数理モデル

ある細胞内のタンパク質の濃度を $x(t)$（$t\geqq 0$ は時刻、$x(t)$ は実数値をとる）とし、その時間変化が微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=-x^3+6x^2-11x+6$$
で表されるとする。この微分方程式の平衡点のうち、漸近安定なものをすべて求めよ。

実数 $t$ を時刻とし、実数値をとる関数 $x(t)$ が自励系の微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=-x^3+6x^2-8x$$
を満たすとする。この微分方程式の平衡点のうち、線形安定性解析によって漸近安定と判定されるものをすべて求めよ。

実数値をとる量 $x(t)$（$t\geqq 0$ は時刻）が、自励系の微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=-x^3+3x^2+x-3$$
に従って変化するとする。この微分方程式の平衡点のうち、線形安定性解析によって漸近安定と判定されるものをすべて求めよ。

実数 $t\ge 0$ を時刻とし、関数 $x(t)$ は微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=2x\left(1-\frac{x}{100}\right)$$
と初期条件 $x(0)=20$ を満たすとする。$x(t)=50$ となる時刻 $t$ を求めよ。

時刻 $t(t\ge 0)$ における生物の個体数を $x(t)$ とし、$x(t)$ は次の微分方程式と初期条件を満たすとする。
$$\frac{dx}{dt}=2x\left(1-\frac{x}{100}\right),x(0)=20$$
この解 $x(t)$ を求め、$x(t)=50$ となる時刻 $t$ を求めよ。

ある生物の個体数を $x(t)$（$t$ は時刻、$t\ge 0$）で表す。$x(t)$ は微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=2x\left(1-\frac{x}{100}\right)$$
と初期条件 $x(0)=20$ をみたす。ただし、$t\ge 0$ で $0<x(t)<100$ が成り立つものとする。$x(t)=50$ となる時刻 $t$ を求めよ。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t$ は実数の時刻、$x(t)>0,y(t)>0$）が、連立微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(3-y),\frac{dy}{dt}=y(x-2)$$
に従っているとする。$x>0,y>0$ の範囲にある平衡点（$\frac{dx}{dt}=\frac{dy}{dt}=0$ となる点）を $(p,q)$ とする。また、定数 $\alpha ,\beta ,\gamma$ を用いた関数
$$H(x,y)=x+\alpha y+\beta \log x+\gamma \log y$$
が、この方程式のどの解に沿っても時刻 $t$ によらず一定になるように、$\alpha ,\beta ,\gamma$ を定める。このとき、$H(1,1)-H(p,q)$ の値を求めよ。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t$ は実数の時刻、$x(t)>0,y(t)>0$）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(2-y),\frac{dy}{dt}=y(x-3)$$
に従って変化している。初期条件は $x(0)=1,y(0)=2$ である。

この方程式の解の軌道上では、ある正の整数 $p,q$ について
$$x^p{y}^q{e}^{-(x+y)}$$
が時刻によらず一定の値をとる。この一定の値を求めよ。

正の値をとる関数 $x(t)$, $y(t)$（$t$ は実数の時刻）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(2-y),\frac{dy}{dt}=y(x-3)$$
に従っている。初期条件は $x(0)=1,y(0)=e$ である（$e$ は自然対数の底）。

定数 $\alpha ,\beta ,\gamma$ を用いて
$$H(x,y)=x-\alpha \log x+\beta y-\gamma \log y$$
とおく。$H(x(t),y(t))$ がすべての解について $t$ によらず一定となるように $\alpha ,\beta ,\gamma$ を定めたとき、上の初期条件を満たす解の軌道上での $H$ の値を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、ある感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$（単位: 日）における感受性者・感染者・免疫保持者の人口全体に対する割合をそれぞれ $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とし、これらは SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
に従うとする。ここで $\beta >0$ は感染率、$\gamma >0$ は回復率（単位はともに $1/\text{日}$）である。

流行の始まる前（$t=0$）に人口の割合 $p$ $(0\leqq p<1)$ にワクチンを接種し、接種者は確実に免疫をもつとする。初期の感染者はごくわずかで $i(0)>0$ とし、$s(0)=1-p$ とみなす。また、$t=0$ で $\frac{di}{dt}\leqq 0$ となるとき「流行が拡大しない」という。

この感染症では回復率が $\gamma =0.2$ であり、流行が拡大しないために必要なワクチン接種率の最小値が $p=\frac{3}{4}$ であることがわかっている。感染率 $\beta$ の値を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、ある感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$（単位: 日）における感受性者・感染者・回復者（免疫をもつ者を含む）の人口全体に対する割合をそれぞれ $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とし、これらは SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
に従うとする。ここで $\beta >0$（単位: 1/日）は感染率、$\gamma >0$（単位: 1/日）は回復率である。この感染症の平均感染期間は $5$ 日であり、$\gamma =\frac{1}{5}$ とする。

流行の前に人口の割合 $p$ $(0\leqq p<1)$ にワクチンを接種して免疫をもたせる。初期感染者の割合 $i(0)$ は正で十分小さく、$s(0)=1-p$ とみなす。また、「流行が拡大しない」とは $t=0$ において $\frac{di}{dt}\leqq 0$ となることとする。

流行が拡大しないためのワクチン接種率 $p$ の最小値が $\frac{3}{4}$ であることがわかっているとき、感染率 $\beta$ の値を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、ある感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$（単位: 日）における感受性者・感染者の人口全体に対する割合をそれぞれ $s(t)$, $i(t)$ とし、これらは SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i$$
に従うとする。この感染症では、感染率は $\beta =1.8$（1/日）、感染者が感染力をもつ平均期間は $\frac{1}{\gamma }=5$ 日である。

