数理モデルの問題

ある魚の雌の個体群を年齢により 2 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を $\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)$ とする。これはレスリー行列
$$L=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4}& \frac{3}{2}\\ \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$$
を用いて $\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t)$ に従って変化するものとする。初期値は $\mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{c}10\\ 40\end{array}\right)$ である。総個体数を $N(t)=x_1(t)+x_2(t)$ とするとき、${\lim }_{t\to \infty }N(t)$ を求めよ。ただし、個体数は実数として扱ってよい。

ある魚の雌の個体群を、年齢により 2 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を並べたベクトルを $\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)$ とし、
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 2\\ \frac{1}{4}& 0\end{array}\right)$$
が成り立つとする。初期値は $\mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{c}30\\ 60\end{array}\right)$ である。$L$ の絶対値最大の固有値が ${\lambda }_1=1$ であることを確かめたうえで、${\lambda }_1$ に対する左固有ベクトル（繁殖価）を用いて、総個体数 $N(t)=x_1(t)+x_2(t)$ の極限 $\underset{t\to \infty }{\lim }N(t)$ を求めよ。

ある多年生植物の雌株の個体群を、年齢により 3 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳、第 3 階級: 2 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を $x_1(t)$, $x_2(t)$, $x_3(t)$ とし、$\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\end{array}\right)$ とする。この個体群は
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{ccc}0& 4& 16\\ \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$$
に従って推移するものとし、初期値は $\mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 100\end{array}\right)$ とする。このとき、全個体数に占める第 3 階級の個体数の割合の極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{x_3(t)}{x_1(t)+x_2(t)+x_3(t)}$$
を求めよ。

ある動物の雌の個体群を年齢により 3 つの階級に分け、時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を並べたベクトルを $\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\end{array}\right)$ とする。個体数は実数値をとるものとして扱い、その推移は
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 4\\ \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{4}& 0\end{array}\right)$$
で与えられるとする。初期値が $\mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{c}20\\ 40\\ 10\end{array}\right)$ のとき、総個体数 $N(t)=x_1(t)+x_2(t)+x_3(t)$ の極限 $\underset{t\to \infty }{\lim }N(t)$ を求めよ。

ある鳥の雌の個体群を、年齢により 3 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳、第 3 階級: 2 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を並べたベクトルを $\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\end{array}\right)$ とし、その推移が
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$$
で表されるとする（個体数は実数値をとってよいものとする）。初期値が $x_1(0)=100$, $x_2(0)=40$, $x_3(0)=20$ のとき、極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }(x_1(t)+x_2(t)+x_3(t))$$
を求めよ。