数理モデルの問題

手順 1: 固有値を求める。
特性方程式は
$$\det (L-\lambda E)=\left(\frac{1}{4}-\lambda \right)(-\lambda )-\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}={\lambda }^2-\frac{1}{4}\lambda -\frac{3}{4}=0$$
である。両辺を 4 倍すると $4{\lambda }^2-\lambda -3=0$、すなわち $(\lambda -1)(4\lambda +3)=0$ となるので、固有値は ${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=-\frac{3}{4}$ である。$|{\lambda }_2|<{\lambda }_1$ なので、${\lambda }_1=1$ が優越固有値である。固有値が異なる 2 つの実数なので、$L$ は対角化可能である。

手順 2: 右固有ベクトルを求める。
${\lambda }_1=1$ のとき、$(L-E)\mathbf{w}=0$ の第 2 行は $\frac{1}{2}{w}_1-w_2=0$ なので $w_1=2w_2$ である。よって $\mathbf{w}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$ ととれる（第 1 行 $-\frac{3}{4}\cdot 2+\frac{3}{2}\cdot 1=0$ も満たす）。
${\lambda }_2=-\frac{3}{4}$ のとき、$\left(L+\frac{3}{4}E\right)\mathbf{u}=0$ の第 2 行は $\frac{1}{2}{u}_1+\frac{3}{4}{u}_2=0$ なので、$\mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right)$ ととれる（第 1 行 $1\cdot 3+\frac{3}{2}\cdot (-2)=0$ も満たす）。

手順 3: 左固有ベクトル（繁殖価）$\mathbf{v}$ を求める。
$\mathbf{v}=(v_1,v_2)$ が $\mathbf{v}L=\mathbf{v}$ を満たすとする。第 2 成分を比べると $\frac{3}{2}{v}_1=v_2$ である。よって $\mathbf{v}=(2,3)$ ととれる（第 1 成分 $\frac{1}{4}\cdot 2+\frac{1}{2}\cdot 3=2$ も満たす）。

手順 4: 解を固有ベクトルで表す。
$\mathbf{x}(0)=c_1\mathbf{w}+c_2\mathbf{u}$ と書くと、$L\mathbf{w}=\mathbf{w}$、$L\mathbf{u}=-\frac{3}{4}\mathbf{u}$ より
$$\mathbf{x}(t)=L^t\mathbf{x}(0)=c_1\cdot 1^t\mathbf{w}+c_2{\left(-\frac{3}{4}\right)}^t\mathbf{u}$$
となる。ここで $\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}=2\cdot 3+3\cdot (-2)=0$ なので、$\mathbf{x}(0)=c_1\mathbf{w}+c_2\mathbf{u}$ の両辺と $\mathbf{v}$ の内積をとると
$$c_1=\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{x}(0)}{\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}}$$
が得られる。$\left|-\frac{3}{4}\right|<1$ より ${\left(-\frac{3}{4}\right)}^t\to 0$ なので、
$${\lambda }_1^{-t}\mathbf{x}(t)\to \frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{x}(0)}{\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}}\mathbf{w}(t\to \infty )$$
が成り立つ。いまは ${\lambda }_1=1$ なので ${\lambda }_1^{-t}\mathbf{x}(t)=\mathbf{x}(t)$ である。それぞれ計算すると
$$\mathbf{v}\cdot \mathbf{x}(0)=2\cdot 10+3\cdot 40=140,\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=2\cdot 2+3\cdot 1=7$$
となる。したがって
$$\mathbf{x}(t)\to \frac{140}{7}\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}40\\ 20\end{array}\right)(t\to \infty )$$
である。（実際、$c_1=20,c_2=-10$ で、$20\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)-10\left(\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10\\ 40\end{array}\right)$ となり $\mathbf{x}(0)$ に一致する。）

手順 5: 総個体数の極限を求める。
$$\underset{t\to \infty }{\lim }N(t)=40+20=60$$
である。

（確認: $\mathbf{x}(1)=(62.5,5)$、$\mathbf{x}(2)=(23.125,31.25)$ より、$N(t)$ は $50,67.5,54.375,\dots$ と振動しながら 60 に近づいていく。）

よって答えは $60$ である。

$L$ の固有方程式は ${\lambda }^2-\frac{1}{4}\lambda -\frac{3}{4}=0$ で、$(\lambda -1)(\lambda +\frac{3}{4})=0$ より固有値は $1,-\frac{3}{4}$ である。

$\lambda =1$ の固有ベクトルは $(L-I)v=0$ より $-\frac{3}{4}{v}_1+\frac{3}{2}{v}_2=0$ なので $v=(2,1{)}^T$ である。
$\lambda =-\frac{3}{4}$ の固有ベクトルは $w=(-3,2{)}^T$ である。確認: $Lw=(-\frac{3}{4}-\frac{...}{}$ ではなく、第 1 成分 $\frac{1}{4}(-3)+\frac{3}{2}\cdot 2=\frac{9}{4}=-\frac{3}{4}\cdot (-3)$、第 2 成分 $\frac{1}{2}(-3)=-\frac{3}{2}=-\frac{3}{4}\cdot 2$ となり成り立つ。

初期値を分解する。$\mathbf{x}(0)=av+bw$ とおくと $2a-3b=10,a+2b=40$ より $b=10,a=20$ である。

よって $\mathbf{x}(t)=20(2,1{)}^T+10{\left(-\frac{3}{4}\right)}^t(-3,2{)}^T$ となる。$\left|-\frac{3}{4}\right|<1$ なので第 2 項は 0 に収束し、$\mathbf{x}(t)\to (40,20{)}^T$ である。

検算: $\mathbf{x}(1)=L\mathbf{x}(0)=(\frac{10}{4}+60,5)=(62.5,5)$。公式では $(40+22.5,20-15)=(62.5,5)$ となり一致する。

ゆえに $\lim N(t)=40+20=60$。