\rho }_{\mathrm{f}}(<{\rho }_{\mathrm{s}})$ の静止した液体中で静かに放すと、鋼球はすぐに終端速度に達し、その後は一定の速さで鉛直に落下した。終端速度に達したあと、鋼球が距離 $d$ を落下するのにかかった時間は $t$ であった。

鋼球が液体から受ける抵抗力はストークスの抵抗則 $F=6\pi \mu av$（$v$ は鋼球の速さ）にしたがうものとし（レイノルズ数は十分小さい）、容器の壁の影響は無視する。重力加速度の大きさを $g$ とする。液体の粘性率 $\mu$ を、${\rho }_{\mathrm{s}},{\rho }_{\mathrm{f}},a,g,d,t$ を用いて表せ。

ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできた、直径 $D$ の一様な円柱形の棒がある。この棒の両端に、軸方向に大きさ $F(>0)$ の引張力を加えた。

引張応力は棒の断面内で一様に分布し、棒の側面には力がはたらかないものとする。また、ひずみは十分小さく、応力は変形前の断面積で計算してよい。引張によって棒の直径が減少する量 $\delta (>0)$ を、$F,D,E,\nu$ を用いて表せ。

無重力の宇宙船内に浮かぶ球形の液滴は、表面張力を復元力として形がわずかに振動する。この微小振動の振動数 $f$ は、液体の表面張力 $\sigma$（単位 $N/m$）、液体の密度 $\rho$（単位 $kg/{\mathrm{m}}^3$）、液滴の半径 $R$（単位 $\mathrm{m}$）だけで決まり、
$$f=C{\sigma }^{\alpha }{\rho }^{\beta }{R}^{\gamma }$$
の形に書けるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数、$\alpha ,\beta ,\gamma$ は実数の定数である。重力・空気の影響・液体の粘性は無視する。

同じ液体（$\sigma ,\rho$ が同じ）でできた、半径 $R$ の液滴 A と半径 $2R$ の液滴 B が、同じ形の振動（同じ $C$）をしている。液滴 B の振動数は液滴 A の振動数の何倍か。根号を用いた正確な値で求めよ。

一様な静止した空気（密度 $\rho$）の中の 1 点で、エネルギー $E$ が瞬間的に放出されて強い球面衝撃波が広がる。放出から時刻 $t$ における衝撃波面の半径 $R$ は、$E,\rho ,t$ だけで決まり、
$$R=C{E}^{\alpha }{\rho }^{\beta }{t}^{\gamma }$$
の形に書けるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数、$\alpha ,\beta ,\gamma$ は実数の定数である。（空気のはじめの圧力、重力などの影響は無視する。）

次元解析により、指数 $\gamma$ の値を求めよ。

直径 $d$ の円形断面をもつまっすぐな針金がある。針金はヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできている。針金の両端を軸方向に大きさ $F(>0)$ の力で引っ張ったところ、針金は軸方向に伸び、直径はわずかに減少した。

針金の内部では、軸方向に一様な引張応力だけがはたらき、側面は自由（側面に垂直な方向の応力は 0）とする。ひずみは十分小さく、応力は変形前の断面積で計算してよい。針金の重さは無視する。

直径の減少量（正の量）を、$F,d,E,\nu$ を用いて表せ。

密度 $\rho$ の静止した流体の中を、半径 $a$ の球が一定の速さ $v$ で動いている。レイノルズ数が十分に大きく、球が流体から受ける抵抗力の大きさ $F$ は流体の粘性率によらず、$\rho$, $v$, $a$ だけで決まって
$$F=C{\rho }^{\alpha }{v}^{\beta }{a}^{\gamma }$$
と表されるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数で、$\alpha ,\beta ,\gamma$ は実数の定数である。

同じ流体の中で、球の半径を $3$ 倍、速さを $2$ 倍にすると、抵抗力の大きさは何倍になるか。ただし、この変更の後もレイノルズ数は十分に大きく、上の関係式（同じ $C$）がそのまま成り立つものとする。

鉛直な側壁をもつ断面積 $S$ の円筒形の容器の底の中心に、半径 $a$、長さ $L$ のまっすぐな細い円管（毛細管）が鉛直下向きに取り付けられている。容器と円管には、密度 $\rho$、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が満たされている。円管の下端は大気に開いていて、流体はそこから流れ出る。容器の液面と円管の下端の出口での圧力は、どちらも大気圧 $p_0$ とする。重力加速度の大きさを $g$ とする。

