次元解析

風車が風から取り出せる仕事率 $P$（単位 $\mathrm{W}=\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-3}$）は、空気の密度 $\rho$（単位 $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$）、風の速さ $v$（単位 $\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$）、羽根の直径 $D$（単位 $\mathrm{m}$）だけで決まり、
$$P=C{\rho }^a{v}^b{D}^c$$
と表されるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数、$a,b,c$ は実数の定数である。両辺の次元が一致するという条件から、指数の組 $(a,b,c)$ を求めよ。

両端を固定してぴんと張った弦の基本振動数 $f$（単位 ${\mathrm{s}}^{-1}$）は、弦の張力 $S$（単位 $\mathrm{N}=\mathrm{kg}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$）、弦の線密度 $\mu$（単位 $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1}$）、弦の長さ $L$（単位 $\mathrm{m}$）だけで決まるとし、
$$f=C{S}^a{\mu }^b{L}^c$$
と表されるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数、$a,b,c$ は実数の定数である。両辺の次元が一致するという条件から、指数の組 $(a,b,c)$ を求めよ。

空気中を速さ $v$（単位 $\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$）で運動する半径 $r$（単位 $\mathrm{m}$）の球が、空気から抵抗力 $F$（単位 $\mathrm{N}=\mathrm{kg}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$）を受けている。空気の密度を $\rho$（単位 $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$）とする。速さが十分大きく、空気の粘性の影響は無視できるので、$F$ は $\rho ,v,r$ だけで決まり、
$$F=C{\rho }^a{v}^b{r}^c$$
と表せるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数、$a,b,c$ は実数の定数である。両辺の次元が一致するという条件から、指数の組 $(a,b,c)$ を求めよ。

無重力の宇宙船内に浮かぶ球形の液滴は、表面張力を復元力として形がわずかに振動する。この微小振動の振動数 $f$ は、液体の表面張力 $\sigma$（単位 $N/m$）、液体の密度 $\rho$（単位 $kg/{\mathrm{m}}^3$）、液滴の半径 $R$（単位 $\mathrm{m}$）だけで決まり、
$$f=C{\sigma }^{\alpha }{\rho }^{\beta }{R}^{\gamma }$$
の形に書けるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数、$\alpha ,\beta ,\gamma$ は実数の定数である。重力・空気の影響・液体の粘性は無視する。

同じ液体（$\sigma ,\rho$ が同じ）でできた、半径 $R$ の液滴 A と半径 $2R$ の液滴 B が、同じ形の振動（同じ $C$）をしている。液滴 B の振動数は液滴 A の振動数の何倍か。根号を用いた正確な値で求めよ。

一様な静止した空気（密度 $\rho$）の中の 1 点で、エネルギー $E$ が瞬間的に放出されて強い球面衝撃波が広がる。放出から時刻 $t$ における衝撃波面の半径 $R$ は、$E,\rho ,t$ だけで決まり、
$$R=C{E}^{\alpha }{\rho }^{\beta }{t}^{\gamma }$$
の形に書けるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数、$\alpha ,\beta ,\gamma$ は実数の定数である。（空気のはじめの圧力、重力などの影響は無視する。）

次元解析により、指数 $\gamma$ の値を求めよ。

密度 $\rho$ の静止した流体の中を、半径 $a$ の球が一定の速さ $v$ で動いている。レイノルズ数が十分に大きく、球が流体から受ける抵抗力の大きさ $F$ は流体の粘性率によらず、$\rho$, $v$, $a$ だけで決まって
$$F=C{\rho }^{\alpha }{v}^{\beta }{a}^{\gamma }$$
と表されるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数で、$\alpha ,\beta ,\gamma$ は実数の定数である。

同じ流体の中で、球の半径を $3$ 倍、速さを $2$ 倍にすると、抵抗力の大きさは何倍になるか。ただし、この変更の後もレイノルズ数は十分に大きく、上の関係式（同じ $C$）がそのまま成り立つものとする。

重力の影響を無視できる小さな液滴が、表面張力によって振動している。振動数 $f$（単位 ${\mathrm{s}}^{-1}$）は、液体の表面張力 $\sigma$（単位 $\mathrm{kg}{\mathrm{s}}^{-2}$）、液体の密度 $\rho$（単位 $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$）、液滴の半径 $r$（単位 $\mathrm{m}$）だけで決まり、
$$f=C{\sigma }^a{\rho }^b{r}^c$$
（$C$ は次元をもたない正の定数、$a,b,c$ は実数の定数）と表されるとする。両辺の次元（質量・長さ・時間）が一致するという条件から、組 $(a,b,c)$ を求めよ。