流行の前に、人口全体のうち割合 $p$ $(0\leqq p\leqq 1)$ の人にワクチンを接種し、接種した人は完全な免疫をもつとする。最初の感染者の割合 $i(0)$ は正であるがごく小さいので、$s(0)=1-p$ とみなす。

$t=0$ において $\frac{di}{dt}>0$ となるとき「流行が拡大する」という。流行が拡大しないための接種率 $p$ の最小値を求めよ。

ある小型哺乳類の雌の個体群を、年齢により 2 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数をそれぞれ $x_1(t)$, $x_2(t)$ とする。この個体群は次の規則にしたがって推移する。

• 時刻 $t$ の第 1 階級の各個体は平均 $1$ 個体、第 2 階級の各個体は平均 $4$ 個体の雌を産み、それらが時刻 $t+1$ の第 1 階級になる。
• 時刻 $t$ の第 1 階級の個体のうち $\frac{1}{2}$ が生き残り、時刻 $t+1$ の第 2 階級になる。
• 時刻 $t$ の第 2 階級の個体は、時刻 $t+1$ までにすべて死ぬ。

$x_1(0)=20$, $x_2(0)=10$ のとき、時刻 $t=2$ における総個体数 $x_1(2)+x_2(2)$ を求めよ。

ある小動物の雌の個体群を、年齢により 2 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の雌の個体数を $x_1(t)$, $x_2(t)$ とし、$\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)$ とおく。

この個体群について、次のことがわかっている。
- 第 1 階級の雌 1 匹は 1 年の間に平均 $1$ 匹、第 2 階級の雌 1 匹は平均 $3$ 匹の雌の子を産み、これらの子は次の年に第 1 階級として数えられる。
- 第 1 階級の雌のうち $\frac{1}{2}$ が生き残り、次の年に第 2 階級になる。
- 第 2 階級の雌は次の年までにすべて死ぬ。

このとき $\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t)$ を満たすレスリー行列 $L$ を作り、$x_1(0)=40$, $x_2(0)=20$ のときの 2 年後の雌の総個体数 $x_1(2)+x_2(2)$ を求めよ。

ある小型の哺乳類の雌の個体群を、年齢により 2 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の雌の個体数を $x_1(t)$, $x_2(t)$ とし、$\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)$ とおく。

この個体群について、次のことがわかっている。
- 1 年の間に、第 1 階級の雌 1 匹は平均 1 匹、第 2 階級の雌 1 匹は平均 4 匹の雌の子を残し、これらの子は 1 年後に第 1 階級として数えられる。
- 第 1 階級の雌のうち $\frac{1}{2}$ の割合が生き残り、1 年後に第 2 階級となる。
- 第 2 階級の雌は 1 年後までにすべて死ぬ。

このとき $\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t)$ を満たすレスリー行列 $L$ を作り、$\mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{c}20\\ 10\end{array}\right)$ のときの 2 年後の個体数 $x_1(2)$, $x_2(2)$ をこの順に組で求めよ。

風車が風から取り出せる仕事率 $P$（単位 $\mathrm{W}=\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-3}$）は、空気の密度 $\rho$（単位 $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$）、風の速さ $v$（単位 $\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$）、羽根の直径 $D$（単位 $\mathrm{m}$）だけで決まり、
$$P=C{\rho }^a{v}^b{D}^c$$
と表されるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数、$a,b,c$ は実数の定数である。両辺の次元が一致するという条件から、指数の組 $(a,b,c)$ を求めよ。

両端を固定してぴんと張った弦の基本振動数 $f$（単位 ${\mathrm{s}}^{-1}$）は、弦の張力 $S$（単位 $\mathrm{N}=\mathrm{kg}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$）、弦の線密度 $\mu$（単位 $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1}$）、弦の長さ $L$（単位 $\mathrm{m}$）だけで決まるとし、
$$f=C{S}^a{\mu }^b{L}^c$$
と表されるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数、$a,b,c$ は実数の定数である。両辺の次元が一致するという条件から、指数の組 $(a,b,c)$ を求めよ。

空気中を速さ $v$（単位 $\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$）で運動する半径 $r$（単位 $\mathrm{m}$）の球が、空気から抵抗力 $F$（単位 $\mathrm{N}=\mathrm{kg}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$）を受けている。空気の密度を $\rho$（単位 $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$）とする。速さが十分大きく、空気の粘性の影響は無視できるので、$F$ は $\rho ,v,r$ だけで決まり、
$$F=C{\rho }^a{v}^b{r}^c$$
と表せるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数、$a,b,c$ は実数の定数である。両辺の次元が一致するという条件から、指数の組 $(a,b,c)$ を求めよ。

ある海域の魚の資源量（単位: 千トン）を $x(t)$（$t\geqq 0$ は時刻、単位は年）とする。この魚はロジスティック成長をし、さらに毎年一定量 $h$（千トン/年）が漁獲されるとして、$x(t)$ が微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=\frac{3}{5}x\left(1-\frac{x}{50}\right)-h$$
に従うとする。ここで $h$ は $0$ 以上の実数の定数である。このモデルが正の平衡点（$x^{\ast }>0$ かつ $\frac{dx}{dt}=0$ となる $x^{\ast }$）をもつような $h$ の最大値を求めよ。

