数理モデルの問題

水平な床の上の 1 点から粘性の大きい液体を注入し、液体が軸対称に広がっていく様子を考える。注入点からの水平距離を $r$（単位 $\mathrm{m}$）、時刻を $t>0$（単位 $\mathrm{s}$）、液体層の厚さを $h(r,t)$（単位 $\mathrm{m}$）とする。潤滑近似のもとで、$h$ は次の方程式に従うとする。
$$\frac{\partial h}{\partial t}=\frac{\kappa }{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r{h}^3\frac{\partial h}{\partial r}\right)(0<r<R(t))$$
ここで $\kappa =\frac{\rho g}{3\mu }$ は正の定数（単位 ${\mathrm{m}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-1}$）である。$R(t)$ は液体の先端の位置で、$h(R(t),t)=0$ とし、$r>R(t)$ では $h=0$ とする。注入流量は時間に比例して増加し、時刻 $t$ までに注入された液体の体積は
$$2\pi {\int }_0^{R(t)}rh(r,t)dr=A{t}^2$$
である（$A$ は正の定数、単位 ${\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-2}$）。

この問題が、相似解 $h(r,t)=H(t)f\left(\frac{r}{R(t)}\right)$ をもつとする。ここで $H(t)$, $R(t)$ は $t>0$ で微分可能な正の関数であり、$f$ は $t$ によらない関数で、$[0,1]$ で連続かつ $(0,1)$ で 2 回微分可能とする。このとき先端の位置が
$$R(t)=C{\kappa }^a{A}^b{t}^c$$
（$C$ は $\kappa$, $A$, $t$ によらない正の無次元定数、$a,b,c$ は実数）と表されるとして、組 $(a,b,c)$ を求めよ。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t\geqq 0$ は時刻）が、被食者のロジスティック成長と捕食者の飽和型の捕食を取り入れた連立微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=x\left(1-\frac{x}{K}\right)-\frac{xy}{1+x},\frac{dy}{dt}=y\left(\frac{x}{1+x}-\frac{3}{5}\right)$$
に従うとする。ここで $K$ は $K>\frac{3}{2}$ を満たす実数の定数（環境収容力）である。このとき、$x>0,y>0$ を満たす平衡点（内部平衡点）がただ 1 つ存在する。

内部平衡点におけるヤコビ行列の固有値が純虚数 $\pm i\omega$（$\omega >0$）となる $K$ の値を $K_0$ とする。組 $(K_0,\omega )$ を求めよ。ただし $\omega$ は $K=K_0$ のときの値とする。

質量 $m$（単位 $\mathrm{kg}$）の小物体が、直線上で原点からの変位 $x$（単位 $\mathrm{m}$）に対して復元力 $-k{x}^3$ を受けて運動する。ここで $k$ は正の定数で、運動方程式は
$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-k{x}^3$$
である（$t$ は時刻、単位 $\mathrm{s}$）。小物体を $x=A$（$A>0$）で静かに放すと周期運動をし、その周期 $T$ は $m$, $k$, $A$ だけで決まり、正の無次元定数 $C$ を用いて
$$T=C{m}^{\alpha }{k}^{\beta }{A}^{\gamma }$$
と表されるものとする。

$k$ は変えずに、質量を $4m$、放す位置を $x=3A$ に変えたときの周期を $T^{\prime }$ とする。比 $\frac{T^{\prime }}{T}$ を求めよ。

出生・死亡・移動のない集団での感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$ における感受性者・感染者・回復者（免疫保持者を含む）の人口全体に対する割合をそれぞれ $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とし、これらが SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
に従うとする。ここで $\beta$, $\gamma$ は正の定数である。この集団では流行の開始前に人口の $\frac{1}{5}$ がすでに免疫をもっており、初期値を
$$s(0)=\frac{4}{5}-\epsilon ,i(0)=\epsilon ,r(0)=\frac{1}{5}(\epsilon >0)$$
とする。以下では $\epsilon \to +0$ の極限での値を考える。この極限で、流行の終息後の感受性者の割合 $\underset{t\to \infty }{\lim }s(t)$ が $\frac{1}{5}$ になるように基本再生産数 $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ が定まっているとする。このとき、流行中の感染者の割合の最大値 $\underset{t\geqq 0}{\max }i(t)$ の $\epsilon \to +0$ での極限を求めよ。

点状の爆発によって、エネルギー $E$（単位 $\mathrm{J}=\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-2}$）が時刻 $t=0$ に一瞬で放出され、球対称な強い衝撃波が周囲の気体中を広がっていく。周囲の気体の密度は爆心からの距離 $r$ によって
$$\rho (r)=A{r}^{-\omega }$$
と表される。ここで $A>0$, $\omega$ は定数で $0\le \omega <3$ とし、$A$ の単位は $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{\omega -3}$ である。

次のことを仮定する。
- 時刻 $t>0$ における衝撃波の半径 $R$（単位 $\mathrm{m}$）は、$E$, $A$, $t$ と気体の比熱比 $\gamma$（無次元）だけで決まる（周囲の気体の圧力は無視できる）。
- 衝撃波の速さ $U=\frac{dR}{dt}$（単位 $\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$）は、$E$, $A$, $R$ と $\gamma$ だけで決まる。

ある気体中での観測から、衝撃波の半径が $R\propto t^{4/7}$ にしたがって大きくなることがわかった。このとき、この気体について
$$U=C{E}^p{A}^q{R}^s(C\text{は}\gamma \text{だけで決まる無次元の定数})$$
と表される。指数の組 $(p,q,s)$ をこの順に求めよ。