流体力学・連続体の問題

無重力の宇宙船内に浮かぶ球形の液滴は、表面張力を復元力として形がわずかに振動する。この微小振動の振動数 $f$ は、液体の表面張力 $\sigma$（単位 $N/m$）、液体の密度 $\rho$（単位 $kg/{\mathrm{m}}^3$）、液滴の半径 $R$（単位 $\mathrm{m}$）だけで決まり、
$$f=C{\sigma }^{\alpha }{\rho }^{\beta }{R}^{\gamma }$$
の形に書けるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数、$\alpha ,\beta ,\gamma$ は実数の定数である。重力・空気の影響・液体の粘性は無視する。

同じ液体（$\sigma ,\rho$ が同じ）でできた、半径 $R$ の液滴 A と半径 $2R$ の液滴 B が、同じ形の振動（同じ $C$）をしている。液滴 B の振動数は液滴 A の振動数の何倍か。根号を用いた正確な値で求めよ。

一様な静止した空気（密度 $\rho$）の中の 1 点で、エネルギー $E$ が瞬間的に放出されて強い球面衝撃波が広がる。放出から時刻 $t$ における衝撃波面の半径 $R$ は、$E,\rho ,t$ だけで決まり、
$$R=C{E}^{\alpha }{\rho }^{\beta }{t}^{\gamma }$$
の形に書けるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数、$\alpha ,\beta ,\gamma$ は実数の定数である。（空気のはじめの圧力、重力などの影響は無視する。）

次元解析により、指数 $\gamma$ の値を求めよ。

十分に長いまっすぐな円管（半径 $a$）の中を、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が定常な層流として流れている。管の単位長さあたりの圧力降下を $G$（単位 $Pa/m$）とする。単位時間に管の断面を通過する流体の体積（体積流量）$Q$ は $G,\mu ,a$ だけで決まり、
$$Q=C{G}^{\alpha }{\mu }^{\beta }{a}^{\gamma }$$
と表されるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数で、管や流体によらない。

いま、ある管と流体の組（状態 A）で流量が $Q_{\mathrm{A}}$ であった。管の半径を $\frac{3}{2}$ 倍にし、流体を粘性率が $3$ 倍の別の流体に取り替え、単位長さあたりの圧力降下 $G$ は同じに保った（状態 B）。状態 B の流量を $Q_{\mathrm{B}}$ とするとき、比 $\frac{Q_{\mathrm{B}}}{Q_{\mathrm{A}}}$ を既約分数で求めよ。

一様な密度 $\rho$ の静止した空気中の 1 点で、時刻 $t=0$ に大きさ $E$ のエネルギーが瞬間的に放出され、球面状の強い衝撃波が広がっていく。周囲の空気の圧力の影響は無視でき、空気の比熱比は一定とする。このとき、時刻 $t(>0)$ における衝撃波の半径 $R$ は $E$, $\rho$, $t$ だけで決まり、
$$R=C{E}^a{\rho }^b{t}^c$$
の形に書けるとする。ここで $C$ は正の無次元定数（比熱比によって決まる）、$a$, $b$, $c$ は実数の定数である。

次元解析により $a$, $b$, $c$ を決めたうえで、衝撃波の半径がちょうど $R$ になった瞬間の衝撃波面の広がる速さ $U=\frac{dR}{dt}$ を、$C$, $E$, $\rho$, $R$ を用いて表せ。

落球式粘度計で、ある液体の粘性率 $\mu$ を測定する。密度 ${\rho }_{\mathrm{s}}$、半径 $a$ の小さな鋼球を、密度 ${\rho }_{\mathrm{f}}(<{\rho }_{\mathrm{s}})$ の静止した液体中で静かに放すと、鋼球はすぐに終端速度に達し、その後は一定の速さで鉛直に落下した。終端速度に達したあと、鋼球が距離 $d$ を落下するのにかかった時間は $t$ であった。

鋼球が液体から受ける抵抗力はストークスの抵抗則 $F=6\pi \mu av$（$v$ は鋼球の速さ）にしたがうものとし（レイノルズ数は十分小さい）、容器の壁の影響は無視する。重力加速度の大きさを $g$ とする。液体の粘性率 $\mu$ を、${\rho }_{\mathrm{s}},{\rho }_{\mathrm{f}},a,g,d,t$ を用いて表せ。