ある湖の魚の個体数（単位: 千匹）を $x(t)$（$t\geqq 0$ は時刻、単位は年）とする。この魚はロジスティック成長をし、さらに毎年一定量 $h$（単位: 千匹/年、$h>0$ は定数）が漁獲されるとして、$x(t)$ は微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=2x\left(1-\frac{x}{50}\right)-h$$
に従うとする。この微分方程式が平衡点（$\frac{dx}{dt}=0$ となる定数解 $x=x^{\ast }$、$x^{\ast }$ は実数）をもつような $h$ の最大値を求めよ。

ある森林に生息するシカの個体数（単位: 百頭）を $x(t)$（$t\geqq 0$ は時刻、単位は年）とする。シカはロジスティック成長をし、さらに毎年一定量 $h$（単位: 百頭/年、$h>0$ は定数）が捕獲されるとして、$x(t)$ が微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=\frac{2}{5}x\left(1-\frac{x}{30}\right)-h$$
に従うとする。このモデルが平衡点（$\frac{dx}{dt}=0$ となる実数 $x$）をもつような $h$ の最大値 $h_c$ を求めよ。

化学反応の振動を表す数理モデルとして、次の連立微分方程式を考える（$t$ は時刻、$x(t)$, $y(t)$ は実数値の関数、$b$ は正の定数）。$$\frac{dx}{dt}=2-(b+1)x+x^{2}y,\frac{dy}{dt}=bx-x^{2}y$$ この系の平衡点はただ 1 つである。その平衡点におけるヤコビ行列の固有値が純虚数 $\pm i\omega$（$\omega >0$）となるような $b$ の値と、そのときの $\omega$ を、この順に組 $(b,\omega )$ で求めよ。

ある化学反応に現れる 2 種類の中間生成物の濃度を $x(t),y(t)$（$t$ は時刻、$x>0,y>0$）とする。これらが、正の定数 $b$ を含む連立微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=3-(b+1)x+x^{2}y,\frac{dy}{dt}=bx-x^{2}y$$
に従うとする。この系の平衡点（$x>0,y>0$ の範囲にあるもの）はただ 1 つある。その平衡点でのヤコビ行列の固有値が純虚数 $\pm i\omega$（$\omega >0$）になるような $b$ の値と、そのときの $\omega$ を求め、組 $(b,\omega )$ の形で答えよ。

ある化学反応に現れる 2 種類の中間生成物の濃度を $x(t)$, $y(t)$（$t$ は時刻、$x>0$, $y>0$）とする。これらが、正の定数 $b$ を含む連立微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=2-(b+1)x+x^{2}y,\frac{dy}{dt}=bx-x^{2}y$$
に従うとする。この系の $x>0$ の範囲にある平衡点はただ 1 つである。その平衡点でのヤコビ行列の固有値が純虚数 $\pm i\omega$（$\omega >0$）になるときの $b$ の値と $\omega$ を、この順に組 $(b,\omega )$ で求めよ。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t$ は実数の時刻、$x(t)>0,y(t)>0$）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(3-y),\frac{dy}{dt}=y(2x-4)$$
に従って変化している。この方程式の解の軌道は保存量
$$H(x,y)=2x-4\log x+y-3\log y$$
の値が一定の閉曲線になる（平衡点 $(2,3)$ そのものではないとする）。ある軌道では、その軌道上での $y$ の最大値が $y$ の最小値のちょうど $3$ 倍であった。この軌道上での $y$ の最大値を求めよ。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t$ は実数の時刻、$x(t)>0,y(t)>0$）が、連立微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(6-2y),\frac{dy}{dt}=y(x-2)$$
にしたがうとする。この方程式の保存量
$$H(x,y)=x-2\log x+2y-6\log y$$
は解に沿って一定である。また、平衡点 $(2,3)$ 以外から出発した解の軌道は、平衡点 $(2,3)$ を囲む閉曲線（周期軌道）になることを用いてよい。

ある周期軌道では、軌道上での $y$ の最大値 $Y_{\max }$ が最小値 $Y_{\min }$ のちょうど $3$ 倍であった。このときの $Y_{\max }$ を求めよ。

$t$ を実数の時刻とし、正の値をとる関数 $x(t),y(t)$ が連立微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(6-3y),\frac{dy}{dt}=y(2x-5)$$
に従うとする。この方程式の解の軌道（平衡点以外）は、$xy$ 平面上で内部平衡点のまわりを回る閉曲線になり、$x(t),y(t)$ は周期関数になることが知られている。

ある解について、$y(t)$ の最大値を $Y_{\max }$、最小値を $Y_{\min }$ とすると $Y_{\max }=3Y_{\min }$ が成り立った。このとき $Y_{\max }$ の値を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、ある感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$（単位: 日）における感受性者・感染者・回復者の人口全体に対する割合をそれぞれ $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とし、これらは SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
に従うとする（$\beta >0$, $\gamma >0$ は定数、$s+i+r=1$）。流行の初めの感染者はごくわずかなので、$s(0)=1$, $r(0)=0$ と近似してよい。また、十分時間がたつと流行は終わり、$i(t)\to 0$ となり、$s(t)$, $r(t)$ はそれぞれ $s_{\infty }$, $r_{\infty }$ に収束するものとする。

この感染症では $\gamma =\frac{1}{4}$（1 日あたり）であり、流行が終わった時点で人口全体の $75\%$ が感染を経験していた、すなわち $r_{\infty }=\frac{3}{4}$ であった。このとき、感染率 $\beta$（1 日あたり）の値を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団での感染症の流行を、人口全体に対する割合で表した SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
で考える。ここで $t\geqq 0$ は時刻（単位: 日）、$s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ はそれぞれ感受性者・感染者・回復者の割合で、$s+i+r=1$ を満たす。$\beta >0$ は感染率（単位: 1/日）、回復率は $\gamma =\frac{1}{5}$（単位: 1/日）で、どちらも定数である。

