数理モデルの問題

水平な床の上の 1 点から粘性の大きい液体を注入し、液体が軸対称に広がっていく様子を考える。注入点からの水平距離を $r$（単位 $\mathrm{m}$）、時刻を $t>0$（単位 $\mathrm{s}$）、液体層の厚さを $h(r,t)$（単位 $\mathrm{m}$）とする。潤滑近似のもとで、$h$ は次の方程式に従うとする。
$$\frac{\partial h}{\partial t}=\frac{\kappa }{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r{h}^3\frac{\partial h}{\partial r}\right)(0<r<R(t))$$
ここで $\kappa =\frac{\rho g}{3\mu }$ は正の定数（単位 ${\mathrm{m}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-1}$）である。$R(t)$ は液体の先端の位置で、$h(R(t),t)=0$ とし、$r>R(t)$ では $h=0$ とする。注入流量は時間に比例して増加し、時刻 $t$ までに注入された液体の体積は
$$2\pi {\int }_0^{R(t)}rh(r,t)dr=A{t}^2$$
である（$A$ は正の定数、単位 ${\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-2}$）。

この問題が、相似解 $h(r,t)=H(t)f\left(\frac{r}{R(t)}\right)$ をもつとする。ここで $H(t)$, $R(t)$ は $t>0$ で微分可能な正の関数であり、$f$ は $t$ によらない関数で、$[0,1]$ で連続かつ $(0,1)$ で 2 回微分可能とする。このとき先端の位置が
$$R(t)=C{\kappa }^a{A}^b{t}^c$$
（$C$ は $\kappa$, $A$, $t$ によらない正の無次元定数、$a,b,c$ は実数）と表されるとして、組 $(a,b,c)$ を求めよ。

平面上に広がる物質の面密度 $u(x,y,t)$（単位 $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-2}$）が、非線形拡散方程式
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\kappa \left(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\right)\left(u^3\right)$$
に従うとする。ここで $x$, $y$ は位置（単位 $\mathrm{m}$）、$t>0$ は時刻（単位 $\mathrm{s}$）、$\kappa$ は正の定数である。時刻 $0$ に原点に質量 $M$（単位 $\mathrm{kg}$）の物質を一点に集中させて置き、その後の全質量 ${\iint }_{{\mathbb{R}}^2}udxdy$ は $M$ のまま保存されるとする。このとき物質が存在する領域は原点を中心とする円板になり、その半径 $R(t)$ は $M$, $\kappa$, $t$ だけで決まって
$$R(t)=C{M}^a{\kappa }^b{t}^c$$
（$C$ は次元をもたない正の定数、$a$, $b$, $c$ は実数の定数）の形に書けるとする。指数の組 $(a,b,c)$ を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団での感染症の流行を、人口全体に対する割合で表した SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
で記述する。ここで $s(t),i(t),r(t)$ はそれぞれ時刻 $t(t\ge 0)$ における感受性者・感染者・回復者（免疫をもつ者）の割合で $s+i+r=1$ を満たし、$\beta ,\gamma$ は正の定数（値は未知）である。基本再生産数を $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ とする。

観測. ある流行では、はじめ全員が感受性者で、ごく少数の感染者から流行が始まった。この流行を $s(0)=1-\epsilon$, $i(0)=\epsilon$, $r(0)=0$ とし $\epsilon \to +0$ の極限をとったものとみなす。流行が終息したとき（$t\to \infty$）、一度も感染しなかった人の割合は $s_{\infty }={\lim }_{t\to \infty }s(t)=\frac{1}{4}$ であった。

対策. 同じ感染症（$\beta ,\gamma$ は同じ）が、全員が感受性者である別の同様の集団に持ち込まれる前に、人口の割合 $p(0\le p\le 1)$ にワクチンを接種して免疫をもたせる（接種者ははじめから回復者に含める）。持ち込まれる感染者の割合は無視できるほど小さいとし、持ち込まれた直後の感受性者の割合は $s(0)=1-p$ とみなす（感染者の割合 $i(0)$ は正）。持ち込まれた直後に感染者の割合が増加しない（$t=0$ で $\frac{di}{dt}\le 0$ となる）ための $p$ の最小値を求めよ。

出生・死亡・移動のない集団での感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$ における感受性者・感染者・回復者（免疫保持者を含む）の人口全体に対する割合をそれぞれ $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とし、これらが SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
に従うとする。ここで $\beta$, $\gamma$ は正の定数である。この集団では流行の開始前に人口の $\frac{1}{5}$ がすでに免疫をもっており、初期値を
$$s(0)=\frac{4}{5}-\epsilon ,i(0)=\epsilon ,r(0)=\frac{1}{5}(\epsilon >0)$$
とする。以下では $\epsilon \to +0$ の極限での値を考える。この極限で、流行の終息後の感受性者の割合 $\underset{t\to \infty }{\lim }s(t)$ が $\frac{1}{5}$ になるように基本再生産数 $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ が定まっているとする。このとき、流行中の感染者の割合の最大値 $\underset{t\geqq 0}{\max }i(t)$ の $\epsilon \to +0$ での極限を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、潜伏期間のある感染症の流行を、人口全体に対する割合で表した SEIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{de}{dt}=\beta si-\sigma e,\frac{di}{dt}=\sigma e-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
で考える。ここで $s,e,i,r$ はそれぞれ感受性者・潜伏期の人・感染性のある人・回復者（免疫をもち再感染しない）の割合、$t\geqq 0$ は時刻、$\beta ,\sigma ,\gamma$ は正の定数であり、このモデルの基本再生産数は $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ である。

ある流行では、初期値が $s(0)=1-\epsilon ,e(0)=0,i(0)=\epsilon ,r(0)=0$（$\epsilon$ は小さな正の数）であり、$\epsilon \to +0$ の極限で、最後まで一度も感染しなかった人の割合 $s_{\infty }=\underset{t\to \infty }{\lim }s(t)$ が $\frac{1}{4}$ であった。ただし、$t\to \infty$ で $e(t)\to 0$, $i(t)\to 0$ となることは認めてよい。

次の流行に備えて、流行の始まる前に人口の割合 $p$（$0\leqq p\leqq 1$）にワクチンを接種して免疫をもたせる（接種した人は初めから回復者に含まれる）。$\beta ,\sigma ,\gamma$ は上の流行と同じであるとし、実効再生産数 $R_0(1-p)$ が $1$ 以下になる最小の $p$ を求めよ。