一様な密度 $\rho$ の静止した空気中の 1 点で、時刻 $t=0$ に大きさ $E$ のエネルギーが瞬間的に放出され、球面状の強い衝撃波が広がっていく。周囲の空気の圧力の影響は無視でき、空気の比熱比は一定とする。このとき、時刻 $t(>0)$ における衝撃波の半径 $R$ は $E$, $\rho$, $t$ だけで決まり、
$$R=C{E}^a{\rho }^b{t}^c$$
の形に書けるとする。ここで $C$ は正の無次元定数（比熱比によって決まる）、$a$, $b$, $c$ は実数の定数である。

次元解析により $a$, $b$, $c$ を決めたうえで、衝撃波の半径がちょうど $R$ になった瞬間の衝撃波面の広がる速さ $U=\frac{dR}{dt}$ を、$C$, $E$, $\rho$, $R$ を用いて表せ。

十分に長いまっすぐな円管（半径 $a$）の中を、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が定常な層流として流れている。管の単位長さあたりの圧力降下を $G$（単位 $Pa/m$）とする。単位時間に管の断面を通過する流体の体積（体積流量）$Q$ は $G,\mu ,a$ だけで決まり、
$$Q=C{G}^{\alpha }{\mu }^{\beta }{a}^{\gamma }$$
と表されるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数で、管や流体によらない。

いま、ある管と流体の組（状態 A）で流量が $Q_{\mathrm{A}}$ であった。管の半径を $\frac{3}{2}$ 倍にし、流体を粘性率が $3$ 倍の別の流体に取り替え、単位長さあたりの圧力降下 $G$ は同じに保った（状態 B）。状態 B の流量を $Q_{\mathrm{B}}$ とするとき、比 $\frac{Q_{\mathrm{B}}}{Q_{\mathrm{A}}}$ を既約分数で求めよ。

ノズルから噴き出した細い円柱状の液体の噴流は、表面張力のはたらきで途中からくびれて液滴に分裂する。粘性と重力の影響が無視できるとき、噴流に生じた小さなくびれが成長して分裂に至るまでの特徴的な時間 $\tau$ は、液体の密度 $\rho$、表面張力係数 $\sigma$、噴流の半径 $R$ の 3 つの量だけで決まり、
$$\tau =C{\rho }^{\alpha }{\sigma }^{\beta }{R}^{\gamma }$$
（$C$ は次元をもたない定数、$\alpha ,\beta ,\gamma$ は実数の定数）と書けるものとする。

同じ液体を用い、噴流の半径だけを $2$ 倍にしたとき、$\tau$ は何倍になるか。正確な値（根号を含む形）で求めよ。ただし、$C$ は半径によらないものとする。

質量 $m$（単位 $\mathrm{kg}$）の小物体が、直線上で原点からの変位 $x$（単位 $\mathrm{m}$）に対して復元力 $-k{x}^3$ を受けて運動する。ここで $k$ は正の定数で、運動方程式は
$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-k{x}^3$$
である（$t$ は時刻、単位 $\mathrm{s}$）。小物体を $x=A$（$A>0$）で静かに放すと周期運動をし、その周期 $T$ は $m$, $k$, $A$ だけで決まり、正の無次元定数 $C$ を用いて
$$T=C{m}^{\alpha }{k}^{\beta }{A}^{\gamma }$$
と表されるものとする。

$k$ は変えずに、質量を $4m$、放す位置を $x=3A$ に変えたときの周期を $T^{\prime }$ とする。比 $\frac{T^{\prime }}{T}$ を求めよ。

恒星のまわりを回る惑星の公転周期 $T$ が、万有引力定数 $G$、恒星の質量 $M$、惑星の質量 $m$、軌道長半径 $a$ だけで決まるとし、$T=F(G,M,m,a)$ と書く。ここで $F:(0,\infty {)}^4\to (0,\infty )$ は関数である。

各量の次元は $[G]={\mathrm{L}}^3{\mathrm{M}}^{-1}{\mathrm{T}}^{-2}$、$[M]=[m]=\mathrm{M}$、$[a]=\mathrm{L}$、$[T]=\mathrm{T}$ である。長さ・質量・時間の単位をそれぞれ $\frac{1}{{\lambda }_L},\frac{1}{{\lambda }_M},\frac{1}{{\lambda }_T}$ 倍に取り替えると（${\lambda }_L,{\lambda }_M,{\lambda }_T>0$）、各量の数値は次元に応じて $G\mapsto {\lambda }_L^3{\lambda }_M^{-1}{\lambda }_T^{-2}G$、$M\mapsto {\lambda }_{M}M$、$m\mapsto {\lambda }_{M}m$、$a\mapsto {\lambda }_{L}a$、$T\mapsto {\lambda }_{T}T$ と変わる。関係 $T=F(G,M,m,a)$ が単位の取り方によらず成り立つという要請を、次の条件 $(\ast )$ で表す。
$$(\ast )F({\lambda }_L^3{\lambda }_M^{-1}{\lambda }_T^{-2}G,{\lambda }_{M}M,{\lambda }_{M}m,{\lambda }_{L}a)={\lambda }_{T}F(G,M,m,a)(\text{すべての }G,M,m,a,{\lambda }_L,{\lambda }_M,{\lambda }_T>0)$$