初期条件を $0<\epsilon <1$ として
$$s(0)=1-\epsilon ,i(0)=\epsilon ,r(0)=0$$
とする。このとき、すべての $t\geqq 0$ で $s(t)>0$, $i(t)>0$ であり、$t\to \infty$ で $i(t)\to 0$、$r(t)\to r_{\infty }(\epsilon )$ となるものとする（$r_{\infty }(\epsilon )$ は $\beta$ と $\epsilon$ によって決まる）。

$\beta$ を固定したまま初期の感染者の割合 $\epsilon$ を $0$ に近づけたとき、$\underset{\epsilon \to +0}{\lim }{r}_{\infty }(\epsilon )=\frac{4}{5}$ となった（ごくわずかな感染者から始まった流行で、最終的に人口の $80\%$ が感染を経験した）。このとき感染率 $\beta$ を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団での、ある感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$（単位: 日）における感受性者・感染者・回復者の人口全体に対する割合を $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とする。これらは SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
に従うとする。ここで $\beta >0$, $\gamma >0$ は定数であり、$s+i+r=1$ が常に成り立つ。

初期値は
$$s(0)=\frac{99}{100},i(0)=\frac{1}{100},r(0)=0$$
である。また、$t\to \infty$ のとき $s(t)$, $r(t)$ はそれぞれ極限値 $s_{\infty }$, $r_{\infty }$ に収束し、$i(t)\to 0$ となるものとする。

この感染症の平均感染期間は $5$ 日で、$\gamma =\frac{1}{5}$（$1/\text{日}$）である。流行が終わったとき $r_{\infty }=\frac{3}{4}$ であった。このとき、感染率 $\beta$（$1/\text{日}$）の値を求めよ。

ある多年草の個体群を、年齢により 2 つの階級（第 1 階級: 発芽して 1 年目の株、第 2 階級: 2 年目の株）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の株数を $x_1(t)$, $x_2(t)$ とし、$\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)$ は
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$$
にしたがって推移するとする（1 年目の株は 1 株あたり平均 1 株、2 年目の株は 1 株あたり平均 4 株の新しい株を残し、1 年目の株の $\frac{1}{2}$ が 2 年目まで生き残り、2 年目の株はその年のうちに枯れる）。$\mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{c}10\\ 10\end{array}\right)$ のとき、全体の株数に占める 2 年目の株の割合の極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{x_2(t)}{x_1(t)+x_2(t)}$$
を求めよ。

ある多年草の個体群を、年齢により 2 つの階級（第 1 階級: 1 年目の個体、第 2 階級: 2 年目の個体）に分ける。2 年目の個体は、その年の終わりにすべて枯れるものとする。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を $x_1(t)$, $x_2(t)$ とし、その推移が
$$\left(\begin{array}{c}{x}_1(t+1)\\ x_2(t+1)\end{array}\right)=L\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right),L=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 3\\ \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$$
で表されるとする（1 年目の個体は 1 個体あたり平均 $\frac{1}{2}$ 個体、2 年目の個体は 1 個体あたり平均 $3$ 個体の新しい個体を残し、1 年目の個体が翌年まで生き残る割合は $\frac{1}{2}$ である）。$x_1(0)=10$, $x_2(0)=10$ のとき、全個体数に占める 1 年目の個体の割合の極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{x_1(t)}{x_1(t)+x_2(t)}$$
を求めよ。

ある多年生植物の雌株の個体群を、年齢により 3 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳、第 3 階級: 2 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を $x_1(t)$, $x_2(t)$, $x_3(t)$ とし、$\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\end{array}\right)$ とする。この個体群は
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{ccc}0& 4& 16\\ \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$$
に従って推移するものとし、初期値は $\mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 100\end{array}\right)$ とする。このとき、全個体数に占める第 3 階級の個体数の割合の極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{x_3(t)}{x_1(t)+x_2(t)+x_3(t)}$$
を求めよ。

両端を固定して張った弦の基本振動数 $f$（単位 ${\mathrm{s}}^{-1}$）は、弦の張力 $F$（単位 $\mathrm{N}=\mathrm{kg}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$）、弦の線密度 $\mu$（単位 $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1}$）、弦の長さ $L$（単位 $\mathrm{m}$）だけで決まり、
$$f=C{F}^a{\mu }^b{L}^c$$
と表されるとする。ここで $C$ は値のわからない無次元の正の定数、$a,b,c$ は実数の定数である。

いま、張力を $4$ 倍、線密度を $9$ 倍、長さを $\frac{1}{2}$ 倍にした弦の基本振動数を $f^{\prime }$ とする。$C$ はもとの弦と同じ値であるとして、比 $\frac{f^{\prime }}{f}$ を求めよ。

両端を固定した弦の基本振動数 $f$（単位 ${\mathrm{s}}^{-1}$）は、弦の張力 $S$（単位 $\mathrm{N}=\mathrm{kg}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$）、弦の線密度 $\mu$（単位 $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1}$）、弦の長さ $L$（単位 $\mathrm{m}$）だけで決まり、
$$f=C{S}^{\alpha }{\mu }^{\beta }{L}^{\gamma }$$
と表されるとする。ここで $C$ は値のわからない無次元の正の定数、$\alpha ,\beta ,\gamma$ は実数の定数である。

張力を $3$ 倍、線密度を $\frac{1}{3}$ 倍、長さを $2$ 倍にした弦の基本振動数を $f^{\prime }$ とする。比 $\frac{f^{\prime }}{f}$ を求めよ。

