数理モデルの問題

ある鳥の雌の個体群を、年齢により 3 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳、第 3 階級: 2 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を並べたベクトルを $\mathbf{x}(t)={}^t(x_1(t),x_2(t),x_3(t))$ とし、その推移が
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{ccc}0& f& 6\\ \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{3}& 0\end{array}\right)$$
で表されるとする。ここで $f$ は 1 歳の雌 1 羽が 1 年間に残す雌の子の平均数で、正の実数の定数である。

この個体群では、長い時間がたつと総個体数が毎年ほぼ一定の倍率で増加し、その倍率はレスリー行列 $L$ のただ 1 つの正の実数の固有値に等しい。この倍率が $2$ となるような $f$ の値を求めよ。

ある鳥の雌の個体群を、年齢により 3 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳、第 3 階級: 2 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を並べたベクトルを $\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\end{array}\right)$ とし、その推移が
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$$
で表されるとする（個体数は実数値をとってよいものとする）。初期値が $x_1(0)=100$, $x_2(0)=40$, $x_3(0)=20$ のとき、極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }(x_1(t)+x_2(t)+x_3(t))$$
を求めよ。

ある動物の雌の個体群を、年齢により 2 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を並べたベクトルを $\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)$ とし、
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{3}& 2\\ \frac{1}{3}& 0\end{array}\right),\mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{c}50\\ 25\end{array}\right)$$
に従って変化するとする。$L$ の固有値は $1$ と $-\frac{2}{3}$ である。総個体数を $N(t)=x_1(t)+x_2(t)$ とするとき、$\underset{t\to \infty }{\lim }N(t)$ を求めよ。ただし個体数は実数値をとるものとして扱ってよい。

ある魚の雌の個体群を、年齢により 2 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を並べたベクトルを $\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)$ とし、
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 2\\ \frac{1}{4}& 0\end{array}\right)$$
が成り立つとする。初期値は $\mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{c}30\\ 60\end{array}\right)$ である。$L$ の絶対値最大の固有値が ${\lambda }_1=1$ であることを確かめたうえで、${\lambda }_1$ に対する左固有ベクトル（繁殖価）を用いて、総個体数 $N(t)=x_1(t)+x_2(t)$ の極限 $\underset{t\to \infty }{\lim }N(t)$ を求めよ。

ある動物の雌の個体群を年齢により 3 つの階級に分け、時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を並べたベクトルを $\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\end{array}\right)$ とする。個体数は実数値をとるものとして扱い、その推移は
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 4\\ \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{4}& 0\end{array}\right)$$
で与えられるとする。初期値が $\mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{c}20\\ 40\\ 10\end{array}\right)$ のとき、総個体数 $N(t)=x_1(t)+x_2(t)+x_3(t)$ の極限 $\underset{t\to \infty }{\lim }N(t)$ を求めよ。