関数 $F:(0,\infty {)}^4\to (0,\infty )$ が $(\ast )$ を満たすための必要十分条件は、ある関数 $\Phi :(0,\infty )\to (0,\infty )$ が存在して、すべての $G,M,m,a>0$ に対し
$$F(G,M,m,a)=\sqrt{\frac{a^3}{GM}}\Phi \left(\frac{m}{M}\right)$$
が成り立つことである。これを証明せよ。

なめらかな水平面上で、質量 $m$（単位 $\mathrm{kg}$）の物体が非線形ばねにつながれている。物体はつり合いの位置からの変位 $x$ に対して、復元力 $-kx-q{x}^3$ を受ける。ここで $k$ の単位は $N/m=\mathrm{kg}{\mathrm{s}}^{-2}$、$q$ の単位は $N/{\mathrm{m}}^3=\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-2}{\mathrm{s}}^{-2}$ である（$k>0$, $q>0$）。物体を変位 $A$（単位 $\mathrm{m}$, $A>0$）の位置で静かに放すと周期運動をする。摩擦と空気抵抗は無視し、周期 $T$（単位 $\mathrm{s}$）は $m,k,q,A$ だけで決まるものとする。

模型実験では $m=0.20\mathrm{kg}$, $k=20N/m$, $q=5.0\times 10^{3}N/{\mathrm{m}}^3$, $A=0.040\mathrm{m}$ とし、周期 $T=0.55\mathrm{s}$ が測定された。

次に、$m=1.8\mathrm{kg}$, $k=45N/m$, $A=0.030\mathrm{m}$ の実機を作る。次元解析（バッキンガムの $\Pi$ 定理）を用いて、実機が模型と力学的に相似（すべての無次元量が模型と等しい）になるような $q$ の値（単位 $N/{\mathrm{m}}^3$）と、そのときの実機の周期 $T$（単位 $\mathrm{s}$）を求め、組 $(q,T)$ の形でこの順に答えよ。ただし与えられた数値は正確な値として扱う。

水平で十分に広い平らな床の上に、密度 $\rho$、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体を、体積 $V$ だけ時刻 $t=0$ に 1 点のまわりに一度に置いた。流体は重力によって軸対称に広がり、十分に時間がたつと、厚さが広がりの半径に比べてずっと薄い層になる。重力加速度の大きさを $g$ とし、慣性・表面張力・周囲の空気の影響は無視する。

このとき、中心からの距離 $r$、時刻 $t$ における層の厚さ $h(r,t)$ は、潤滑近似により
$$\frac{\partial h}{\partial t}=\kappa \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r{h}^3\frac{\partial h}{\partial r}\right),\kappa =\frac{\rho g}{3\mu }$$
にしたがい、体積は
$$2\pi {\int }_0^{R(t)}rh(r,t)dr=V$$
で一定に保たれる。ここで $R(t)$ は層の先端の半径である。十分に時間がたった後の $R(t)$ は、初期の置き方の詳細によらず $\kappa ,V,t$ だけで決まるものとする。

上の 2 式では、水平方向の長さ（$r,R$）と鉛直方向の長さ（$h$）がそれぞれ別々の組み合わせで現れるので、両者を互いに独立な次元として扱ってよい。このことを用いて次元解析を行い、$R(t)\propto t^n$ と表したときの指数 $n$ を求めよ。

一辺の長さ $L$（単位 $\mathrm{m}$）の立方体の領域で、流速の代表的な大きさが $U$（単位 $\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$）の十分に発達した乱流を、計算機で直接数値シミュレーションすることを考える。流体の動粘性係数を $\nu$（単位 ${\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1}$）とする。

乱流の最小の渦の大きさ（コルモゴロフ長さ）$\eta$（単位 $\mathrm{m}$）は、動粘性係数 $\nu$ と単位質量あたりのエネルギー散逸率 $\epsilon$（単位 ${\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-3}$）だけで決まり、$\eta =C_1{\nu }^a{\epsilon }^b$（$C_1$ は無次元の正の定数、$a,b$ は実数の定数）の形に書けるとする。また、散逸率 $\epsilon$ は $U$ と $L$ だけで決まり（$\nu$ にはよらない）、$\epsilon =C_2{U}^c{L}^d$（$C_2$ は無次元の正の定数、$c,d$ は実数の定数）の形に書けるとする。