無重力の宇宙船内で、半径 $r$（単位 $\mathrm{m}$）の球形の液滴が表面張力によって小さく振動している。液体の密度を $\rho$（単位 $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$）、表面張力を $\sigma$（単位 $\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-1}=\mathrm{kg}{\mathrm{s}}^{-2}$）とする。振動の周期 $T$（単位 $\mathrm{s}$）は $\rho ,r,\sigma$ だけで決まるとすると、次元解析により
$$T=C{\rho }^{\frac{1}{2}}{r}^{\frac{3}{2}}{\sigma }^{-\frac{1}{2}}$$
が得られる。ここで $C$ は値のわからない正の無次元定数である。

密度は同じで、半径が $4$ 倍、表面張力が $\frac{1}{2}$ 倍の液滴にしたときの周期を $T^{\prime }$ とする。比 $\frac{T^{\prime }}{T}$ を求めよ。

ある動物の雌の個体群を、年齢により 2 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を並べたベクトルを $\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)$ とし、
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{3}& 2\\ \frac{1}{3}& 0\end{array}\right),\mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{c}50\\ 25\end{array}\right)$$
に従って変化するとする。$L$ の固有値は $1$ と $-\frac{2}{3}$ である。総個体数を $N(t)=x_1(t)+x_2(t)$ とするとき、$\underset{t\to \infty }{\lim }N(t)$ を求めよ。ただし個体数は実数値をとるものとして扱ってよい。

ある魚の雌の個体群を年齢により 2 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を $\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)$ とする。これはレスリー行列
$$L=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4}& \frac{3}{2}\\ \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$$
を用いて $\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t)$ に従って変化するものとする。初期値は $\mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{c}10\\ 40\end{array}\right)$ である。総個体数を $N(t)=x_1(t)+x_2(t)$ とするとき、${\lim }_{t\to \infty }N(t)$ を求めよ。ただし、個体数は実数として扱ってよい。

ある魚の雌の個体群を、年齢により 2 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を並べたベクトルを $\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)$ とし、
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 2\\ \frac{1}{4}& 0\end{array}\right)$$
が成り立つとする。初期値は $\mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{c}30\\ 60\end{array}\right)$ である。$L$ の絶対値最大の固有値が ${\lambda }_1=1$ であることを確かめたうえで、${\lambda }_1$ に対する左固有ベクトル（繁殖価）を用いて、総個体数 $N(t)=x_1(t)+x_2(t)$ の極限 $\underset{t\to \infty }{\lim }N(t)$ を求めよ。

ある閉じた集団（出生・死亡・移動はないとする）での感染症の流行を、人口全体に対する割合で表した SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
で表す。ここで $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ はそれぞれ時刻 $t$（単位は日）における感受性者・感染者・回復者の割合で、$s+i+r=1$ を満たし、$\beta >0$, $\gamma >0$ は定数である。

感染者は平均 $5$ 日で回復する（$\gamma =\frac{1}{5}$）とする。流行の始まりでは、ほぼ全員が感受性者であり $s(0)=1$, $r(0)=0$ とみなしてよい。流行が終息した（$t\to \infty$ で $i(t)\to 0$ となった）とき、人口の $\frac{3}{4}$ が感染を経験していた（$r(\infty )=\frac{3}{4}$）。このとき、感染率 $\beta$（単位は $1/$日）の値を求めよ。

重力の影響を無視できる小さな液滴が、表面張力によって振動している。振動数 $f$（単位 ${\mathrm{s}}^{-1}$）は、液体の表面張力 $\sigma$（単位 $\mathrm{kg}{\mathrm{s}}^{-2}$）、液体の密度 $\rho$（単位 $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$）、液滴の半径 $r$（単位 $\mathrm{m}$）だけで決まり、
$$f=C{\sigma }^a{\rho }^b{r}^c$$
（$C$ は次元をもたない正の定数、$a,b,c$ は実数の定数）と表されるとする。両辺の次元（質量・長さ・時間）が一致するという条件から、組 $(a,b,c)$ を求めよ。

ある昆虫の雌の個体群を、年齢により 2 つの階級（第 1 階級: 幼齢個体、第 2 階級: 成熟個体）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を $x_1(t)$, $x_2(t)$ とし、その推移が
$$\left(\begin{array}{c}{x}_1(t+1)\\ x_2(t+1)\end{array}\right)=L\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right),L=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 3\\ \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$$
で表されるとする（第 1 階級・第 2 階級の個体は 1 年あたり平均してそれぞれ $\frac{1}{2}$ 個体・$3$ 個体の雌を産み、第 1 階級の個体の $\frac{1}{2}$ が翌年に第 2 階級へ進み、第 2 階級の個体は翌年までにすべて死亡する）。

初期値を $x_1(0)=20$, $x_2(0)=0$ とするとき、極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{x_1(t)}{x_2(t)}$$
の値を求めよ。

ある魚の個体数（単位: 千匹）を $x(t)$（$t\geqq 0$ は時刻、単位は年）とする。この魚はロジスティック成長をし、さらに毎年一定量が漁獲されるとして、$x(t)$ が微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=x\left(1-\frac{x}{12}\right)-\frac{5}{3}$$
に従うとする（$x\geqq 0$ の範囲で考える）。

$f(x)=x\left(1-\frac{x}{12}\right)-\frac{5}{3}$ とおく。この微分方程式の平衡点（$f(x^{\ast })=0$ を満たす $x^{\ast }$）のうち、線形化による判定で漸近安定であるものを $x^{\ast }$ とするとき、$x^{\ast }$ と $f^{\prime }(x^{\ast })$ の値をこの順に組 $(x^{\ast },f^{\prime }(x^{\ast }))$ で求めよ。

