数理モデルの問題

なめらかな水平面上で、質量 $m$（単位 $\mathrm{kg}$）の物体が非線形ばねにつながれている。物体はつり合いの位置からの変位 $x$ に対して、復元力 $-kx-q{x}^3$ を受ける。ここで $k$ の単位は $N/m=\mathrm{kg}{\mathrm{s}}^{-2}$、$q$ の単位は $N/{\mathrm{m}}^3=\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-2}{\mathrm{s}}^{-2}$ である（$k>0$, $q>0$）。物体を変位 $A$（単位 $\mathrm{m}$, $A>0$）の位置で静かに放すと周期運動をする。摩擦と空気抵抗は無視し、周期 $T$（単位 $\mathrm{s}$）は $m,k,q,A$ だけで決まるものとする。

模型実験では $m=0.20\mathrm{kg}$, $k=20N/m$, $q=5.0\times 10^{3}N/{\mathrm{m}}^3$, $A=0.040\mathrm{m}$ とし、周期 $T=0.55\mathrm{s}$ が測定された。

次に、$m=1.8\mathrm{kg}$, $k=45N/m$, $A=0.030\mathrm{m}$ の実機を作る。次元解析（バッキンガムの $\Pi$ 定理）を用いて、実機が模型と力学的に相似（すべての無次元量が模型と等しい）になるような $q$ の値（単位 $N/{\mathrm{m}}^3$）と、そのときの実機の周期 $T$（単位 $\mathrm{s}$）を求め、組 $(q,T)$ の形でこの順に答えよ。ただし与えられた数値は正確な値として扱う。

平面上に広がる物質の面密度 $u(x,y,t)$（単位 $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-2}$）が、非線形拡散方程式
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\kappa \left(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\right)\left(u^3\right)$$
に従うとする。ここで $x$, $y$ は位置（単位 $\mathrm{m}$）、$t>0$ は時刻（単位 $\mathrm{s}$）、$\kappa$ は正の定数である。時刻 $0$ に原点に質量 $M$（単位 $\mathrm{kg}$）の物質を一点に集中させて置き、その後の全質量 ${\iint }_{{\mathbb{R}}^2}udxdy$ は $M$ のまま保存されるとする。このとき物質が存在する領域は原点を中心とする円板になり、その半径 $R(t)$ は $M$, $\kappa$, $t$ だけで決まって
$$R(t)=C{M}^a{\kappa }^b{t}^c$$
（$C$ は次元をもたない正の定数、$a$, $b$, $c$ は実数の定数）の形に書けるとする。指数の組 $(a,b,c)$ を求めよ。

両端を固定した弦の基本振動数 $f$（単位 ${\mathrm{s}}^{-1}$）は、弦の張力 $S$（単位 $\mathrm{N}=\mathrm{kg}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$）、弦の線密度 $\mu$（単位 $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1}$）、弦の長さ $L$（単位 $\mathrm{m}$）だけで決まり、
$$f=C{S}^{\alpha }{\mu }^{\beta }{L}^{\gamma }$$
と表されるとする。ここで $C$ は値のわからない無次元の正の定数、$\alpha ,\beta ,\gamma$ は実数の定数である。

張力を $3$ 倍、線密度を $\frac{1}{3}$ 倍、長さを $2$ 倍にした弦の基本振動数を $f^{\prime }$ とする。比 $\frac{f^{\prime }}{f}$ を求めよ。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t$ は実数の時刻、$x(t)>0,y(t)>0$）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(a-y),\frac{dy}{dt}=y(x-2)$$
に従うとする。ここで $a$ は正の定数である。この方程式のある解 $(x(t),y(t))$ が、ある時刻に点 $(1,1)$ を通り、別のある時刻に点 $(1,e)$ を通った（$e$ は自然対数の底）。この解は周期 $T>0$ の周期解であることが知られている。このとき、捕食者の個体数密度の 1 周期にわたる時間平均
$$\frac{1}{T}{\int }_0^{T}y(t)dt$$
を求めよ。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t$ は実数の時刻）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(a-by),\frac{dy}{dt}=y(cx-d)$$
にしたがうとする。ここで $a,b,c,d$ は正の定数であるが、その値はわかっていない。

ある観測で、解 $(x(t),y(t))$ はつねに $x(t)>0,y(t)>0$ を満たし、定数でない周期 $T(>0)$ の周期解であった。また、1 周期の間に $x(t)$ がとる最小値は $2$、最大値は $8$ であった。

このとき、被食者の個体数密度の 1 周期にわたる時間平均
$$\frac{1}{T}{\int }_0^{T}x(t)dt$$
を求めよ。