容器の底（円管の上端）から測った液面の高さを $h$ とし、時刻 $t=0$ で $h=h_0(>0)$ であった。次を仮定する。
- 円管の中の流れは、各瞬間において管軸に平行な十分に発達した定常層流（ハーゲン・ポアズイユ流）とみなせる（準定常近似）。円管の入口・出口付近の流れの乱れ、流出する流体の運動エネルギー、出口での表面張力は無視する。
- $S\gg \pi a^2$ であり、容器内の流体の速度は十分に小さく、容器内の圧力は静水圧分布に従う。
- 考える時間の間、円管は常に流体で満たされている。

液面の高さが $h=\frac{h_0}{2}$ になる時刻 $t_1$ を、$S,a,L,\rho ,\mu ,g,h_0$ を用いて表せ。

一様な密度 $\rho$ の静止した空気中の 1 点で、時刻 $t=0$ に大きさ $E$ のエネルギーが瞬間的に放出され、球面状の強い衝撃波が広がっていく。周囲の空気の圧力の影響は無視でき、空気の比熱比は一定とする。このとき、時刻 $t(>0)$ における衝撃波の半径 $R$ は $E$, $\rho$, $t$ だけで決まり、
$$R=C{E}^a{\rho }^b{t}^c$$
の形に書けるとする。ここで $C$ は正の無次元定数（比熱比によって決まる）、$a$, $b$, $c$ は実数の定数である。

次元解析により $a$, $b$, $c$ を決めたうえで、衝撃波の半径がちょうど $R$ になった瞬間の衝撃波面の広がる速さ $U=\frac{dR}{dt}$ を、$C$, $E$, $\rho$, $R$ を用いて表せ。

十分に長いまっすぐな円管（半径 $a$）の中を、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が定常な層流として流れている。管の単位長さあたりの圧力降下を $G$（単位 $Pa/m$）とする。単位時間に管の断面を通過する流体の体積（体積流量）$Q$ は $G,\mu ,a$ だけで決まり、
$$Q=C{G}^{\alpha }{\mu }^{\beta }{a}^{\gamma }$$
と表されるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数で、管や流体によらない。

いま、ある管と流体の組（状態 A）で流量が $Q_{\mathrm{A}}$ であった。管の半径を $\frac{3}{2}$ 倍にし、流体を粘性率が $3$ 倍の別の流体に取り替え、単位長さあたりの圧力降下 $G$ は同じに保った（状態 B）。状態 B の流量を $Q_{\mathrm{B}}$ とするとき、比 $\frac{Q_{\mathrm{B}}}{Q_{\mathrm{A}}}$ を既約分数で求めよ。

半径 $a$、長さ $L$ のまっすぐな円管の中を、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が、管の両端の圧力差 $\Delta p(>0)$ によって定常に流れている。流れは管軸に平行な層流（ハーゲン・ポアズイユ流）で、管の入口・出口付近の影響と重力は無視でき、管壁では流速が $0$（滑りなし条件）とする。

管軸からの距離が $b(0<b<a)$ 以下の部分（管と同軸の半径 $b$ の円の内側）を通る体積流量が、管全体の体積流量のちょうど半分になるとき、$b$ を $a$ を用いて表せ。

ノズルから噴き出した細い円柱状の液体の噴流は、表面張力のはたらきで途中からくびれて液滴に分裂する。粘性と重力の影響が無視できるとき、噴流に生じた小さなくびれが成長して分裂に至るまでの特徴的な時間 $\tau$ は、液体の密度 $\rho$、表面張力係数 $\sigma$、噴流の半径 $R$ の 3 つの量だけで決まり、
$$\tau =C{\rho }^{\alpha }{\sigma }^{\beta }{R}^{\gamma }$$
（$C$ は次元をもたない定数、$\alpha ,\beta ,\gamma$ は実数の定数）と書けるものとする。

同じ液体を用い、噴流の半径だけを $2$ 倍にしたとき、$\tau$ は何倍になるか。正確な値（根号を含む形）で求めよ。ただし、$C$ は半径によらないものとする。

密度 $\rho$、ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできた、長さ $L$、断面積 $A$ の一様な細長い棒がある。この棒の上端を天井に固定し、鉛直につり下げたところ、棒は自身の重さだけによって静かに伸びた。重力加速度の大きさを $g$ とする。

棒の各断面では鉛直方向の引張応力が断面内で一様に分布し、横方向（水平方向）の応力は $0$ とみなせるものとする。また、ひずみは十分小さく、応力は変形前の寸法で計算してよい（微小変形）。