ある動物の個体数密度を $x(t)$（$t\geqq 0$ は時刻）とする。個体数が少なすぎると繁殖相手が見つかりにくくなる効果（アリー効果）を取り入れて、$x(t)$ が微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=\frac{1}{20}x(x-2)(10-x)$$
に従うとする。ここで $x$ は 0 以上の実数とする。

この微分方程式の $x\geqq 0$ における平衡点のうち、漸近安定なものをすべて求めよ。

ある湖の魚の個体数（単位: 千匹）を $x(t)$（$t\geqq 0$ は時刻、単位は年）とする。この魚はロジスティック成長をし、さらに個体数に比例する割合で漁獲されるとして、$x(t)$ が微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=\frac{4}{5}x\left(1-\frac{x}{500}\right)-Ex$$
に従うとする。ここで $E$ は漁獲の強さを表す定数で、$0<E<\frac{4}{5}$ とする。この方程式の正の平衡点 $x^{\ast }$ は安定であり、個体数が $x^{\ast }$ に落ち着いたときの 1 年あたりの漁獲量は $Y(E)=E{x}^{\ast }$ である。$Y(E)$ を最大にする $E$ の値と、そのときの $Y(E)$ の値を、この順に組 $(E,Y)$ で求めよ。

ある鳥の雌の個体群を、年齢により 3 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳、第 3 階級: 2 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を並べたベクトルを $\mathbf{x}(t)={}^t(x_1(t),x_2(t),x_3(t))$ とし、その推移が
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{ccc}0& f& 6\\ \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{3}& 0\end{array}\right)$$
で表されるとする。ここで $f$ は 1 歳の雌 1 羽が 1 年間に残す雌の子の平均数で、正の実数の定数である。

この個体群では、長い時間がたつと総個体数が毎年ほぼ一定の倍率で増加し、その倍率はレスリー行列 $L$ のただ 1 つの正の実数の固有値に等しい。この倍率が $2$ となるような $f$ の値を求めよ。

同じ資源を奪い合う 2 種の生物の個体数密度を $x(t)$, $y(t)$（$t\geqq 0$ は時刻、$x\geqq 0$, $y\geqq 0$）とする。それぞれがロジスティック成長をし、さらに互いの成長を妨げ合うとして、$x(t)$, $y(t)$ が競争系のロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(4-2x-y),\frac{dy}{dt}=y(3-x-y)$$
にしたがうとする。領域 $x\geqq 0$, $y\geqq 0$ にある平衡点のうち、漸近安定なものはただ 1 つである。その平衡点の座標 $(x,y)$ を求めよ。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t\geqq 0$ は時刻）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(6-2y),\frac{dy}{dt}=y(x-4)$$
にしたがい、初期値は $x(0)=1$, $y(0)=1$ であるとする。このとき解は $x>0$, $y>0$ の範囲にとどまり、ある周期 $T>0$ をもつ周期解になることが知られている。1 周期にわたる時間平均
$$\bar{x}=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}x(t)dt,\bar{y}=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}y(t)dt$$
の組 $(\bar{x},\bar{y})$ をこの順に求めよ。

正の定数 $a,b,c,d$ に対し、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$x^{\prime }(t)=x(t)(a-by(t)),y^{\prime }(t)=y(t)(-c+dx(t))$$
を考える。$D=\{(x,y)\mid x>0,y>0\}$ とし、$D$ 上の関数
$$V(x,y)=dx-c\log x+by-a\log y$$
を定める。また $p=\frac{c}{d},q=\frac{a}{b}$ とおく。

区間 $J$ 上で定義された微分可能な解 $(x(t),y(t))$ で、すべての $t\in J$ について $(x(t),y(t))\in D$ を満たすものを考える。このとき、$V(x(t),y(t))$ は $t\in J$ によらず一定であり、さらに $D$ 上で $V(x,y)\ge V(p,q)$ が成り立ち、等号は $(x,y)=(p,q)$ のときに限ることを証明せよ。

ある野生動物の雌の個体群を、年齢により 3 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳、第 3 階級: 2 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を並べたベクトルを $\mathbf{x}(t)$ とし、その推移が
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{ccc}0& 4& 3\\ s& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$$
で表されるとする。ここで $s$ は 0 歳個体が 1 年後に生き残る割合で、$0<s\leqq 1$ を満たす定数である。

$L$ の固有値のうち絶対値が最大のもの（優固有値）は正の実数で、長期的には個体群全体が 1 年ごとにこの優固有値の倍率で増加する。この倍率がちょうど $\frac{3}{2}$ となるような $s$ の値を求めよ。

ある湖の魚の個体数（単位: 千匹）を、世代ごとに $N_t$（$t$ は 0 以上の整数）で表す。この魚は密度効果を受けて増え、その推移が離散時間の個体群モデル（ベバートン・ホルト型モデル）
$$N_{t+1}=f(N_t),f(N)=\frac{5N}{1+\frac{N}{20}}(N\geqq 0)$$
に従うとする。

このモデルの不動点（平衡点、$f(N)=N$ を満たす $N\geqq 0$）のうち、漸近安定であるものはただ 1 つである。それを $N^{\ast }$ とし、$f$ の $N^{\ast }$ における微分係数を $\lambda =f^{\prime }(N^{\ast })$ とする。組 $(N^{\ast },\lambda )$ をこの順に求めよ。

