レスリー行列の優越固有値と安定年齢分布

レスリー行列の特性方程式を解いて絶対値最大の正の固有値 $λ_{1}$ （長期の成長率）を求め、その固有ベクトルから安定年齢分布を求めて、 $lim_{t \to \infty} \frac{x _{1} ( t )}{x _{2} ( t )}$ や全体に占める割合の極限を求められる

前提

レスリー行列による人口の推移（大学数学数理モデル）
対角化と行列の累乗（大学数学線形代数）

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算数中学高校大学大学院

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対角化と行列の累乗（大学数学線形代数）

説明

レスリー行列 $L$ を使って $x (t + 1) = L x (t)$ をくり返すとき、何年も先の個体数を一つずつ計算しなくても、長期の振る舞いを知ることができます。多くの場合、集団全体は長期的に毎年ほぼ一定の倍率 $λ_{1}$ で増減します。各年齢階級の比率も、初期値によらない一定の比に近づきます。この比を安定年齢分布といいます。この技能では、特性方程式から $λ_{1}$ を求め、その固有ベクトルから $lim_{t \to \infty} \frac{x _{1} ( t )}{x _{2} ( t )}$ や「全体に占める割合」の極限を求めます。

なぜそうしてよいのか

$n$ 階級のレスリー行列は次の形をしています。第 1 行に出生率 $f_{1}, \dots, f_{n}$ 、副対角成分（ $(k + 1, k)$ 成分）に生存率 $s_{1}, \dots, s_{n - 1}$ が並び、それ以外の成分は $0$ です。以下では $f_{k} \geq 0$ 、 $f_{n} > 0$ 、 $s_{k} > 0$ を仮定します。 $f_{1} = 0$ のような $0$ の出生率があってもかまいません。

特性方程式と固有ベクトル

固有値 $λ$ の固有ベクトルを $v = (v_{1}, \dots, v_{n})$ とすると、第 2 行以下から $s_{k} v_{k} = λ v_{k + 1}$ が成り立ちます。 $λ \neq = 0$ のとき、 $v_{1} = 0$ ならすべての成分が $0$ になってしまうので、 $v_{1} = 1$ とおけます。すると $v = (1, \frac{s _{1}}{λ}, \frac{s _{1} s _{2}}{λ ^{2}}, \dots)$ と決まります。これを第 1 行 $f_{1} v_{1} + \dots + f_{n} v_{n} = λ v_{1}$ に代入し、両辺を $λ^{n - 1}$ 倍すると $p (λ) = λ^{n} - f_{1} λ^{n - 1} - f_{2} s_{1} λ^{n - 2} - \dots - f_{n} s_{1} \dots s_{n - 1} = 0$ が得られます。

この $p (λ)$ は $det (λ I - L)$ そのものです。 $λ I - L$ を第 1 行で余因子展開すると、 $(1, k)$ 小行列式は三角型になり、値は $(- s_{1}) \dots (- s_{k - 1}) λ^{n - k}$ です。符号 $(- 1)^{1 + k}$ と第 1 行の成分 $λ δ_{1 k} - f_{k}$ （ $δ_{11} = 1$ 、 $k \geq 2$ では $δ_{1 k} = 0$ ）を掛けて足すと、 $p (λ)$ に一致します。また、定数項 $- f_{n} s_{1} \dots s_{n - 1}$ は $0$ でないので、 $λ = 0$ は根になりません。

両辺を $λ^{n}$ で割ると $1 = \sum_{k = 1}^{n} f_{k} s_{1} \dots s_{k - 1} λ^{- k}$ です（ $k = 1$ の項は $f_{1} λ^{- 1}$ と読みます）。 $λ > 0$ では、右辺の各項は $0$ 以上で増えることがありません。 $f_{n} > 0$ の項は狭義に減少するので、右辺全体も狭義に減少します。さらに右辺は $λ \to 0^{+}$ で $+ \infty$ 、 $λ \to + \infty$ で $0$ に近づきます。したがって正の根はちょうど 1 つあり、これを $λ_{1}$ とします。このとき $v_{1}$ の成分はすべて正です。