シミュレーションでは格子間隔を $\eta$ に等しくとるので、必要な格子点の数は $N={\left(\frac{L}{\eta }\right)}^3$ である。$L$ と $\nu$ を変えずに $U$ を $16$ 倍にすると、$N$ は何倍になるか求めよ。ただし $C_1,C_2$ は変わらないものとする。

平面上に広がる物質の面密度 $u(x,y,t)$（単位 $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-2}$）が、非線形拡散方程式
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\kappa \left(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\right)\left(u^3\right)$$
に従うとする。ここで $x$, $y$ は位置（単位 $\mathrm{m}$）、$t>0$ は時刻（単位 $\mathrm{s}$）、$\kappa$ は正の定数である。時刻 $0$ に原点に質量 $M$（単位 $\mathrm{kg}$）の物質を一点に集中させて置き、その後の全質量 ${\iint }_{{\mathbb{R}}^2}udxdy$ は $M$ のまま保存されるとする。このとき物質が存在する領域は原点を中心とする円板になり、その半径 $R(t)$ は $M$, $\kappa$, $t$ だけで決まって
$$R(t)=C{M}^a{\kappa }^b{t}^c$$
（$C$ は次元をもたない正の定数、$a$, $b$, $c$ は実数の定数）の形に書けるとする。指数の組 $(a,b,c)$ を求めよ。

点状の爆発によって、エネルギー $E$（単位 $\mathrm{J}=\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-2}$）が時刻 $t=0$ に一瞬で放出され、球対称な強い衝撃波が周囲の気体中を広がっていく。周囲の気体の密度は爆心からの距離 $r$ によって
$$\rho (r)=A{r}^{-\omega }$$
と表される。ここで $A>0$, $\omega$ は定数で $0\le \omega <3$ とし、$A$ の単位は $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{\omega -3}$ である。

次のことを仮定する。
- 時刻 $t>0$ における衝撃波の半径 $R$（単位 $\mathrm{m}$）は、$E$, $A$, $t$ と気体の比熱比 $\gamma$（無次元）だけで決まる（周囲の気体の圧力は無視できる）。
- 衝撃波の速さ $U=\frac{dR}{dt}$（単位 $\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$）は、$E$, $A$, $R$ と $\gamma$ だけで決まる。

ある気体中での観測から、衝撃波の半径が $R\propto t^{4/7}$ にしたがって大きくなることがわかった。このとき、この気体について
$$U=C{E}^p{A}^q{R}^s(C\text{は}\gamma \text{だけで決まる無次元の定数})$$
と表される。指数の組 $(p,q,s)$ をこの順に求めよ。

水平な床の上の 1 点から粘性の大きい液体を注入し、液体が軸対称に広がっていく様子を考える。注入点からの水平距離を $r$（単位 $\mathrm{m}$）、時刻を $t>0$（単位 $\mathrm{s}$）、液体層の厚さを $h(r,t)$（単位 $\mathrm{m}$）とする。潤滑近似のもとで、$h$ は次の方程式に従うとする。
$$\frac{\partial h}{\partial t}=\frac{\kappa }{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r{h}^3\frac{\partial h}{\partial r}\right)(0<r<R(t))$$
ここで $\kappa =\frac{\rho g}{3\mu }$ は正の定数（単位 ${\mathrm{m}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-1}$）である。$R(t)$ は液体の先端の位置で、$h(R(t),t)=0$ とし、$r>R(t)$ では $h=0$ とする。注入流量は時間に比例して増加し、時刻 $t$ までに注入された液体の体積は
$$2\pi {\int }_0^{R(t)}rh(r,t)dr=A{t}^2$$
である（$A$ は正の定数、単位 ${\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-2}$）。

この問題が、相似解 $h(r,t)=H(t)f\left(\frac{r}{R(t)}\right)$ をもつとする。ここで $H(t)$, $R(t)$ は $t>0$ で微分可能な正の関数であり、$f$ は $t$ によらない関数で、$[0,1]$ で連続かつ $(0,1)$ で 2 回微分可能とする。このとき先端の位置が
$$R(t)=C{\kappa }^a{A}^b{t}^c$$
（$C$ は $\kappa$, $A$, $t$ によらない正の無次元定数、$a,b,c$ は実数）と表されるとして、組 $(a,b,c)$ を求めよ。