ある生物の雌の個体群を、年齢により 3 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳、第 3 階級: 2 歳）に分け、時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を $x_1(t)$, $x_2(t)$, $x_3(t)$ とする。個体数は
$$\left(\begin{array}{c}{x}_1(t+1)\\ x_2(t+1)\\ x_3(t+1)\end{array}\right)=L\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\end{array}\right),L=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 3\\ \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{3}{4}& 0\end{array}\right)$$
に従って推移するものとする（2 歳の個体は繁殖後に死亡する）。初期値を $x_1(0)=100$, $x_2(0)=0$, $x_3(0)=0$ とするとき、全個体数に占める第 1 階級の個体数の割合の極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{x_1(t)}{x_1(t)+x_2(t)+x_3(t)}$$
を求めよ。

被食者の個体数 $x(t)$ と捕食者の個体数 $y(t)$（$t$ は実数の時刻）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(2-y),\frac{dy}{dt}=y(x-1)$$
に従うとする。初期値は $x(0)>0$, $y(0)>0$ であり、$(x(0),y(0))$ は平衡点ではないとする。このとき解の軌道は第 $1$ 象限内の閉曲線になり、$y(t)$ は周期的に変動して最大値 $Y_{\max }$ と最小値 $Y_{\min }$ をとる。

$Y_{\max }=2Y_{\min }$ となるような軌道について、$Y_{\min }$ の値を求めよ。

ある動物の雌の個体群を年齢により 3 つの階級に分け、時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を並べたベクトルを $\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\end{array}\right)$ とする。個体数は実数値をとるものとして扱い、その推移は
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 4\\ \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{4}& 0\end{array}\right)$$
で与えられるとする。初期値が $\mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{c}20\\ 40\\ 10\end{array}\right)$ のとき、総個体数 $N(t)=x_1(t)+x_2(t)+x_3(t)$ の極限 $\underset{t\to \infty }{\lim }N(t)$ を求めよ。

質量 $m$（単位 $\mathrm{kg}$）の小物体が、直線上で原点からの変位 $x$（単位 $\mathrm{m}$）に対して復元力 $-k{x}^3$ を受けて運動する。ここで $k$ は正の定数で、運動方程式は
$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-k{x}^3$$
である（$t$ は時刻、単位 $\mathrm{s}$）。小物体を $x=A$（$A>0$）で静かに放すと周期運動をし、その周期 $T$ は $m$, $k$, $A$ だけで決まり、正の無次元定数 $C$ を用いて
$$T=C{m}^{\alpha }{k}^{\beta }{A}^{\gamma }$$
と表されるものとする。

$k$ は変えずに、質量を $4m$、放す位置を $x=3A$ に変えたときの周期を $T^{\prime }$ とする。比 $\frac{T^{\prime }}{T}$ を求めよ。

ある鳥の雌の個体群を、年齢により 3 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳、第 3 階級: 2 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を並べたベクトルを $\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\end{array}\right)$ とし、その推移が
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$$
で表されるとする（個体数は実数値をとってよいものとする）。初期値が $x_1(0)=100$, $x_2(0)=40$, $x_3(0)=20$ のとき、極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }(x_1(t)+x_2(t)+x_3(t))$$
を求めよ。

ある魚の雌の個体群を、年齢により 3 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳、第 3 階級: 2 歳）に分け、時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数をそれぞれ $x_1(t)$, $x_2(t)$, $x_3(t)$ とする。この魚について、次のことがわかっている。
- 1 年間に、1 歳の雌 1 匹は平均 $4$ 匹、2 歳の雌 1 匹は平均 $16$ 匹の雌の 0 歳個体を残す。0 歳の個体は子を残さない。
- 漁獲がなければ、0 歳の個体が 1 年後に生き残って 1 歳になる割合は $\frac{1}{2}$、1 歳の個体が 1 年後に 2 歳になる割合は $\frac{1}{2}$ である。2 歳の個体は 1 年後には残らない。

ここで、毎年 0 歳の個体だけを対象に漁獲を行い、0 歳の個体が 1 歳になるまでに、漁獲がない場合に生き残るはずだった個体のうち割合 $h$（$0\le h<1$）が取り除かれるとする。このとき、$\mathbf{x}(t)={}^t(x_1(t),x_2(t),x_3(t))$ は
$$\mathbf{x}(t+1)=L_h\mathbf{x}(t),L_h=\left(\begin{array}{ccc}0& 4& 16\\ \frac{1-h}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$$
にしたがって推移する。$L_h$ の正の実数の固有値（ただ 1 つ存在する）がちょうど $1$ となり、個体群が長期的に増えも減りもしなくなるような $h$ の値を求めよ。

正の定数 $N,\beta ,\gamma$ に対し、SIR モデル
$$S^{\prime }(t)=-\frac{\beta }{N}S(t)I(t),I^{\prime }(t)=\frac{\beta }{N}S(t)I(t)-\gamma I(t),R^{\prime }(t)=\gamma I(t)$$
を初期条件 $S(0)=S_0,I(0)=I_0,R(0)=0$（ただし $S_0>0,I_0>0,S_0+I_0=N$）のもとで考え、基本再生産数を $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ とおく。

この初期値問題の解 $(S(t),I(t),R(t))$ が $t\ge 0$ で一意に存在して $C^1$ 級であり、すべての $t\ge 0$ で $S(t)>0,I(t)>0$ であることは用いてよい。

このとき、極限 $S_{\infty }=\underset{t\to \infty }{\lim }S(t)$ が存在して
$$0<S_{\infty }<\frac{N}{R_0}$$
を満たすことを証明せよ。