長期の振る舞い

$L$ の固有値が相異なれば $L$ は対角化でき、 $x (0) = c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n}$ と分解できます。すると $x (t) = c_{1} λ_{1}^{t} v_{1} + \dots + c_{n} λ_{n}^{t} v_{n}$ です。ほかの固有値がすべて $∣ λ_{i} ∣ < λ_{1}$ を満たし、かつ $c_{1} \neq = 0$ なら、 $(λ_{i} / λ_{1})^{t} \to 0$ より $\frac{x ( t )}{λ _{1}^{t}} \to c_{1} v_{1}$ となります。よって成分どうしの比は $v_{1}$ の成分の比に収束します。

ただし $∣ λ_{i} ∣ < λ_{1}$ はいつも成り立つわけではありません。上の仮定（ $f_{k} \geq 0$ 、 $f_{n} > 0$ 、 $s_{k} > 0$ ）のもとでは、次のことが知られています。 $f_{k} > 0$ となる番号 $k$ 全体の最大公約数が $1$ ならば、 $∣ λ_{i} ∣ < λ_{1}$ が成り立ちます。たとえば $f_{k} > 0$ かつ $f_{k + 1} > 0$ となる連続した番号があれば、この条件を満たします。逆に最大公約数が $2$ 以上なら、 $λ_{1}$ と絶対値の等しい別の固有値があり、比は振動します。具体的な問題では、根を直接求めて確かめるのが確実です。

$c_{1} \neq = 0$ の確かめ方

$w^{T} L = λ_{1} w^{T}$ を満たす $w$ をとります。すると $λ_{1} w^{T} v_{i} = w^{T} L v_{i} = λ_{i} w^{T} v_{i}$ なので、 $i \neq = 1$ では $w^{T} v_{i} = 0$ です。したがって $c_{1} = \frac{w ^{T} x ( 0 )}{w ^{T} v _{1}}$ となります。

$w$ の成分は次のように決まります。列ごとに見ると $f_{n} w_{1} = λ_{1} w_{n}$ 、 $f_{k} w_{1} + s_{k} w_{k + 1} = λ_{1} w_{k}$ です。 $w_{1} = 1$ とおくと、まず $w_{n} = \frac{f _{n}}{λ _{1}} > 0$ です。そこから $k$ の大きい方から順に、すべての $w_{k} > 0$ がわかります。よって $x (0)$ が $0$ でない非負ベクトルなら $c_{1} > 0$ です。

手順

特性方程式を立てる: $det (λ I - L) = λ^{n} - f_{1} λ^{n - 1} - f_{2} s_{1} λ^{n - 2} - \dots - f_{n} s_{1} \dots s_{n - 1} = 0$
ただ 1 つの正の根 $λ_{1}$ を求める。残りの根（負の根・複素根も含む）もすべて求める。根が相異なること（対角化できること）と、すべて $∣ λ_{i} ∣ < λ_{1}$ であることを確かめる
$λ_{1}$ の固有ベクトルを書く: $v_{1} = (1, \frac{s _{1}}{λ _{1}}, \frac{s _{1} s _{2}}{λ _{1}^{2}}, \dots)$
$c_{1} \neq = 0$ を確かめる: $w^{T} L = λ_{1} w^{T}$ となる $w$ を求め、 $c_{1} = \frac{w ^{T} x ( 0 )}{w ^{T} v _{1}} \neq = 0$ を確認する
極限を読み取る: $\frac{x _{i} ( t )}{x _{j} ( t )} \to \frac{v _{i}}{v _{j}}$ となる。全体に占める割合は $\frac{x _{i} ( t )}{\sum _{k} x _{k} ( t )} \to \frac{v _{i}}{\sum _{k} v _{k}}$ となる

例題

レスリー行列 $L = 0 \frac{1}{2} 0 40 \frac{1}{4} 300$ と初期値 $x (0) = (8, 0, 0)^{T}$ に対し、 $x (t + 1) = L x (t)$ で定まる $x (t) = (x_{1} (t), x_{2} (t), x_{3} (t))^{T}$ について、 $t \to \infty lim \frac{x _{1} ( t )}{x _{1} ( t ) + x _{2} ( t ) + x _{3} ( t )}$ を求めよ。

例題の解答

$f_{1} = 0$ 、 $f_{2} = 4$ 、 $f_{3} = 3$ 、 $s_{1} = \frac{1}{2}$ 、 $s_{2} = \frac{1}{4}$ であり、 $f_{3} > 0$ なので仮定を満たす。

