左固有ベクトルを使った個体数の極限

$λ_{1}$ に対する左固有ベクトル $v$ （繁殖価）と右固有ベクトル $w$ を使い、 $λ_{1}^{- t} x (t) \to \frac{v \cdot x ( 0 )}{v \cdot w} w$ から、 $λ_{1} = 1$ のときの総個体数の極限 $lim_{t \to \infty} N (t)$ などを求められる

前提

レスリー行列の優越固有値と安定年齢分布（大学数学数理モデル）

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算数中学高校大学大学院

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レスリー行列の優越固有値と安定年齢分布（大学数学数理モデル）

説明

レスリー行列 $L$ による推移 $x (t + 1) = L x (t)$ では、長い時間がたつと年齢分布の「形」は右固有ベクトル $w$ （安定年齢分布）に近づきます。この技能では、さらに「どれだけの量に落ち着くか」を、左固有ベクトル $v$ （繁殖価）を使って求めます。特に優越固有値が $λ_{1} = 1$ のときは個体数そのものが一定の値に収束するので、総個体数の極限 $lim_{t \to \infty} N (t)$ を具体的な数として求められます。

なぜそうしてよいのか

行ベクトル $v^{T}$ が $v^{T} L = λ_{1} v^{T}$ を満たすとき、 $v$ （ $\neq = 0$ ）を $λ_{1}$ に対する左固有ベクトルといいます。 $L^{T}$ を $L$ の行と列を入れ替えた転置行列とすると、この条件は $L^{T} v = λ_{1} v$ と同じです。 $det (L^{T} - λ E) = det (L - λ E)$ なので $L^{T}$ も $λ_{1}$ を固有値にもち、左固有ベクトルは必ず存在します。以下、 $a \cdot b$ は成分どうしの積の和 $a^{T} b$ を表します（成分が複素数でも共役はとりません）。左固有ベクトルの大事な性質は $v \cdot x (t + 1) = v^{T} L x (t) = λ_{1} v \cdot x (t)$ 、つまり $v \cdot x (t) = λ_{1}^{t} v \cdot x (0)$ となることです。 $v_{i}$ は「年齢階級 $i$ の 1 個体が将来の個体数にどれだけ寄与するか」を表す重み（繁殖価）で、 $λ_{1} = 1$ なら重み付きの合計 $v \cdot x (t)$ は時間がたっても変わりません。

理由を、 $L$ が対角化可能で、固有値が $λ_{1} > 0$ と $∣ λ_{i} ∣ < λ_{1}$ （ $i \geq 2$ ）を満たす $λ_{2}, \dots, λ_{n}$ 、対応する固有ベクトル $w, u_{2}, \dots, u_{n}$ が基底をなす場合で見ます。 $x (0) = c_{1} w + \sum_{i \geq 2} c_{i} u_{i}$ と書くと $λ_{1}^{- t} x (t) = c_{1} w + \sum_{i \geq 2} c_{i} (λ_{i} / λ_{1})^{t} u_{i} \to c_{1} w$ です。残る問題は $c_{1}$ の求め方です。 $i \geq 2$ について $λ_{1} (v \cdot u_{i}) = v^{T} L u_{i} = λ_{i} (v \cdot u_{i})$ で $λ_{i} \neq = λ_{1}$ だから $v \cdot u_{i} = 0$ 。よって $v \cdot x (0) = c_{1} v \cdot w$ です。もし $v \cdot w = 0$ なら、基底のすべての元 $u$ に対して $v \cdot u = 0$ となり、任意のベクトルとの積が 0 なので $v = 0$ となって矛盾します。したがって $v \cdot w \neq = 0$ で割ることができ $c_{1} = \frac{v \cdot x ( 0 )}{v \cdot w}, λ_{1}^{- t} x (t) \to \frac{v \cdot x ( 0 )}{v \cdot w} w$ が得られます。

直観的には「最終的な形は $w$ の向きで、量は保存量 $v \cdot x$ がつじつま合うように決まる」ということです。 $λ_{1} = 1$ なら、極限 $c w$ は $v \cdot (c w) = v \cdot x (0)$ を満たすはずだ、と考えても同じ式になります。なお対角化できない場合でも、 $λ_{1}$ が重複のない固有値で、他の固有値の絶対値が $λ_{1}$ より真に小さければ、同じ結論が成り立ちます（証明は省略）。