正の定数 $r,K,H$ が $H<\frac{rK}{4}$ を満たすとし、一定量の捕獲をともなう個体群モデル
$$x^{\prime }(t)=rx(t)\left(1-\frac{x(t)}{K}\right)-H(1)$$
を考える。右辺 $f(x)=rx\left(1-\frac{x}{K}\right)-H$ の 2 つの零点を
$$p=\frac{K}{2}\left(1-\sqrt{1-\frac{4H}{rK}}\right),q=\frac{K}{2}\left(1+\sqrt{1-\frac{4H}{rK}}\right)$$
とおく（$0<p<q$）。

次の 2 つの事実は用いてよい。
- (A) 任意の実数 $x_0$ と $t_0$ に対し、$x(t_0)=x_0$ を満たす $(1)$ の解は（定義される範囲で）ただ 1 つである。
- (B) $(1)$ の解 $x(t)$ が、それが定義される $t\ge 0$ の範囲で有界閉区間に含まれ続けるならば、その解は $t\ge 0$ 全体に延長できる。

初期値 $x(0)=x_0$ が $x_0>p$ を満たすとき、$(1)$ の解は $t\ge 0$ 全体で定義されて $\underset{t\to \infty }{\lim }x(t)=q$ となることを証明せよ。

恒星のまわりを回る惑星の公転周期 $T$ が、万有引力定数 $G$、恒星の質量 $M$、惑星の質量 $m$、軌道長半径 $a$ だけで決まるとし、$T=F(G,M,m,a)$ と書く。ここで $F:(0,\infty {)}^4\to (0,\infty )$ は関数である。

各量の次元は $[G]={\mathrm{L}}^3{\mathrm{M}}^{-1}{\mathrm{T}}^{-2}$、$[M]=[m]=\mathrm{M}$、$[a]=\mathrm{L}$、$[T]=\mathrm{T}$ である。長さ・質量・時間の単位をそれぞれ $\frac{1}{{\lambda }_L},\frac{1}{{\lambda }_M},\frac{1}{{\lambda }_T}$ 倍に取り替えると（${\lambda }_L,{\lambda }_M,{\lambda }_T>0$）、各量の数値は次元に応じて $G\mapsto {\lambda }_L^3{\lambda }_M^{-1}{\lambda }_T^{-2}G$、$M\mapsto {\lambda }_{M}M$、$m\mapsto {\lambda }_{M}m$、$a\mapsto {\lambda }_{L}a$、$T\mapsto {\lambda }_{T}T$ と変わる。関係 $T=F(G,M,m,a)$ が単位の取り方によらず成り立つという要請を、次の条件 $(\ast )$ で表す。
$$(\ast )F({\lambda }_L^3{\lambda }_M^{-1}{\lambda }_T^{-2}G,{\lambda }_{M}M,{\lambda }_{M}m,{\lambda }_{L}a)={\lambda }_{T}F(G,M,m,a)(\text{すべての }G,M,m,a,{\lambda }_L,{\lambda }_M,{\lambda }_T>0)$$

関数 $F:(0,\infty {)}^4\to (0,\infty )$ が $(\ast )$ を満たすための必要十分条件は、ある関数 $\Phi :(0,\infty )\to (0,\infty )$ が存在して、すべての $G,M,m,a>0$ に対し
$$F(G,M,m,a)=\sqrt{\frac{a^3}{GM}}\Phi \left(\frac{m}{M}\right)$$
が成り立つことである。これを証明せよ。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t$ は実数の時刻）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(a-by),\frac{dy}{dt}=y(cx-d)$$
にしたがうとする。ここで $a,b,c,d$ は正の定数であるが、その値はわかっていない。

ある観測で、解 $(x(t),y(t))$ はつねに $x(t)>0,y(t)>0$ を満たし、定数でない周期 $T(>0)$ の周期解であった。また、1 周期の間に $x(t)$ がとる最小値は $2$、最大値は $8$ であった。

このとき、被食者の個体数密度の 1 周期にわたる時間平均
$$\frac{1}{T}{\int }_0^{T}x(t)dt$$
を求めよ。

同じ資源をめぐって競争する 2 種の生物の個体数密度を $x(t),y(t)$（$t$ は時刻、$x\geqq 0,y\geqq 0$）とする。これらが、ロジスティック方程式に種間競争の項を加えた競争モデル
$$\frac{dx}{dt}=x(6-2x-y),\frac{dy}{dt}=y(5-x-2y)$$
に従うとする。

領域 $x\geqq 0,y\geqq 0$ にあるこの系の平衡点をすべて求め、各平衡点でのヤコビ行列の固有値を調べると、線形化によって漸近安定と判定される平衡点がちょうど 1 つある。その平衡点におけるヤコビ行列の固有値の集合を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、ある感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$ における感受性者・感染者・免疫保持者（回復者とワクチン接種者）の人口全体に対する割合を、それぞれ $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とする。これらは $s+i+r=1$ を満たし、正の定数 $\beta ,\gamma$ を用いた SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
に従うとする。$\beta ,\gamma$ の値は分かっていない。

ある地域では、流行の前に人口の $\frac{2}{5}$ がワクチンを接種して免疫をもっていた（ワクチンの効果は完全で、接種者は $r$ に含める）。流行のはじめの感染者はごくわずかであり、以下の計算では $s(0)=\frac{3}{5}$, $i(0)=0$, $r(0)=\frac{2}{5}$ とみなしてよい。流行が終わった後（$t\to \infty$）の調査で、この流行の間に感染した人の割合は人口全体の $\frac{3}{10}$ であった。