【手順1】特性方程式は $λ^{3} - 0 \cdot λ^{2} - 4 \cdot \frac{1}{2} λ - 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = λ^{3} - 2 λ - \frac{3}{8} = 0$ である。8 倍して $8 λ^{3} - 16 λ - 3 = 0$ を得る。

【手順2】 $8 λ^{3} - 16 λ - 3 = (2 λ - 3) (4 λ^{2} + 6 λ + 1)$ と因数分解できる。よって根は $λ_{1} = \frac{3}{2}$ と $λ = \frac{- 3 \pm 5}{4}$ である。後者はどちらも負の実数で、絶対値は $\frac{3 + 5}{4} \approx 1.31$ と $\frac{3 - 5}{4} \approx 0.19$ である。どちらも $\frac{3}{2}$ より小さい（ $f_{2}, f_{3} > 0$ が連続していることとも整合する）。3 つの根は相異なるので、 $L$ は対角化できる。

【手順3】 $v_{1} = (1, \frac{1/2}{3/2}, \frac{1/8}{9/4}) = (1, \frac{1}{3}, \frac{1}{18})$ である。

【手順4】 $w^{T} L = \frac{3}{2} w^{T}$ を列ごとに書く。第 1 列は $\frac{1}{2} w_{2} = \frac{3}{2} w_{1}$ 、第 3 列は $3 w_{1} = \frac{3}{2} w_{3}$ である。 $w_{1} = 1$ とおくと $w = (1, 3, 2)$ となる。第 2 列も $4 \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{9}{2} = \frac{3}{2} \cdot 3$ で成り立つ。 $w^{T} v_{1} = 1 + 1 + \frac{1}{9} = \frac{19}{9}$ より、 $c_{1} = \frac{8}{19/9} = \frac{72}{19} \neq = 0$ である。

【手順5】 $\frac{x ( t )}{( 3/2 ) ^{t}} \to c_{1} v_{1}$ である。したがって求める極限は $\frac{1}{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{18}} = \frac{1}{\frac{25}{18}} = \frac{18}{25}$ である。

答え: $\frac{18}{25}$

よくある誤り

固有ベクトルの成分を $(1, \frac{λ _{1}}{s _{1}}, \dots)$ と逆数にしてしまう誤り。正しくは、第 2 行以下の式 $s_{k} v_{k} = λ_{1} v_{k + 1}$ から $\frac{v _{k + 1}}{v _{k}} = \frac{s _{k}}{λ _{1}}$ となる。例題では $\frac{x _{2}}{x _{1}} \to \frac{1}{3}$ であり、 $3$ ではない。
正の根 $λ_{1}$ を見つけただけで、ほかの根（負の根・複素根）の絶対値を調べずに「比は収束する」と結論してしまう誤り。例: $L = 0 \frac{1}{2} 0 00 \frac{1}{3} 600$ の特性方程式は $λ^{3} - 1 = 0$ で、正の根は $1$ である。しかし残りの根 $\frac{- 1 \pm 3 i}{2}$ も絶対値が $1$ である。実際 $x (0) = (1, 0, 0)$ から計算すると $(0, \frac{1}{2}, 0), (0, 0, \frac{1}{6}), (1, 0, 0), \dots$ と周期 3 で巡回する。そのため $\frac{x _{1}}{x _{1} + x _{2} + x _{3}}$ は $1, 0, 0, 1, \dots$ と振動し、収束しない。正しくは、すべての根を求めて $∣ λ_{i} ∣ < λ_{1}$ を確かめる。
割合の極限を求めるときに正規化を忘れ、 $v_{1}$ の成分 $1$ をそのまま答えてしまう誤り。正しくは成分の和で割り、 $\frac{v _{1}}{v _{1} + v _{2} + v _{3}} = \frac{1}{25/18} = \frac{18}{25}$ とする。
$x_{i} (t)$ そのものが $v_{i}$ に収束すると考えてしまう誤り。正しくは $x (t) \approx c_{1} λ_{1}^{t} v_{1}$ であり、個体数自体は $λ_{1}^{t}$ の速さで増減する（例題では $(\frac{3}{2})^{t}$ 倍で増える）。収束するのは、比 $\frac{x _{i} ( t )}{x _{j} ( t )}$ 、割合、そして $\frac{x ( t )}{λ _{1}^{t}}$ である。ただし $c_{1} \neq = 0$ のときに限る。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

左固有ベクトルを使った個体数の極限（大学数学数理モデル）