つり下げたことによる棒の体積の変化 $\Delta V$ と、つり下げる前の体積 $V=AL$ の比 $\frac{\Delta V}{V}$ を、$\rho ,g,L,E,\nu$ を用いて表せ。

断面が一辺 $b$ の正方形で、長さ $L(\gg b)$ の一様な角柱が、密度 ${\rho }_0$ の静止した水に、長さ方向を水平にし、正方形断面の 1 辺が水面と平行になる姿勢（底面が水平）で浮かんでいる。角柱の密度は $\rho =s{\rho }_0$（$0<s<\frac{1}{2}$）である。

角柱を長さ方向の軸のまわりにわずかに傾けたとき（微小な横揺れ）、この姿勢がもとに戻る向きの復元モーメントを受ける（安定である）ための条件は、メタセンタ高さ $\overline{\mathrm{GM}}=\overline{\mathrm{BM}}-\overline{\mathrm{BG}}$ が正であることである。ここで G は角柱の重心、B は浮心（水面下の部分の図心）、M はメタセンタで、$\overline{\mathrm{BM}}=\frac{I}{V}$（$I$ は喫水面（水面で切った角柱の断面）の、長さ方向の中心線のまわりの断面二次モーメント、$V$ は水面下の部分の体積）である。

この姿勢が安定であるような $s$ の範囲は $0<s<s_{\mathrm{c}}$ と表される。$s_{\mathrm{c}}$ を正確な値（根号を含む形）で求めよ。ただし、水は静止しており、端の効果は無視する。

水平面と角 $\theta (0<\theta <\frac{\pi }{2})$ をなす十分に広い平らな斜面の上を、密度 $\rho$、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が、一定の厚さ $h$ の薄い液膜となって斜面に沿って定常に流れ下っている。

斜面に沿って下向きに $x$ 軸、斜面に垂直に上向きに $y$ 軸をとり（斜面上で $y=0$、液膜の自由表面で $y=h$）、流れは $x$ 方向の層流で、流速 $u(y)$ は $y$ だけの関数であるとする。斜面上では滑りなし条件 $u(0)=0$ が成り立ち、自由表面では空気から受けるせん断応力は $0$（${\frac{du}{dy}|}_{y=h}=0$）、圧力は一様な大気圧であるとする。重力加速度の大きさを $g$ とする。

液膜の、流れに垂直な単位幅あたりの体積流量 $q$ を、$\rho ,\mu ,g,h,\theta$ を用いて表せ。

長さ $L$、一様な断面積 $A$ のまっすぐな棒が、上端を天井に固定されて鉛直につり下げられ、自身の重さだけで静止している。棒は密度 $\rho$、ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできている。重力加速度の大きさを $g$ とする。

棒の各断面には、その断面より下の部分の重さによる一様な鉛直方向の引張応力だけがはたらき、側面は自由（側面に垂直な方向の応力は 0）とする。ひずみは十分小さく、応力は変形前の断面積 $A$ と変形前の長さで計算してよく、ひずみの 2 次以上の項は無視する。

自重による棒全体の体積の増加量 $\Delta V$ を、変形前の体積 $V=AL$ で割った値 $\frac{\Delta V}{V}$ を、$\rho ,g,L,E,\nu$ を用いて表せ。

貯水槽の鉛直な壁に、幅 $w$、高さ $H$ の長方形の水門がある。水門の上辺は水平で、水面から深さ $d(>0)$ の位置にあり、上辺に沿った水平な軸（ちょうつがい）のまわりに自由に回転できる。水門の反対側（外側）は大気に接している。水門の下辺の位置に、外側から水平に大きさ $F$ の力を加えて、水門が鉛直のまま閉じた状態を保っている。

水は密度 $\rho$ の静止した非圧縮性流体とし、水面は大気に接している。重力加速度の大きさを $g$ とする。水門の質量、ちょうつがいの摩擦、水門の厚さは無視し、水門の下辺には $F$ 以外の力（壁から受ける力など）ははたらかないとする。

$F$ を $\rho ,g,w,H,d$ を用いて表せ。

間隔 $h(h>0)$ で平行に置かれた 2 枚の無限に広い平板の間を、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が満たしている。平板に平行に $x$ 軸、平板に垂直に $y$ 軸をとり、下の平板を $y=0$、上の平板を $y=h$ とする。下の平板は静止しており、上の平板は $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $U(U>0)$ で動いている。

流れは $x$ 方向の定常な層流で、流速は $u(y)$ のように $y$ だけの関数であり、平板の表面では流体は平板と同じ速度をもつ（すべりなし条件）。流体中の圧力 $p$ は $x$ だけの関数で、圧力勾配 $\frac{dp}{dx}$ は一定である。重力の影響は無視する。