手順

特性方程式 $det (λ E - L) = 0$ を解いて優越固有値 $λ_{1}$ を求め、他の固有値の絶対値が $λ_{1}$ より真に小さいことを確かめる
右固有ベクトル $w$ を $(L - λ_{1} E) w = 0$ から求める（安定年齢分布の向き）
左固有ベクトル $v$ を $(L^{T} - λ_{1} E) v = 0$ 、すなわち $v^{T} L = λ_{1} v^{T}$ から求める（繁殖価）
係数 $c = \frac{v \cdot x ( 0 )}{v \cdot w}$ を計算する
$λ_{1}^{- t} x (t) \to c w$ を使う。 $λ_{1} = 1$ なら $x (t) \to c w$ なので $lim_{t \to \infty} N (t) = c (w_{1} + \dots + w_{n})$

例題

2 つの年齢階級からなる個体群が $x (t + 1) = L x (t)$ 、 $L = (\frac{1}{3} \frac{1}{2} \frac{4}{3} 0)$ にしたがって推移し、初期値は $x (0) = (26)$ である。総個体数 $N (t) = x_{1} (t) + x_{2} (t)$ について $lim_{t \to \infty} N (t)$ を求めよ。

例題の解答

手順 1： $det (λ E - L) = λ (λ - \frac{1}{3}) - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} = λ^{2} - \frac{1}{3} λ - \frac{2}{3} = (λ - 1) (λ + \frac{2}{3}) = 0$ より固有値は $1, - \frac{2}{3}$ 。 $- \frac{2}{3} < 1$ なので $λ_{1} = 1$ が優越固有値です。

手順 2： $L w = w$ の第 2 行から $\frac{1}{2} w_{1} = w_{2}$ 。 $w = (21)$ ととれます（第 1 行 $\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2$ も成立）。

手順 3： $L^{T} = (\frac{1}{3} \frac{4}{3} \frac{1}{2} 0)$ で、 $L^{T} v = v$ の第 2 行から $\frac{4}{3} v_{1} = v_{2}$ 。 $v = (34)$ ととれます（第 1 行 $1 + 2 = 3$ も成立）。

手順 4： $v \cdot x (0) = 3 \cdot 2 + 4 \cdot 6 = 30$ 、 $v \cdot w = 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 10$ より $c = \frac{30}{10} = 3$ 。

手順 5： $λ_{1} = 1$ なので $x (t) \to 3 (21) = (63)$ 、よって $lim_{t \to \infty} N (t) = 6 + 3 = 9$ 。

（確認： $x (1) = L x (0) = (26/3 1)$ で $v \cdot x (1) = 26 + 4 = 30$ と保存されており、極限 $(6, 3)$ でも $18 + 12 = 30$ です。初期の総数 $8$ は保存されず、 $9$ に近づきます。）

答え: $9$

よくある誤り

$λ_{1} = 1$ だから総個体数 $N (t)$ が保存されると考え、 $w$ を合計が $N (0) = 8$ になるよう伸ばして $lim N (t) = 8$ としてしまう誤り。正しくは保存されるのは繁殖価で重み付けした $v \cdot x (t)$ で、 $c = \frac{v \cdot x ( 0 )}{v \cdot w} = 3$ より $lim N (t) = 9$ 。
左固有ベクトルの代わりに右固有ベクトルを使い $c = \frac{w \cdot x ( 0 )}{w \cdot w} = \frac{10}{5} = 2$ としてしまう誤り（ $L v = λ_{1} v$ を解いてしまうのも同じ誤り）。正しくは $L^{T} v = λ_{1} v$ を解いた $v = (3, 4)$ を使う。 $L$ が対称でない限り、 $v$ と $w$ は一般に向きが違う。
分母 $v \cdot w$ を忘れて極限を $(v \cdot x (0)) w = 30 (21)$ 、 $N \to 90$ としてしまう誤り。正しくは $\frac{v \cdot x ( 0 )}{v \cdot w} w$ で、この形なら $v, w$ を何倍（0 以外）にとっても結果は変わらない。
$λ_{1} \neq = 1$ のときにも $lim N (t) = c (w_{1} + \dots + w_{n})$ としてしまう誤り。正しくは収束するのは $λ_{1}^{- t} x (t)$ であり、有限の値になるのは $lim_{t \to \infty} λ_{1}^{- t} N (t) = c (w_{1} + \dots + w_{n})$ の方。 $N (t)$ 自体は、 $0 < λ_{1} < 1$ なら $N (t) = λ_{1}^{t} \cdot λ_{1}^{- t} N (t)$ で後ろの因子が収束するので、 $c$ の符号に関係なく $N (t) \to 0$ 。 $λ_{1} > 1$ なら、 $S = w_{1} + \dots + w_{n}$ として一般に $c S \neq = 0$ のとき $∣ N (t) ∣ \to \infty$ で、 $N (t) \to \infty$ となるのは $c S > 0$ （たとえば $v \cdot x (0)$ と $v \cdot w$ が正で $S > 0$ ）の場合。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

左固有ベクトルを使った個体数の極限

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

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