平板の間を流れる流体の、$z$ 方向（$x$, $y$ の両方に垂直な方向）の単位幅あたりの正味の体積流量が $0$ になるとき、圧力勾配 $\frac{dp}{dx}$ を $\mu$, $U$, $h$ を用いて表せ。

両端を閉じた薄肉の円筒形容器がある。円筒部分の肉厚の中心での半径は $a$、肉厚は $t(t\ll a)$、円筒部分の長さは $L$ である。円筒の壁は、ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできている。容器の内容積は $V=\pi a^{2}L$ とみなす。

はじめ、容器は大気圧（ゲージ圧 $0$）の液体ですき間なく満たされている（気泡はない）。この容器に同じ液体をポンプで押し込み、容器内のゲージ圧を $p(>0)$ にする。液体の体積弾性率は $K$ であり、圧力変化 $\Delta P$ に対して体積は $\Delta V/V=-\Delta P/K$ にしたがって変化する。容器の外側は常に大気圧である。

次の近似を用いる。
- 薄肉近似：壁の中の半径方向の応力は、周方向・軸方向の応力に比べて無視し、周方向・軸方向の応力は肉厚方向に一様とする。
- 両端のふた（端板）自身の変形は無視する。ただし、円筒部分の軸方向の伸びによる容積変化は考える。
- 変形は微小で、$p$ について 1 次の量までを考える。温度は一定とする。

ゲージ圧を $0$ から $p$ にするために押し込む必要のある液体の体積を、大気圧（ゲージ圧 $0$）のもとで測った値として、$a,t,L,p,E,\nu ,K$ を用いて求めよ。

鉛直に置かれた、断面積 $S$ の一様な円筒形の容器がある。容器の上部は大気に開いている。容器の底には面積 $a$ の小さな穴があいていて、水はそこから大気中へ流れ出る。時刻 $t=0$ に容器が空の状態から、上から一定の体積流量 $Q(>0)$ で水を注ぎ始めた。

水位（底から水面までの高さ）を $h$ とする。十分に時間がたつと、水位は一定の値 $h_{\infty }$ に近づく。水位が $\frac{h_{\infty }}{4}$ に達する時刻を、$S,Q,a,g$ を用いて表せ。

ただし、次のように仮定する。
- 水は非圧縮性で粘性を無視できる完全流体とし、重力加速度の大きさを $g$ とする。
- $a\ll S$ であり、水面の降下・上昇の速さは穴から流れ出る水の速さに比べて無視できる。
- 各時刻で流れは定常とみなせ（準定常近似）、水面と穴の出口の圧力はどちらも大気圧に等しい。
- 注がれる水が水面を乱す影響と、穴の出口での縮流は無視する。

半径 $b$ の長い円管の中心軸に沿って、半径 $a(0<a<b)$ の円柱が同軸に固定されている。円管と円柱の間の環状のすき間（$a<r<b$、$r$ は中心軸からの距離）を、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が、軸方向の一定の圧力勾配 $-\frac{dp}{dz}=G(>0)$ によって定常に流れている。

流れは軸方向の層流で、流速は $u(r)$（$z$ によらない）と表され、外力（重力など）は無視できる。円管の内壁 $r=b$ と円柱の表面 $r=a$ では、流体は滑りなし条件 $u(a)=u(b)=0$ を満たす。

すき間の中で流速 $u(r)$ が最大となる位置の半径 $r_{\mathrm{m}}$ を、$a,b$ を用いて表せ。

頂点を真下に向けて鉛直に置いた円錐形の容器（半頂角 $\alpha$、$0<\alpha <\frac{\pi }{2}$）に水が入っている。容器の頂点には断面積 $a$ の小さな穴があり、時刻 $t=0$ にこの穴を開くと、水は穴から真下に流れ出る。$t=0$ での水面の高さ（穴から水面までの鉛直距離）は $H$ である。

水は非圧縮・非粘性の完全流体とし、穴から流れ出る水の断面積は $a$ に等しいとする（縮流は無視する）。水面と穴の出口にはともに同じ大気圧がはたらき、重力加速度の大きさを $g$ とする。$a$ は水面の面積に比べて十分小さく、水面が穴に近づいた最後の短い時間を除いて流れは各瞬間で定常流とみなせる（準定常近似）ものとし、水面の降下速度による運動エネルギーは穴から出る水の運動エネルギーに比べて無視する。

穴を開いてから容器が空になるまでの時間 $T$ を、$H,a,g,\alpha$ を用いて表せ。

水面を一定の速さで進む船が受ける抵抗力の大きさ $F$ は、液体の密度 $\rho$、液体の動粘性率 $\nu$（単位 ${\mathrm{m}}^2/s$）、重力加速度の大きさ $g$、船の速さ $U$、船の長さ $L$ だけで決まるとする（船の形は相似なものだけを考える）。

実物の船（長さ $L_{\mathrm{p}}$）の $\frac{1}{16}$ の長さの相似な模型（長さ $L_{\mathrm{m}}=\frac{L_{\mathrm{p}}}{16}$）を作り、同じ重力加速度 $g$ のもとで水槽実験を行う。模型実験では、フルード数 $\frac{U}{\sqrt{gL}}$ とレイノルズ数 $\frac{UL}{\nu }$ の両方を実物と一致させるように、模型の速さと水槽の液体（動粘性率）を選んだ。水槽の液体の密度は、実物の船が進む水の密度の $\frac{4}{5}$ 倍である。

このとき、模型が受ける抵抗力 $F_{\mathrm{m}}$ と実物の船が受ける抵抗力 $F_{\mathrm{p}}$ の比 $\frac{F_{\mathrm{m}}}{F_{\mathrm{p}}}$ を、既約分数で求めよ。

ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできた、まっすぐな円柱形の棒がある。棒の中心軸を $x$ 軸とする。棒の両端面を、互いに平行な 2 枚の剛体の壁に、すき間なく接触させて置いた。壁は動かず、棒の両端面は壁に沿ってなめらかにすべることができる（端面には $x$ 方向の力だけがはたらく）。最初、棒には応力がない。

この状態で、棒の側面（円柱面）全体に、一様な圧力 $p(p>0)$ を加えた。端面には壁からの力だけがはたらく。棒の内部の応力とひずみは一様で、変形は微小であるとする。このときの棒の体積の減少率 $-\frac{\Delta V}{V}$ を、$p$, $E$, $\nu$ を用いて表せ（$V$ は変形前の体積、$\Delta V$ は体積の変化）。

水平で十分に広い平らな床の上に、密度 $\rho$、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体を、体積 $V$ だけ時刻 $t=0$ に 1 点のまわりに一度に置いた。流体は重力によって軸対称に広がり、十分に時間がたつと、厚さが広がりの半径に比べてずっと薄い層になる。重力加速度の大きさを $g$ とし、慣性・表面張力・周囲の空気の影響は無視する。

このとき、中心からの距離 $r$、時刻 $t$ における層の厚さ $h(r,t)$ は、潤滑近似により
$$\frac{\partial h}{\partial t}=\kappa \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r{h}^3\frac{\partial h}{\partial r}\right),\kappa =\frac{\rho g}{3\mu }$$
にしたがい、体積は
$$2\pi {\int }_0^{R(t)}rh(r,t)dr=V$$
で一定に保たれる。ここで $R(t)$ は層の先端の半径である。十分に時間がたった後の $R(t)$ は、初期の置き方の詳細によらず $\kappa ,V,t$ だけで決まるものとする。

上の 2 式では、水平方向の長さ（$r,R$）と鉛直方向の長さ（$h$）がそれぞれ別々の組み合わせで現れるので、両者を互いに独立な次元として扱ってよい。このことを用いて次元解析を行い、$R(t)\propto t^n$ と表したときの指数 $n$ を求めよ。

十分に広い容器に、密度 $\rho$ の水を入れ、その上に密度 $\frac{3}{4}\rho$ の油を厚さ $\frac{h}{3}$ の層になるよう静かに注いだ。油と水は混ざらず、油の上は大気である。

この容器に、密度 $\frac{1}{2}\rho$ の均質な固体でできた半径 $a$、高さ $h$ の直円柱を、中心軸を鉛直にして浮かべた。円柱は静止しており、その上面は油面より上に、底面は油と水の境界面より下にある。

この円柱を、中心軸が鉛直な姿勢から微小な角度だけ傾けたときを考える。$a>a_{\mathrm{c}}$ のときは元の姿勢に戻る向きの力のモーメントがはたらき（安定）、$a<a_{\mathrm{c}}$ のときは傾きを大きくする向きの力のモーメントがはたらく（不安定）。この臨界半径 $a_{\mathrm{c}}$ を $h$ を用いて表せ。

ただし、流体はすべて静止しているとみなす。大気の密度と大気圧の水平方向の変化は無視し、重力加速度の大きさを $g$ とする。容器は十分に広く、円柱が傾いても油面と境界面の高さは変わらないとする。